Nilpotent gruppe

I gruppe teori , Nilpotent grupper danner en vis klasse af grupper , der er indeholdt i den af opløselige grupper og indeholdende den af abelske grupper . Nilpotente grupper vises i Galois-teorien og i klassificeringen af Lie- grupper eller lineære algebraiske grupper .

Definition

Lad G være en gruppe betegnet ved multiplikation af det neutrale element $e$ . Hvis A og B er to undergrupper af G, betegner vi ved [A, B] den undergruppe, der genereres af omskifterne i formen [x, y] for x i A og y i B.

Vi definerer derefter ved induktion en række undergrupper af G, betegnet C n (G), af: C 1 (G) = G og C n + 1 (G) = [G, C n (G)].

Denne sekvens - som vi også betegner med (γ n (G)) n - kaldes den centrale faldende sekvens af G. Vi siger, at G er nilpotent, hvis der findes et heltal n, således at C n (G) = { $e$ }. Desuden, hvis G er en nilpotente gruppe, dens nilpotence klasse er den mindste heltal n , således at C n + 1 (G) = { $e$ }.

Vi kan også definere nilpotensen ved hjælp af den centrale (en) stigende sekvens (ζ n (G)) n af G, defineret ved induktion som følger: ζ 0 (G) = {1} og ζ n + 1 (G) er undergruppe af G dannet af elementerne x af G således, at [ethvert element g af G, [ g , x ] tilhører ζ n (G). Denne sekvens er også sekvensen af normale undergrupper af G defineret som følger: ζ 0 (G) = {1} og for alle n er ζ n +1 (G) den eneste undergruppe af G indeholdende ζ n (G) og sådan at ζ n + 1 (G) / ζ n (G) er centrum for G / ζ n (G). (For eksempel er ζ 1 (G) centrum for G.) Vi viser, at G er nilpotent, hvis og kun dens stigende centrale sekvens når G, og at i dette tilfælde er nilpotensklassen af G det mindste naturlige tal n sådan at ζ n (G) = G.

Eksempler

En gruppe er nulpotent i klasse 0, hvis og kun hvis den er triviel .
En gruppe er klasse 1 nilpotent, hvis og kun hvis den er abelsk og ikke-triviel.
For enhver ikke- nul enhed ring R (ikke nødvendigvis kommutative ), den Heisenberg gruppen på R er Nilpotent af klasse 2. Mere generelt undergruppen af den generelle lineære gruppe GL n ( R ) dannet af øvre trekantede matricer med 1s på principal diagonal er nilpotent i klasse n - 1. Ifølge de første egenskaber nedenfor er alle konjugaterne (i GL n ( R )) i dens undergrupper derfor nilpotente. Når R er en kommutativ felt , Kolchin sætning karakteriserer dem: de er de grupper af unipotente matrixer (da) , det vil sige af formen I n + N , hvor N er et nilpotent matrix .
Det foregående eksempel er et specielt tilfælde af følgende situation: lad A være en ring (enhed, ikke nødvendigvis kommutativ) og P en under-pseudoring af A (med andre ord P er en undergruppe af additivgruppen A og er stabil til multiplikation). Lad n være et heltal ≥ 1, således at produktet af n elementer af P altid er nul. (En pseudo-ring, for hvilken der findes en sådan n , siges at være nilpotent.) Derefter er 1 + P en undergruppe af den multiplikative gruppe af inverterbare elementer i A og er nilpotent af klasse ≤ n - 1.
En endelig p- gruppe er nilpotent. Mere præcist (ved induktion): hvis n ≥ 2, er en gruppe af rækkefølge p n højst nilpotent af klassen n - 1.
En dihedral gruppe er nilpotent, hvis og kun hvis dens rækkefølge er en styrke på to.

Ejendomme

En undergruppe af en nilpotent gruppe er nilpotent. Billedet af en nilpotent gruppe ved en morfisme af grupper er en nilpotent gruppe.
Lad Z (G) være centrum for en nilpotent gruppe G. Hvis G ikke er den trivielle gruppe, er Z (G) heller ikke triviel. Mere generelt, hvis N er en normal ikke- privat undergruppe af G, er N ∩ Z (G) heller ikke trivielt. (Hvis vi ikke formoder N normal i G, dette udsagn er ikke længere tilfældet. Tag for eksempel for G den to-plans gruppe D 8 af orden 8 og for N en undergruppe af orden 2 i D 8 ikke er indeholdt i den cykliske undergruppe af orden 4 af D 8. )
En ikke-triviel gruppe G er nilpotent i klasse c (≥ 1), hvis og kun hvis G / Z (G) er nilpotent i klasse c - 1.
Enhver nilpotent gruppe er løselig . Mere præcist viser vi, at hvis en gruppe er nilpotent i klasse ≤ 2 n - 1, er den løselig i klasse ≤ n.
Nilpotentklassen i en nilpotent gruppe kan omvendt ikke øges i henhold til dens opløselighedsklasse. For eksempel er den dihedrale gruppe af rækkefølge 2 r , med r> 1, nilpotent af klasse r - 1, medens opløsning af en dihedralgruppe er ≤ 2 .
En nilpotent gruppe er Noetherian (til), hvis og kun hvis den er endeligt . I dette tilfælde er det ikke kun opløseligt, men polycyklisk (en) og endda superopløseligt .
Enhver nilpotent gruppe er tydeligt fra Engel (en) , dvs. den kontrollerer: $\ forall x, y \ i {\ text {G}}, \ eksisterer m \ i \ mathbb {N}, [[[y, x], x] \ ldots, x] = e \ quad {\ mathrm {o {\ grave u}}} ~ x ~ {\ mathrm {est ~ {\ acute e} crit}} ~ m ~ {\ text {times}}.$ Der er en delvis konversation: enhver Noetherian Engel-gruppe (især enhver endelig Engel-gruppe) er nilpotent. Der er ikke-nilpotente endelige Engel-grupper, men vi ved ikke, om der er nogen, der er " n- Engel" for nogle heltal n , det vil sige, for hvilken ovenstående $m$ kan indstilles lig med n for alle $x$ og $y$ elementer i gruppen.
De finite- ordens elementer af en nilpotente gruppe G danner en undergruppe af G. Denne undergruppe kaldes torsion undergruppe af G. Det er en tilstrækkelig karakteristisk undergruppe af G. For helst antal første p , elementerne i G har beføjelser p som ordrer danner også en undergruppe af G, som også er en fuldt karakteristisk undergruppe. Hvis vi betegner denne undergruppe af G med Tp , er torsionsundergruppen af G den begrænsede sum af Tp (hvor p krydser alle primtal).
Det faktum, at de endelige ordenselementer i en nilpotent gruppe G danner en undergruppe af G kan specificeres som følger: hvis G er en nilpotent gruppe af klasse c , hvis x og y er to endelige ordenselementer af G, hvis n er en naturlig nummer således, at x n = y n = 1, derefter (xy) n c = 1.
Hvis G er en endelig gruppe , er følgende betingelser ækvivalente:

G er nilpotent;
enhver undergruppe af G er subnormal i G, det vil sige, hvis H er en undergruppe af G, eksisterer der en stigende endelig sekvens af undergrupper fra H til G, således at hver af disse undergrupper er normal i det følgende;
enhver ordentlig undergruppe af G er den rette undergruppe af dens normalisering i G;
enhver maksimal undergruppe af G er normal i G;
G er et direkte produkt af dets Sylow-undergrupper ;
G er et direkte produkt af grupper, hvis ordrer er magt af primtal ;
for ethvert primtal p er G p -clos (engelsk p-lukket ), det vil sige at elementerne i G, hvis rækkefølge er kraften i p, danner en undergruppe af G, ellers at G indrømmer en normal Sylow p - undergruppe (som derefter er den unikke Sylow p- undergruppe af G);
G tilfredsstiller en stærk "omvendt" af Lagrange's sætning : for en hvilken som helst divisor d af | G |, har G en normal undergruppe af orden d .

For en uendelig gruppe G har vi stadig 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 med

G er nilpotent;
enhver undergruppe af G er subnormal i G, det vil sige, hvis H er en undergruppe af G, eksisterer der en stigende endelig sekvens af undergrupper fra H til G, således at hver af disse undergrupper er normal i det følgende;
enhver ordentlig undergruppe af G er den rette undergruppe af dens normalisering i G;
enhver maksimal undergruppe af G er normal i G.

Nilpotente grupper i klasse ≤ 2

En gruppe G er nulpotent af klasse ≤ 2, hvis og kun hvis derivatet af G er indeholdt i centrum af G, hvilket svarer til at sige , at kommutatoren [x, y] = x - for alle elementer x , y af G y -1 xy hører til centrum af G. Med betegnelsen a z = z -1 az for a og z i G, er G nulpotent i klasse ≤ 2 hvis og kun hvis [x, y] z = [x, y ] for alle elementerne x , y , z af G. Lad G være en nilpotent gruppe af klasse ≤ 2. Identiteterne

\ [xy, z] = [x, z] ^ {y} [y, z]

\ [z, xy] = [z, y] [z, x] ^ {y},

sandt i enhver gruppe , bliver i G

\ [xy, z] = [x, z] [y, z]

\ [z, xy] = [z, y] [z, x] = [z, x] [z, y].

Så hvis a er et element af G, er kortet f a : x ↦ [a, x] og kortet g a : x ↦ [x, a] endomorfier af G. Vi har derfor

\ [x ^ {r}, y] = [x, y] ^ {r}

\ [x, y ^ {r}] = [x, y] ^ {r}

for alle elementerne x , y af G og alt rationelt heltal r .

Fra disse forhold og fra det faktum, at kommutatorerne for elementerne i G tilhører centrum af G, udleder vi forholdet

(1)

\ (xy) ^ {n} = x ^ {n} y {^ n} [y, x] ^ {n (n-1) / 2}

for alle elementerne x , y af G og alle naturlige tal n . Denne formel kan bevises direkte ved induktion på n eller ellers udledes af følgende identitet, sand i enhver gruppe:

\ (xy) ^ {n} = x ^ {n} \ y \ [y, x ^ {n-1}] \ y \ [y, x ^ {n-2}] ... [y, x ^ {2}] \ y \ [y, x] \ y.

Formel (1) anvendes for eksempel til bestemmelse af strukturen af Hamilton-grupper .

Noter og referencer

Se f.eks. G. Endimioni , En introduktion til nilpotente grupper: DEA-kursus , University of Provence, Center for matematik og datalogi, 1996/1997 ( læs online ), s. 3.
N. Bourbaki , Algebra , I, kap. 1, § 6, nr. 3, s. I.68.
Se for eksempel J. Calais, Elements of group theory , Paris, 1984, s. 247, eller også Endimioni 1996/1997 , s. 3-4.
For en demonstration, se for eksempel denne øvelse korrigeret på Wikiversity eller øvelse 10.30 i kap. 10 af (en) Cornelia Druţu og Michael Kapovich, " Forelæsninger om geometrisk gruppeteori " ,2013eller Jean Fresnel, Groups , Paris, Hermann, 2001, øvelse. 8.70, s. 135-136.
Endimioni 1996/1997 , s. 4-5, eller (da) DJS Robinson (de) , A Course in the Theory of Groups , Springer,1996, 2 nd ed. ( læs online ) , s. 127.
Dette er ikke nødvendigvis tilfældet med en uendelig p- gruppe. Se Robinson 1996 , s. 139.
Rotman 1995 , øvelse. 5.41, s. 118.
N. Bourbaki , Algebra , Paris,1970, kap. 1, s. 71
(i) Joseph J. Rotman (i) , En introduktion til teorien om grupper [ detail udgaver ], 4 th udg., 1995, Ex. 5.36, s. 117.
Robinson 1996 , træning. 5.1.9, s. 128.
(i) Charles Leedham-Green (i) og Susan McKay, Strukturen i Grupper af Prime Power Order , oup ,2002( læs online ), horn. 3.3.4, (iii), s. 60-61 .
Endimioni 1996/1997 , prop. 5.3
Endimioni 1996/1997 , prop. 6.1 og horn. 6.1
Endimioni 1996/1997 , prop. 5.4
(De) B. Baer , " Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen " , Math. Ann. , Vol. 133,1957, s. 256-270 ( læs online )
(i) Gunnar Traustason , "Engel grupper" i grupper St. Andrews 2009 i Bath , al. "Grupper St. Andrews, en række konferencer om gruppeteori" ( læs online )
Se for eksempel Robinson 1996 , s. 132.
Ansøg (af) John C. Lennox og Derek JS Robinson , Theory of Infinite Soluble Groups , Clarendon Press,2004( ISBN 978-0-19-850728-4 , læs online ), erklæring 1.2.14 (ii), s. 11, til undergruppen af G genereret af x og y , en undergruppe, der højst er nulpotent i klasse c .
For ækvivalensen mellem 1, 5, 6 og 7, se for eksempel Bourbaki 1970 , kap. 1, § 6, nr. 7, sætning 4 og bemærkning 2, s. I.76-I.77. For ækvivalensen mellem 1, 3, 4, 6 og 7, se for eksempel (en) John S. Rose, A Course on Group Theory , CUP ,1978( læs online ), Sætning 11.3, s. 266-267 .
(in) CV Holmes, " En karakterisering af endelige nilpotente grupper " , Amer. Matematik. Månedligt , vol. 73, nr . 10,1966, s. 1113-1114 ( zbMATH 0145.02903 ).
Se Robinson 1996 , 5.2.4, s. 130, hvor G 's endelighed ikke bruges i beviset for de tre første implikationer.
Se Robinson 1996 , s. 143-145.

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

Alain Debreil, Endelige grupper og trelliser af deres undergrupper , Calvage og Mounet, 2016 ( ISBN 978-2916352343 ) , [ online præsentation ]
Ludmil Katzarkov , “Nilpotent Groups and universal coverings of smooth projective manifolds”, Journ. Diff. Geom. , 45, 1997, s. 336-348.