Liouville nummer
I matematik og mere præcist i talteori er et Liouville- tal et reelt tal x med følgende egenskab:
for ethvert
heltal n findes der heltal q n > 1 og p n således at 0 <| x - p n / q n | <1 / q n n
eller, hvilket svarer til :
for ethvert heltal n og ethvert reelt
A > 0 findes der heltal q > 0 og p således at 0 <| x - p / q | < A / q n .
En Liouville nummer kan således tilnærmes ”meget fint” af en serie af rationelle tal . I 1844 viste Joseph Liouville , at der er tal, der bekræfter den anden egenskab, og at alle er transcendente , hvilket således for første gang fastslår eksistensen af transcendente tal.
Liouville konstant
For at illustrere sin teorem , Liouville giver en generel fremgangsmåde til konstruktion af sådanne numre anvender teorien om kædebrøker , samt eksempler, men angiver en enklere metode: for eksempel til ethvert heltal , er en Liouville nummer. Dette var de første eksplicitte eksempler på transcendente tal.
b>1{\ displaystyle b> 1} ∑k=1∞b-k!{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} b ^ {- k!}}
Liouvilles konstant svarer til tilfældet b = 10 . Det er derfor det virkelige
∑k=1∞10-k!=0,110001000000000000000001000 ... .{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} 10 ^ {- k!} = 0.110001000000000000000001000 ... ~.}
Mere generelt for ethvert heltal b > 1 og enhver sekvens ( a k ) k > 0 af heltal mellem 0 og b - 1 ikke alle nul fra en bestemt rang, den virkelige
x=∑k=1∞påkbk!{\ displaystyle x = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {k}} {b ^ {k!}}}}
er et Liouville-nummer.
Sættet med Liouville-numre har derfor kontinuumets styrke .
Mål for en realitets irrationalitet
Mål for irrationalitet af en reel x - eller "dens Liouville- Roth- konstant " - måler vejen til at nærme sig x ved rationaler.
Definition - Mål for irrationalitet af et reelt x er den øvre grænse for sættet af reelle tal μ, for hvilke der er en uendelig par ( p , q ) af heltal, således at q > 0 og 0 <| x - p / q | <1 / q μ .
Dette mål er altid større end eller lig med 1, da den øvre grænse for et sæt, der indeholder ] –∞, 1 [ .
For eksempel :
- målet for irrationalitet af en rationel er lig med 1;
- at en irrationel er større end eller lig med 2; mere præcist, hvis den fortsatte brøkdel af denne irrationelle er og har til reduktioner , er dens mål for irrationalitet .[på0,på1,...]{\ displaystyle [a_ {0}, a_ {1}, \ dots]}hikke/kikke{\ displaystyle h_ {n} / k_ {n}}1+lim suplnkikke+1lnkikke=2+lim suplnpåikke+1lnkikke{\ displaystyle 1+ \ limsup {\ frac {\ ln k_ {n + 1}} {\ ln k_ {n}}} = 2+ \ limsup {\ frac {\ ln a_ {n + 1}} {\ ln k_ {n}}}}
- det for en algebraisk irrationel er nøjagtigt lig med 2: det er Roths sætning (1955), mere præcis end for Liouville ( se nedenfor ).
-
Liouville-tallene er de reelle tal, hvis mål for irrationalitet er uendelig . Ja, hvis x er et tal fra Liouville derefter for nogen reel μ, den ( p n , q n ) af 1 st definition for n ≥ μ, tilfredsstille 1 / q n n ≤ 1 / q n μ og danne et uendeligt indstillet, da rækkefølgen af | x - p n / q n | er ikke-nul og konvergerer til 0.
Vi finder i værkerne af små variationer: nogle forfattere tager (hvilket svarer til det samme) den nedre grænse for det sæt af μ, som der findes tværtimod kun et endeligt antal par ( p , q ) d 'heltal sådan som q > 0 og 0 <| x - p / q | <1 / q μ . Nogle taler for foranstaltning 's irrationalitet: de er alle numre større eller lig med den grad af irrationalitet sæt her. Endelig definerer nogle det kun, hvis x er et irrationelt tal, der forhindrer dem i at nævne den strenge reduktion af | x - p / q | med 0. Ud over disse nuancer finder vi en anden, men ækvivalent definition :
Ækvivalent definition - Mål for irrationalitet af et reelt x er den nedre grænse for sættet af reelle tal μ, for hvilke der findes en konstant A > 0, således at vi for enhver rationel p / q ≠ x med q > 0 har: | x - p / q | ≥ A / q μ .
Transcendens af Liouville-numre
Liouville-tallene er et mål for uendelig irrationalitet, deres transcendens er en øjeblikkelig følge af følgende sætning, demonstreret i den detaljerede artikel ved hjælp af den anden definition ovenfor af målet for irrationalitet.
Corollary of Liouville's theorem on the Diophantine approximation - Målingen af irrationalitet af et algebraisk reelt tal er mindre end eller lig med dets grad .
Nogle realer (faktisk næsten alle ) er transcendente uden at være fra Liouville. F.eks. Er mål for irrationalitet af e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ...] lig med 2, og det for π er mindre end 7,61.
Erds sætning
Paul Erdős demonstrerede, at ethvert reelt tal, der ikke er nul, kan skrives som et beløb og som et produkt af to Liouville-tal. A posteriori, dette forklares med en generel egenskab af G δ- tætheder og det faktum, at sæt L af Liouville-tal er en siden
L=⋂ikke∈IKKE∗Uikkepåvevs.Uikke=⋃s,q∈Z,q≥2]sq-1qikke,sq+1qikke[∖{sq} åben tæt{\ displaystyle L = \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} U_ {n} \ quad {\ rm {with}} \ quad U_ {n} = \ bigcup _ {p, q \ i \ mathbb {Z}, q \ geq 2} \ left] {\ frac {p} {q}} - {\ frac {1} {q ^ {n}}}, {\ frac {p} {q} } + {\ frac {1} {q ^ {n}}} \ højre [\ setminus \ venstre \ {{\ frac {p} {q}} \ højre \} {\ tekst {åben tæt}}}
og at ℝ er et Baire-rum .
Uagtsomhed
Sættet med Liouville-tal er, på trods af deres "overflod" set fra synspunktet om kardinalitet og topologi , ubetydelig og jævn:
Noter og referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Liouville nummer " ( se listen over forfattere ) .
-
Liouville, " Kommunikation ", CRAS ,13. maj 1844( læs online )(adgang til artiklen og analyse af Michel Mendès France ) om Bibnum .
-
For en demonstration, se for eksempel denne øvelse korrigeret fra lektionen "Introduktion til talteori" på Wikiversity .
-
(en) Steven R. Finch , Matematiske konstanter , CUP ,2003, 602 s. ( ISBN 978-0-521-81805-6 , læs online ) , s. 171-172.
-
For en demonstration, se for eksempel denne øvelse korrigeret fra lektionen "Introduktion til talteori" på Wikiversity .
-
For en demonstration, se for eksempel denne øvelse korrigeret fra lektionen "Introduktion til talteori" på Wikiversity .
-
(i) Jonathan Sondow, "Irrationality Measures, irrationality bases, and a theorem of Jarnik ", 2004, arXiv : math / 0406300 .
-
(da) Paulo Ribenboim , Mine numre, Mine venner: Populære forelæsninger om talteori , Springer,2000, 375 s. ( ISBN 978-0-387-98911-2 , læs online ) , s. 298.
-
(da) Daniel Duverney , Number Theory: An Elementary Introduction Through Diophantine Problems , World Scientific , koll. "Monografier i antalteori" ( nr . 4),2010, 335 s. ( ISBN 978-981-4307-46-8 , læs online ) , s. 141.
-
(en) Yann Bugeaud, tilnærmelse af algebraiske tal , CUP,2004, 292 s. ( ISBN 978-0-521-82329-6 , læs online ) , s. 27-28.
-
(da) Chaohua Jia og Kohji Matsumoto, Analytic Number Theory , Springer,2002, 408 s. ( ISBN 978-1-4020-0545-9 , læs online ) , s. 360.
-
(i) R. Avanzi og F. Sica , "Scalar Multiplikation er Koblitz Kurver med dobbeltklæbende baser" i Phong Q. Nguyen, Fremskridt i kryptologi: VIETCRYPT 2006 , Springer , al. "Forelæsningsnotater inden for datalogi" ( nr . 4341),2006( ISBN 978-3-540-68799-3 , læs online ) , s. 134.
-
Der er andre Liouville-sætninger .
-
(en) V. Kh. Salikhov, " På irrationalitetsmålingen af π " , Uspekhi Mat. Nauk. , Vol. 63, nr . 3 (381)2008, s. 163-164 ( læs online ).
-
(in) P. Erdős , " Repræsentationer af reelle tal som summer og produkter af Liouville-tal " , Michigan Math. J. , bind. 9, n o 1,1962, s. 59-60 ( læs online ).
-
Bugeaud 2004 , s. 23 .
-
(i) Ludwig Staiger , " The Kolmogorov kompleksitet Liouville Numbers " , CDMTCS Research Report Series , n o 096Marts 1999( læs online ).
-
(en) Andrei B. Shidlovskii , Transcendental Numbers , Walter de Gruyter ,1989, 466 s. ( ISBN 978-3-11-011568-0 , læs online ) , s. 17.
Se også
Bibliografi
(da) Calvin C. Clawson, The Mathematical Traveler: Exploring the Grand History of Numbers , Springer,1994, 307 s. ( ISBN 978-0-306-44645-0 , læs online ) , s. 187
eksterne links