Begrænsning (matematik)
I matematik er begrænsningen af en funktion f en funktion , ofte betegnet med f | A eller , for hvilken man kun betragter de værdier, der er taget af f på et domæne A, der er inkluderet i definitionsdomænet for f .
f↾PÅ{\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}![{\ displaystyle f {\ upharpoonright _ {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5fbbbf17647fcc3390a4ad6e5180c75c66b51d)
Definition
Lad f : E → F en funktion på et sæt E til et sæt F . Hvis vi tager A , en delmængde af E , er begrænsningen af f på A funktionen:
f|PÅ:PÅ→Fx↦f|PÅ(x)=f(x){\ displaystyle {\ begin {align} {f |} _ {A} \ colon & A & \ to & F \\ & x & \ mapsto & f | _ {A} (x) = f (x) \ end {align}}}
Begrænsningen af f på A er derfor lig med f på A , men ikke defineret i resten af f- domænet .
Eksempler
- Begrænsningen af den ikke-injektionsfunktion på domænet er den injektionsfunktion .f:R→R, x↦x2{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}
R+=[0,+∞[{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} = [0, + \ infty [}
f:R+→R, x↦x2{\ displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ til \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}![{\ displaystyle f: \ mathbb {R} _ {+} \ til \ mathbb {R}, \ x \ mapsto x ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260cd9e82e11ed3d5a8101cdfae60ee348a97b1a)
- Den faktorielt kan ses som begrænsning af gammafunktionen på positive heltal, med en højreskift:
Γ|Z+(ikke)=(ikke-1)!{\ displaystyle {\ Gamma |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (n) = (n-1)!}
![{\ displaystyle {\ Gamma |} _ {\ mathbb {Z} ^ {+}} \! (n) = (n-1)!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceeb79428bf9bed0548a015b01bd94989cb9302b)
Ejendomme
- Begrænsningen af en funktion til hele dens definitionsdomæne er lig med selve funktionen: f | dom ( f ) = f .
- Begrænsning to gange er det samme som at begrænse en gang: ja , da .PÅ⊆B⊆domf{\ displaystyle A \ subseteq B \ subseteq \ operatorname {dom} f}
(f|B)|PÅ=f|PÅ{\ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}![{\ displaystyle (f | _ {B}) | _ {A} = f | _ {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f3f18e0930ac0ed70e38ce4515359dd6190dfd9)
- Begrænsning af funktionen identitet på et sæt X til en delmængde A af X er simpelthen den kanoniske optagelse af A på X .
- Begrænsningen bevarer kontinuitet.
Ansøgninger
Gensidige funktioner
For at en funktion skal have en gensidig, skal den være bindende . Hvis dette ikke er tilfældet, kan vi derefter definere en begrænsning af funktionen på et domæne, hvor den er bindende, og derfor definere en gensidig. For eksempel kvadratfunktionen :
∀x∈R,f(x)=x2{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, f (x) = x ^ {2}}![{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, f (x) = x ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb1453d1478cd6380058a074a994271ea3c7c38)
er ikke injektiv (da vi har f ( x ) = f (- x ) . Men ved at overveje begrænsningen på halvlinjen af positive reelle tal [0, + ∞ [ kan vi definere det inverse, rodfeltet :
∀y∈R+,f-1(y)=y.{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+}, f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}![{\ displaystyle \ forall y \ in \ mathbb {R} _ {+}, f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e19a239d64cab5235fea2e49d25bd00aa20fefe)
Rødfunktionerne for en jævn magt, bue cosinus og bue sinusfunktioner , er baseret på det samme princip.
Referencer
-
(i) Robert Stoll, Sets, logik og aksiomatisk Teorier , WH Freeman and Company , s. 5.
-
(i) Paul Halmos , Naive Set Theory , Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Genoptrykt af Springer-Verlag, New York, 1974 ( ISBN 0-387-90092-6 ) (Springer-Verlag-udgave). Genoptrykt af Martino Fine Books, 2011. ( ISBN 978-1-61427-131-4 ) (Paperback-udgave).
-
(i) James R. Munkres, topologi , vol. 2, Upper Saddle River, Prentice Hall ,2000.
-
(i) Colin Conrad Adams og Robert David Franzosa , Introduktion til topologi: ren og anvendt , Prentice Hall ,2008.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">