En logaritmetabel er en tabelrepræsentation af logaritmer , generelt i base 10, af heltal fra 1 til N. Oftest er N 10.000, som i tabellen over Bouvart og Ratinet , meget almindelig i Frankrig før udseendet af lommeregnere eller 100.000.
At kende decimallogaritmerne for heltal mellem 10 n og 10 n + 1 er tilstrækkelig, da logaritmen for andre tal let kan opnås; kun den del, før kommaet eller karakteristikken ændres. Af denne grund giver tabellen oftest kun cifrene efter kommaet, kaldet mantissa.
Eksempel:
Når tabellen giver logaritmerne for tal op til 10 n , har vi altså logaritmerne for alle de numre, der højst har n signifikante cifre. Logaritmer for tal med mere signifikante cifre beregnes ved lineær interpolation . Ofte indeholder tabellen tabeller i margenen for at lette interpolering.
Logaritmiske tabeller er hjælpemidler til beregning af produkter, kvoter eller beføjelser. Vi kan imidlertid også beregne en sum af to tal, hvis logaritme er kendt, enten ved hjælp af en speciel tabel med additiv logaritmer (leveres for eksempel med Hoüels tabel ) eller ved hjælp af trigonometri og tabeller over logaritmer over trigonometriske funktioner, næsten altid angivet efter tabellen af logaritmer af heltal. Trigonometri gør det også muligt at lave et stort antal formler, der kan beregnes ved hjælp af logaritmer .
De første logaritmiske tabeller vises i begyndelsen af det XVII th århundrede for at lette astronomiske beregninger. På et tidspunkt, hvor alle beregningerne udføres manuelt, tillader de, at produkter omdannes til summer. For at køre produktet af a ved b er det tilstrækkeligt at finde logaritmen til a og b. Ved at tage summen af disse to logaritmer opnår vi logaritmen af ab. Ab-produktet er så let at finde ved at læse tabellen på hovedet . Det var John Napier (Neper), der udgav de første logaritmiske tabeller, som er tabeller over sine logaritmer ( Mirifici Loagarithmorum Canonis Descriptio - 1614). Henry Briggs, der arbejder i samarbejde med Neper, har ideen om at forbinde nummeret 10 med tallet 1 og bygger således den første tabel med decimal logaritme eller base 10 logaritme (1615). På samme tid (1603 - 1611) udvikler astronomen Jost Bürgi, der arbejder sammen med Kepler, trigonometriske tabeller og en antilogaritmetabel , der vil blive offentliggjort i 1620.
Disse digitale tabeller er bygget ved hjælp af princippet beskrevet nedenfor ved kun at bruge enkle operationer (tilføjelser, lineære interpolationer). De opnåede præcisioner, 14 decimaler for eksempel til Briggs-tabellen, gør det muligt at forestille sig mængden af beregninger, der skulle udføres for at bygge dem. Det er et værdifuldt redskab for både vanskeligheden ved sin konstruktion end for dens praktiske anvendelighed, som vokser godt i XVII th århundrede . De er meget udbredt i beregningerne i mere end tre århundreder, før de afsatte ved udgangen af det XX th århundrede af markedsføringen af kraftige regnemaskiner.
Konstruktionsprincippet består i at forbinde en aritmetisk sekvens og en geometrisk sekvens, som udvikler sig sammen. Neper, der forklarer sit princip, siger substansielt:
”Logaritmen til en sinus er et tal, der også stiger på lige tid, mens sinus falder proportionalt. De to bevægelser finder sted på samme tid og starter med samme hastighed ” .Vi kan præsentere en forenklet version af konstruktionen ved at forestille os at konstruere de successive kræfter på 1.01. Beregningerne, der udføres manuelt fra de grundlæggende operationer (tilføjelse, lineær interpolation), tager det allerede lang tid at opnå en præcision på tre eller fire decimaler.
Første faseVi bestemmer rækkefølgen af kræfter for tallet 1.01, indtil tallet 10 (basen) er nået: vi starter med den første magt (1.01), derefter tilføjer vi antallet skiftet til højre med to cifre (ganget med 0,01) og vi få følgende strøm:
Vi fortsætter som følger og afrunder derefter resultaterne ved at afkorte cifrene efter fjerde decimal:
Vi stopper, når 10 er overskredet. Vi får derefter følgende tabel:
ikke | 1,01 n |
---|---|
1 | 1.01 |
2 | 1.0201 |
3 | 1.0303 |
4 | 1.0406 |
... | ... |
11 | 1.1155 |
12 | 1.1267 |
... | ... |
231 | 9,959 |
232 | 10.059 |
Nepers bidrag er at overveje, at bevægelsen er kontinuerlig, det vil sige, at vi kan udfylde hullerne. Da for n = 231 ankommer vi 9.959 og for n = 232 ankommer vi 10.059, det er mellem disse to tal, vi når 10. Vi kan derefter overveje en lineær interpolation: en forskel på 1 i venstre kolonne svarer til en afvigelse på en tiendedel i højre kolonne. For at komme til 10 fra 9.959 skal du tilføje 0,41 tiendedel. Vi skal derfor tilføje 0,41 enhed i venstre kolonne. Tallet 10 svarer derfor til 231,41. Hvis vi vil matche nummeret 10 med tallet 1, skal du bare dele alle termerne i venstre kolonne med 231.41. Vi opnår således omtrentlige værdier for decimallogaritmerne for alle kræfter på 1,01 (præsenteret i højre kolonne i nedenstående tabel).
Andet trinVi konstruerer derefter en oversigtstabel, som det er tilstrækkeligt at udfylde for de mellemliggende værdier ved hjælp af en lineær interpolation
ikke | på | log (a) |
---|---|---|
1 | 1.01 | 0,00432 |
2 | 1.0201 | 0,00864 |
3 | 1.0303 | 0,01296 |
4 | 1.0406 | 0,01728 |
... | ... | ... |
11 | 1.1155 | 0,04753 |
12 | 1.1267 | 0,05185 |
... | ... | ... |
69 | 1.9867 | 0,29818 |
70 | 2.0066 | 0,30250 |
... | ... | ... |
231 | 9,959 | 0,99827 |
231.4 | 10 | 1 |
At bestemme, for eksempel base-10 logaritmen af nummer 2, bare gennemse tabellen over beføjelser 1,01 og 2,00 læsning, der er mellem 69 th effekt (1,9867) og 70 th magt 1,01 (2,0066). Fra en lineær interpolation kommer 2 ud med en effekt på 69,66, så 1,01⋅ 69,66 ≈ 2, dvs. 69,66⋅log (1,01) ≈ log (2).
For at bestemme basis 10-logaritmen på 2 er alt, der er tilbage, at udføre divisionen 69,66 / 231,4 ≈ 0,30104, der svarer godt til en omtrentlig værdi af log (2).
I virkeligheden blev logaritmetabellerne bygget i hånden med mere præcision, for eksempel startende fra kræfter på 1.000001. Hvis vi derefter vilkårligt tildeler værdien 0,000001 til logaritmen på 1,000001, opnår vi værdien 1 for logaritmen af 2,71828, hvilket giver legitimitet til den naturlige (eller Neperian) logaritme af base e .
Enkle logaritmiske tabeller med fem decimaler udvides normalt, så tallene, der dannes fra de to første cifre (10 til 99), udgør den venstre kant af tabellen, mens de sidste cifre (0 til 9) vises øverst i tabellen kolonne.
En logaritmetabel ser sådan ud:
N 0 1 2 3 … 9 10 0000 0043 0086 0128 … 0374 11 0414 0453 0492 0531 … 0756 12 0792 0828 0864 0899 … 1106 13 1139 1173 1206 1239 … 1430 14 1461 1492 1523 1553 … 1732 15 1761 1790 1818 1847 … 2014 16 2041 2068 2095 2122 … 2279 17 2304 2330 2355 2380 … 2529 18 2553 2577 2601 2625 … 2765 19 2788 2810 2833 2856 … 2989 · · · · · · · · · · · · · · · · · · 99 9956 9957 9957 9958 … 9960Her vises det ene ciffer og det tiende ciffer for tallet N i venstre kolonne og hundrededel cifret i første række. I skæringspunktet mellem en række og en kolonne læser vi log (N).
Eksempel 1 : Hvordan bestemmes log (1,53)?
Vi går til række 15 og kolonne 3 og læser 1847. Det kan vi derfor konkludere log (1,53) ≃ 0,1847Eksempel 2 : Hvordan bestemmes log (0.00153)?
Vi ved, at karakteristikken for dette tal er –3, og at dets mantissa er log (1.53). Så log (0.00153) = –3 + 0.1847 ≃ –2.8153Eksempel 3 : Hvordan bestemmes log (18,27)?
Vi ved, at dens karakteristik er 1, og at dens mantissa er log (1.827). Vi placerer os derfor i række 18 og mellem kolonne 2 og kolonne 3. Det er derefter nødvendigt at foretage en lineær interpolation log (1,82) ≃ 0,2601 og log (1,83) ≃ 0,2625, dvs. en forskel på 24 ti tusindedele. Lineær interpolation tilnærmer logaritmerne for tal mellem 1,82 og 1,83 som følger log (1.821) ≃ 0.2601 + 0.00024 log (1.822) ≃ 0.2601 + 0.00048 ... log (1.827) ≃ 0.2601 + 7 × 0.00024 ≃ 0.2618 log (18.27) ≃ 1.2618Eksempel 4 : Hvad er antallet, hvis logaritme er 1.208?
Vi ved, at karakteristikken er 1, og at tallet derfor er skrevet N × 10 med log (N) = 0,208 I logaritmetabellen 2080er mellem 2068og 2095(forskel på 27). Tallet 2068er i rækken på 16 og i kolonnen 1, så 0,2068 = log (1,61). Ligeledes 0,2095 = log (1,62). Vi går derfor videre til en lineær interpolation 0,2068 + 0,00027 = 0,20707 = log (1,611) 0,20707 + 0,00027 = 0,20734 = log (1,612) ... 0,2068 + 4 × 0,00027 = 0,20788 = log (1,614) 0,2068 + 5 × 0,00027 = 0,20815 = log (1,615) 0,208 ≃ log (1,614) 10 1.208 ≃ 16.14