Bell-serien

I talteori , de Bell serien er formelle serie bruges til at studere egenskaberne af regnefunktioner . De blev introduceret og udviklet af Eric Temple Bell .

Definition

Hvis f er en aritmetisk funktion og p et primtal , definerer vi Bell-serien af indeks p af f :

{\ displaystyle f_ {p} (X) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f (p ^ {n}) X ^ {n}.}

Ejendomme

To funktioner multiplikativ f og g er ens, hvis (og kun hvis), for ethvert heltal prime p , har vi: . ${\ displaystyle f_ {p} (X) = g_ {p} (X)}$
For to aritmetiske funktioner f og g , ${\ displaystyle f_ {p} (X) g_ {p} (X) = h_ {p} (X),}$ hvor h er Dirichlet-nedbrydningsproduktet af f og g .
Hvis f er fuldstændig multiplikativ, så: ${\ displaystyle f_ {p} (X) = {\ frac {1} {1-f (p) X}}.}$

Eksempler

Her er nogle almindelige aritmetiske funktioner og deres Bell-serier:

den neutrale δ 1 til Dirichlet foldning, dvs. karakteristiske funktion af singleton {1}: $(δ 1 ) p ( X ) = 1$ ,
den k -th power funktion $I k$ (som er helt multiplikativ): ${\ displaystyle (I_ {k}) _ {p} (X) = {\ frac {1} {1-p ^ {k} X}},}$
den Möbius funktion $μ: μ p ( X ) = 1 - X$ ,
den funktion Liouville $A: λ p ( X ) = 1 / (1 + X )$ ,
den funktion fonction af Euler : ${\ displaystyle \ varphi _ {p} (X) = {\ frac {1-X} {1-pX}},}$
den divisor funktionen $σ k$ : ${\ displaystyle (\ sigma _ {k}) _ {p} (X) = {\ frac {1} {1- \ sigma _ {k} (p) X + p ^ {k} X ^ {2}} }.}$

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Bell series " ( se listen over forfattere ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">