Operatør (fysisk)
En operatør er i kvantemekanik et lineært kort over et Hilbert-rum i sig selv. Udtrykket er en specialisering af det matematiske begreb operatør . En observerbar er en hermitisk operatør .
Operatører inden for klassisk mekanik
I klassisk mekanik bestemmes bevægelsen af partikler (eller af et partikelsystem) fuldstændigt af Lagrangian eller, ækvivalent, Hamiltonian , en funktion af de generaliserede koordinater q , generaliseret hastighed og dens konjugerede øjeblik :
L(q,q˙,t){\ displaystyle L (q, {\ dot {q}}, t)} H(q,s,t){\ displaystyle H (q, p, t)} q˙=dq/dt{\ displaystyle {\ dot {q}} = \ mathrm {d} q / \ mathrm {d} t}
s=∂L∂q˙{\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}}Hvis L eller H er uafhængig af de generaliserede koordinater q , således at L og H ikke ændres som en funktion af q , bevares det konjugerede øjeblik af disse koordinater (dette er en del af Noether's sætning , og den uforanderlige bevægelse i forhold til af koordinaten q er en symmetri ). Operatørerne af klassisk mekanik er relateret til disse symmetrier.
Mere teknisk, når H er invariant under en bestemt gruppe af transformationer G :
S∈G,H(S(q,s))=H(q,s){\ displaystyle S \ i G, H (S (q, p)) = H (q, p)}.
elementerne i G er fysiske operatorer, der forbinder de fysiske tilstande imellem dem.
Tabel over klassiske mekanikoperatører
Transformation
|
Operatør
|
Position
|
Øjeblik
|
---|
Oversættelsessymmetri
|
x(på){\ displaystyle X (\ mathbf {a})}
|
r→r+på{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {a}}
|
s→s{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p}}
|
Temporal translationel symmetri
|
U(t0){\ displaystyle U (t_ {0})}
|
r(t)→r(t+t0){\ displaystyle \ mathbf {r} (t) \ rightarrow \ mathbf {r} (t + t_ {0})}
|
s(t)→s(t+t0){\ displaystyle \ mathbf {p} (t) \ rightarrow \ mathbf {p} (t + t_ {0})}
|
Rotationsvariation
|
R(ikke^,θ){\ displaystyle R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta)}
|
r→R(ikke^,θ)r{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {r}}
|
s→R(ikke^,θ)s{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow R (\ mathbf {\ hat {n}}, \ theta) \ mathbf {p}}
|
Galileos transformationer
|
G(v){\ displaystyle G (\ mathbf {v})}
|
r→r+vt{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} + \ mathbf {v} t}
|
s→s+mv{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow \ mathbf {p} + m \ mathbf {v}}
|
Paritet
|
P{\ displaystyle P}
|
r→-r{\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow - \ mathbf {r}}
|
s→-s{\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p}}
|
Symmetri T
|
T{\ displaystyle T}
|
r→r(-t){\ displaystyle \ mathbf {r} \ rightarrow \ mathbf {r} (-t)}
|
s→-s(-t){\ displaystyle \ mathbf {p} \ rightarrow - \ mathbf {p} (-t)}
|
hvor er rotationsmatrixen omkring en akse defineret af enhedsvektoren og vinklen θ .
R(ikke^,θ){\ displaystyle R ({\ hat {\ boldsymbol {n}}}, \ theta)} ikke^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {n}}}}
Generatorer
Hvis transformationen er uendelig minimal, skal handlingsoperatoren have formen
jeg+ϵPÅ{\ displaystyle I + \ epsilon A}hvor er identitetsoperatøren, er parameteren med en lille værdi og vil afhænge af håndtransformationen og kaldes gruppegenerator . Lad os udlede generatoren for et-dimensionelt translationelt rum som et eksempel.
jeg{\ displaystyle I}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}PÅ{\ displaystyle A}
Som nævnt . Hvis det er uendeligt lille, skal vi skrive
Tpåf(x)=f(x-på){\ displaystyle T_ {a} f (x) = f (xa)}på=ϵ{\ displaystyle a = \ epsilon}
Tϵf(x)=f(x-ϵ)≈f(x)-ϵf′(x).{\ displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = f (x- \ epsilon) \ approx f (x) - \ epsilon f '(x).}Denne ligning kan omskrives sådan, at
Tϵf(x)=(jeg-ϵD)f(x){\ displaystyle T _ {\ epsilon} f (x) = (I- \ epsilon D) f (x)}hvor er generatoren for oversættelsesgrupperne, som i dette tilfælde er afledningsoperatøren .
D{\ displaystyle D}
Det eksponentielle kort
Hele gruppen kan under normale omstændigheder genopbygges fra generatoren ved hjælp af det eksponentielle kort . I tilfælde af oversættelse fungerer ideen som følger.
Oversættelsen af en endelig værdi af kan opnås ved gentagen anvendelse af den uendelige minimale oversættelse:
på{\ displaystyle a}
Tpåf(x)=limIKKE→∞Tpå/IKKE⋯Tpå/IKKEf(x){\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ to \ infty} T_ {a / N} \ cdots T_ {a / N} f (x)}med repræsentation af ansøgningstiderne . Hvis det er stort, kan hver af faktorerne betragtes som uendelig:
⋯{\ displaystyle \ cdots}IKKE{\ displaystyle N}IKKE{\ displaystyle N}
Tpåf(x)=limIKKE→∞(jeg-(på/IKKE)D)IKKEf(x).{\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ lim _ {N \ to \ infty} (I- (a / N) D) ^ {N} f (x).}Men grænsen kan omskrives eksponentielt:
Tpåf(x)=eksp(-påD)f(x).{\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ exp (-aD) f (x).}For at være overbevist om gyldigheden af dette formelle udtryk kan det eksponentielle udvikles til en magtserie:
Tpåf(x)=(jeg-påD+på2D22!-på3D33!+⋯)f(x).{\ displaystyle T_ {a} f (x) = \ left (I-aD + {a ^ {2} D ^ {2} \ over 2!} - {a ^ {3} D ^ {3} \ over 3 !} + \ cdots \ right) f (x).}Den rigtige del kan omskrives som følger:
f(x)-påf′(x)+på22!f″(x)-på33!f‴(x)+⋯{\ displaystyle f (x) -af '(x) + {a ^ {2} \ over 2!} f' '(x) - {a ^ {3} \ over 3!} f' '' (x) + \ cdots}wHvem er Taylor-udvidelsen af , som er den oprindelige værdi af .
f(x-på){\ displaystyle f (xa)}Tpåf(x){\ displaystyle T_ {a} f (x)}
Operatørernes matematiske egenskaber er et vigtigt emne i sig selv. For mere information se C * -algebra og sætningen Gelfand - Naimark .
Kvantemekanik operatører
De postulater Kvantemekanikkens er bygget på begrebet operatør.
En tilstand i kvantemekanik er repræsenteret af en enhedsvektor (den samlede sandsynlighed er lig med en) i et komplekst Hilbert- rum . Den tidsmæssige udvikling i dette vektorrum er givet ved anvendelse af den tidsmæssige evolutionsoperator .
Alle observerbare , dvs. en størrelse, der kan måles ved et eksperiment, skal være knyttet til en selvtilstødende lineær operator . Operatøren skal producere reelle egenværdier , da han skal svare til de eksperimentelle målinger. Til dette skal operatøren være Hermitian . Sandsynligheden for, at disse egenværdier observeres, er knyttet til projiceringen af den fysiske tilstand på delstaten svarende til disse egenværdier.
Operatørliste
Noter og referencer
-
Molekylær kvantemekanik, del I og II: En introduktion til kvantekemi (bind 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ( ISBN 0-19-855129-0 )
Relateret artikel
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">