Daniels integral

I matematik er Daniell-integralet en type integration, der generaliserer det mere basale koncept for Riemann-integralet, som normalt er det første, der undervises. En af hovedvanskelighederne ved den traditionelle formulering af Lebesgue-integralen er, at den kræver en foreløbig udvikling af måle-teorien, før de vigtigste resultater af denne integral opnås. Imidlertid er en anden tilgang mulig, som blev udviklet af Percy John Daniell i en artikel fra 1918, der ikke præsenterer denne vanskelighed, og som har reelle fordele i forhold til den traditionelle formulering, især når man ønsker at generalisere integralet til højere dimensionelle rum, eller når vi ønsker at introducere andre generaliseringer såsom Riemann - Stieltjes integralen . Grundideen introducerer en aksiomatisering af integralet.

Daniels aksiomer

Vi starter med at vælge et sæt reelle afgrænsede funktioner (kaldet elementære funktioner ) defineret på et sæt , der opfylder de to aksiomer: $H$ $x$

$H$ er et vektorrum til de sædvanlige operationer ved addition og multiplikation med en skalar.
Hvis en funktion er i , er dens absolutte værdi også. $h$ $H$ ${\ displaystyle | h |}$

Derudover tildeles hver funktion h i H et reelt tal , der kaldes den elementære integral af h , der tilfredsstiller de tre aksiomer: ${\ displaystyle Ih}$

Lineæritet. Hvis h og k begge er i H, og og er to reelle tal, så . $\ alpha$ $\ beta$ ${\ displaystyle I (\ alpha h + \ beta k) = \ alpha Ih + \ beta Ik}$
Positivitet. Ja , da . $h (x) \ geq 0$ ${\ displaystyle Ih \ geq 0}$
Kontinuitet. Hvis er en faldende sekvens i bred forstand (dvs. ) af funktioner, hvor konvergerer til 0 for alt i , så . ${\ displaystyle h_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle h_ {1} \ geq \ cdots \ geq h_ {k} \ geq \ cdots}$ $H$ $x$ $x$ ${\ displaystyle Ih_ {n} \ til 0}$

Således definerer vi en positiv kontinuerlig lineær form på rummet af elementære funktioner. $jeg$

Disse elementære funktioner og deres elementære integraler kan være ethvert sæt funktioner og definitioner af integraler for de funktioner, der tilfredsstiller disse aksiomer. Familien til alle trappefunktioner opfylder selvfølgelig de to første aksiomer. Hvis vi definerer den elementære integral til familien af trappefunktioner som det (orienterede) område af domænet defineret af trappefunktionen, er de tre aksiomer for en elementær integral også opfyldt. Hvis vi anvender konstruktionen af Daniell-integralen beskrevet nedenfor ved hjælp af trappefunktionerne som elementære funktioner, definerer vi en integral svarende til Lebesgue-integralen. Hvis er et topologisk rum, og hvis vi bruger familien af alle kontinuerlige funktioner som elementære funktioner og den traditionelle Riemann- integral som elementær integral, så fører dette til en integral, der stadig svarer til Lebesgues definition. Hvis vi gør det samme, men bruger Riemann - Stieltjes-integralet med en passende funktion af afgrænset variation , opnår vi en definition af den integrale ækvivalent med den for Lebesgue-Stieltjes . $x$

De ubetydelige sæt (dvs. nulmål) kan defineres i form af elementære funktioner som følger. Et sæt, der er en delmængde af, er et ubetydeligt sæt, hvis der for alle findes en stigende sekvens af positive elementære funktioner i H sådan, at og om . $Z$ $x$ $\ epsilon> 0$ ${\ displaystyle h_ {p} (x)}$ ${\ displaystyle Ih_ {p} <\ epsilon}$ ${\ displaystyle \ sup _ {p} h_ {p} (x) \ geq 1}$ $Z$

Vi siger, at en ejendom er sand næsten overalt, hvis den er sand overalt undtagen i et ubetydeligt sæt. $x$

Definition af Daniels integral

Vi kan udvide begrebet integral til en større klasse af funktioner, baseret på vores valg af elementære funktioner, klassen , som er familien af alle de funktioner, der er begrænset næsten overalt i en stigende sekvens af elementære funktioner, såsom at sæt integraler er afgrænset. Integriteten af en funktion i defineres af: $L ^ {+}$ $h_ {n}$ ${\ displaystyle Ih_ {n}}$ $f$ $L ^ {+}$

{\ displaystyle If = \ lim _ {n \ to \ infty} Ih_ {n}}

Vi kan vise, at denne definition af integralen er veldefineret, dvs. at den ikke afhænger af valget af sekvensen . $h_ {n}$

Klassen er dog normalt ikke lukket for subtraktion og multiplikation med negative tal, men vi kan udvide den ved at definere en større klasse af funktioner, så enhver funktion næsten overalt kan repræsenteres som forskel , ved funktioner og i klasseværelset . Derefter kan integriteten af en funktion defineres ved: $L ^ {+}$ $L$ $\ phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi = fg}$ $f$ $g$ $L ^ {+}$ $\ phi (x)$

{\ displaystyle \ int _ {X} \ phi (x) dx = If-Ig \,}

Der igen kan vi vise, at integralet er veldefineret, dvs. at det ikke afhænger af nedbrydningen af i og . Dette afslutter konstruktionen af Daniell-integralet. $\ phi$ $f$ $g$

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Daniell integral " ( se listen over forfattere ) .

(i) Percy John Daniell , " General En form for integreret " , Annals of Mathematics , vol. 19,1918, s. 279–94

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

(en) Percy John Daniell , " Integraler i et uendeligt antal dimensioner " , Annals of Mathematics , bind. 20,1919, s. 281–88
(en) Percy John Daniell , " Funktioner med begrænset variation i et uendeligt antal dimensioner " , Annals of Mathematics , bind. 21,1919, s. 30-38
(en) Percy John Daniell , " Yderligere egenskaber ved det generelle integral " , Annals of Mathematics , bind. 21,1920, s. 203–20
(en) Percy John Daniell , " Integrale produkter og sandsynlighed " , Amer. J. Math. , Vol. 43,1921, s. 143–62
(en) HL Royden , Real Analysis , Prentice Hall ,1988, 3 e ed. , 444 s. ( ISBN 978-0-02-946620-9 )
(da) G. E Shilov og BL Gurevich ( oversættelse Richard A. Silverman), Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach , Dover Publications ,1978, 233 s. ( ISBN 978-0-486-63519-4 , læs online )
(en) Edgar Asplund og Lutz Bungart , et første kursus i integration , Holt, Rinehart og Winston,1966( ISBN 978-0-03-053145-3 )
(en) Angus Ellis Taylor , Generel teori om funktioner og integration , Courier Dover-publikationer ,1985, 437 s. ( ISBN 978-0-486-64988-7 , læs online )