Bedømmelse | |
---|---|
Gensidig | jo da |
Afledte | |
Primitiver |
Definitionssæt | |
---|---|
Billedsæt | |
Paritet | par |
Nul værdi | 0 |
---|---|
Begræns i + ∞ | + ∞ |
Begræns i −∞ | + ∞ |
Minimum | 0 |
Nuller | 0 |
---|---|
Faste punkter | 0; 1 |
I reel analyse er kvadratfunktionen den funktion, der associeres med hvert reelt tal, dets kvadrat , det vil sige resultatet af multiplikationen af dette tal i sig selv.
Denne potensfunktion , som kan udtrykkes i form x ↦ x 2 = x × x er en funktion par , positiv og af hvilke kurven er en parabel med en lodret akse, top ved oprindelsen og orienteret i retning af positive ordinater . Som en kontinuerlig og strengt stigende funktion over intervallet [0, + ∞ [ , inducerer det en sammenhæng fra dette interval ind i sig selv og indrømmer kvadratrodfunktionen som gensidig .
Kvadratfunktionen er også det første eksempel på en kvadratisk funktion og er generaliseret til flere variabler med begrebet kvadratisk form . Det strækker sig også til det komplekse plan som et heltal med en dobbelt rod ved 0 .
Den første egenskab er kvadratfunktionens positivitet (i bred forstand). Faktisk for enhver reel x er den reelle x × x produktet af to reelle tal med det samme tegn; ved tegnreglen er det derfor positivt.
Funktionen er jævn: f ( x ) = f (- x ) for alle reelle x . Faktisk med den tidligere bemærkning ved at anvende tegnreglen opnår vi f (- x ) = (- x ) × (- x ) = x × x = f ( x ) .
Den firkantede funktion er strengt konveks over . Faktisk er dets andet derivat strengt positivt: f '' = 2> 0 .
Beregning af antecedenterne for en reel a ved kvadratfunktionen svarer til at løse ligningen x 2 = a . Der er tre mulige tilfælde:
For eksempel opløsninger af x 2 = 9 er 3 og -3 .
Man kan også bestemme antecedenterne grafisk: antecedents af a er abscissas for skæringspunkterne for ligningslinjen y = a og for grafen for kvadratfunktionen .
Den afledte af kvadratfunktionen er (det er en lineær funktion og derfor ulige). Det er derfor (strengt) negativt på og positivt på , så kvadratfunktionen er (strengt) faldende på ] -∞, 0] og stigende på [0, + ∞ [ . Det forsvinder til 0, dets globale minimum . Variationsretningen for kvadratfunktionen skal tages i betragtning ved løsning af uligheder (inversion af uligheder, hvis værdierne er negative).
Da kvadratfunktionen er et kvadratisk polynom , er Simpsons metode nøjagtig ved beregning af dens integral. For ethvert kvadratisk polynom P og a og b real har vi:
derfor har vi for kvadratfunktionen defineret af :
Kvadratfunktionen har som primitiver alle funktionerne g C defineret af, for C en vilkårlig reel konstant:
.I et ortonormalt koordinatsystem er funktionen repræsenteret af en parabel, hvis toppunkt er punktet (0, 0). Hele parabolen er placeret over x - aksen - hvilket afspejler funktionens positivitet - og pariteten kan detekteres takket være symmetriaksen, som er y-aksen .
Den grænse af pladsen funktion, plus uendelig og minus uendelig, er lig med plus uendelig.
Vi kan udvide definitionen af kvadratfunktionen til det komplekse domæne ved at definere . For eksempel, hvis , . kan også ses som en funktion i den funktion, at parret kombinerer parret siden skrivning var
Kvadratfunktionen kan bruges til at illustrere egenskaber ved differentierbarhed , holomorfi , tjener ofte som et eksempel til at illustrere Cauchy-Riemann-forhold .
Kvadratfunktionen bruges også til at demonstrere en geometrisk egenskab af Pythagoras tredobler .