I matematik , et aksiomatisk system, er et sæt af aksiomer nogle eller alle af de aksiomer af, som kan bruges logisk at udlede teoremer . En teori består af et aksiomatisk system og alle dets afledte sætninger. Et komplet aksiomatisk system er en særlig form for formelt system . En formel teori betyder normalt et aksiomatisk system, fx formuleret i teorien om modeller . Et formelt bevis er en komplet fortolkning af et matematisk bevis i et formelt system.
Et aksiomatisk system siges at være sammenhængende, hvis det ikke indeholder nogen modsigelse , nemlig evnen til at udlede både en påstand og dets afvisning af aksiomerne i systemet.
I et aksiomatisk system kaldes et aksiom uafhængigt, hvis det ikke er et sætning, der kan afledes fra andre aksiomer i systemet. Et system siges at være uafhængigt, hvis alle dets underliggende aksiomer er uafhængige. Selvom uafhængighed ikke er en nødvendig betingelse for et system, er konsistens.
Et aksiomatisk system siges at være komplet, hvis ethvert forslag eller dets negation er afledt.
Ud over sammenhæng er relativ sammenhæng også mærket for et gyldigt aksiomsystem. Dette er, når de udefinerede udtryk for et første aksiomsystem er konsekvenser af definitionerne af et sekund, således at aksiomerne for det første er teoremer for det andet system.
En model for et aksiomatisk system er et sæt defineret, der tildeler mening til udtryk, der ikke er defineret i systemet, præsenteret på en måde, der er korrekt med de forhold, der er defineret i systemet. Eksistensen af en konkret model beviser et systems sammenhæng . En model siges at være konkret, hvis de tildelte betydninger er virkelige objekter og relationer i modsætning til en abstrakt model , der er afhængig af andre aksiomatiske systemer.
Modeller kan også bruges til at demonstrere uafhængigheden af et aksiom i systemet.
Den aksiomatiske metode består i at erklære definitionerne og propositionerne på en sådan måde, at hvert nyt udtryk formelt kan elimineres med de termer, der kræver primitive forestillinger (aksiomer), der tidligere blev introduceret for at undgå regression til uendelighed .
En fælles holdning med hensyn til den aksiomatiske metode er logik . I deres bog Principia Mathematica , Alfred North Whitehead og Bertrand Russel forsøgt at påvise, at enhver matematisk teori kunne reduceres til en bestemt samling af aksiomer. Mere generelt understøtter reduktionen af et sæt propositioner til en bestemt samling af aksiomer matematikerens forskningsprogram. Dette var meget vigtigt for matematik XX th århundrede, især om spørgsmål vedrørende den homologisk algebra .
At forklare de særlige aksiomer, der anvendes i en teori, kan resultere i et ønskeligt abstraktionsniveau, som matematikeren gerne vil arbejde med. For eksempel valgte matematikere, at ringe ikke skulle være kommutative , hvilket adskiller sig fra Emmy Noethers originale formulering . Matematikere besluttede at studere topologiske rum uden adskillelsesaksiomet , som Felix Hausdorff oprindeligt havde formuleret.
De Zermelo-Frænkel aksiomer , resultatet af den indlysende fremgangsmåde anvendt på sæt teori , tillod "korrekt" formulering af mængdelære problemer og bidraget til at undgå paradokser naive sæt teori . Et sådant problem var kontinuumhypotesen . Zermelo-Fraenkels sætteori med det historisk kontroversielle inkluderede valgaksiom er generelt forkortet ZFC , hvor C står for Choice. Mange forfattere bruger ZF- sætteori uden det valgte aksiom. I dag er ZFC standardformen for aksiomatisk sætteori, og som sådan er det det mest almindelige fundament for matematik .
Matematiske metoder har udviklet en vis grad af sofistikering i det gamle Egypten , Babylon , Indien og Kina , tilsyneladende uden at anvende den aksiomatiske metode.
Euklid af Alexandria skrev den første eksisterende aksiomatiske præsentation af euklidisk geometri og talteori . Mange aksiomatiske systemer blev udviklet i det XIX th århundrede, herunder geometrien af ikke-euklidisk , grundlaget for reel analyse , den mængdelære af Cantor , arbejdet i Frege på fundamenterne, og den "nye" bruger Hilbert af aksiomatisk metode som et forskningsværktøj. For eksempel blev gruppeteori først udviklet på et aksiomatisk grundlag mod slutningen af dette århundrede. Når aksiomerne er blevet afklaret ( for eksempel at symmetriske elementer skulle være påkrævet), kunne emnet fortsætte uafhængigt uden henvisning til oprindelsen til transformationsgruppen i disse undersøgelser.
Det matematiske system med naturlige tal 0, 1, 2, 3, 4, ... er baseret på et aksiomatisk system, der først blev skrevet af matematikeren Peano i 1889. Han valgte aksiomerne på sproget for et enkelt symbol på unary funktion S (forkortelse af " efterfølger "), som er for sæt af naturlige tal:
I matematik er aksiomatisering formuleringen af et system med påstande (dvs. aksiomer ), der vedrører et antal primitive termer, så et sammenhængende sæt propositioner deduktivt kan udledes af disse påstande. Efterfølgende skal beviset for ethvert forslag principielt spores tilbage til disse aksiomer.