Sinusbue
Arc sinus funktion
Grafisk gengivelse af buensinusfunktionen.
Bedømmelse |
bueskind(x){\ displaystyle \ arcsin (x)}
|
---|
Gensidig |
synd(x){\ displaystyle \ sin (x)} jo da [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
|
---|
Afledte |
11-x2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
---|
Primitiver |
xbueskind(x)+1-x2+VS{\ displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
|
---|
I matematik , den arcussinus af et reelt tal inkluderet (i bred forstand) mellem -1 og 1 er den eneste foranstaltning af vinkel i radianer , hvis sinus er lig til dette nummer, og mellem og .
-π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
Den funktion som associerer med ethvert reelt tal inkluderet i bred forstand mellem -1 og 1 værdien af sin arcussinus bemærkes arcsin (Arcsin eller Asin i fransk notation, synd -1 , asin eller asn i angelsaksiske notation). Dette er så den gensidige sammenkobling af begrænsningen af den trigonometriske funktion sinus til intervallet .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
I et kartesisk koordinatsystem orthonormal til flyet, at kurven repræsentant er af buen sinusfunktion opnået fra kurven repræsenterer begrænsning af sinusfunktion til intervallet ved refleksion af akse linjen i ligningen y = x .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Afledte
Som et afledt af en gensidig sammenhæng er arcsin differentierbar på ] –1, 1 [ og tilfredsstiller
bueskind′x=11-x2{\ displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.
Denne formel opnås takket være sætningen om afledningen af en gensidig sammenhæng og forholdet
cos(bueskindx)=1-x2{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}.
Hvis ,
|z|≤1{\ displaystyle | z | \ leq 1}
bueskindz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+...=∑ikke=0∞(2ikke-1)!!(2ikke)!!⋅z2ikke+12ikke+1=∑ikke=0∞(2ikkeikke)z2ikke+14ikke(2ikke+1).{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ prikker \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ slut {justeret}}}(Se også Hypergeometrisk funktion # Særlige tilfælde .)
Demonstration
Den udvikling af de afledte sige:
bueskind′(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-52)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅52⋅4⋅6z6+...,{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ venstre (- {\ frac {3} {2}} \ højre) \ venstre (- {\ frac {5} {2}} \ højre)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ prikker, \ slut {justeret}}}deraf resultatet ved at " integrere " udtryk for udtryk .
Udefineret integreret form
Denne funktion kan skrives i form af en ubestemt integral :
bueskindx=∫0x11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}.
Primitiver
De primitiver af sinus lysbue opnås ved delvis integration :
∫bueskindxdx=xbueskindx+1-x2+VS{\ displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}.
Forholdet mellem bue sinus og bue cosinus
For enhver reel x mellem –1 og 1 :
arccosx+bueskindx=π2{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}.
Logaritmisk form
Vi kan udtrykke bue sinusfunktionen med en kompleks logaritme :
bueskindx=-jegln(jegx+1-x2){\ displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ left ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ højre)}.
Reference
-
Notation fra matematikprogrammet i CPGE , s. 10 .
Se også
Relaterede artikler
eksterne links
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">