Konvergens test
I matematik er konvergensforsøg metoder til at teste konvergens , absolut konvergens eller divergens i en serie . Anvendt på hele serier giver de midler til at bestemme deres konvergensradius .
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Liste over tests
Begrænsning af vilkår
For at serien kan konvergere, er det nødvendigt, at . Derfor, hvis denne grænse er udefineret eller ikke-nul, adskiller serien sig.
limikke→∞påikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e41a1150b9009115ca85dfbcda86b4586bcd12)
Betingelsen er ikke tilstrækkelig, og hvis grænsen for vilkårene er nul, kan man ikke konkludere noget.
Absolut konvergens test
Hver absolut konvergerende serie konvergerer.
Direkte sammenligningstest
Hvis serien er absolut konvergent og for n tilstrækkelig stor, så konvergerer serien absolut.
∑bikke{\ displaystyle \ sum b_ {n}}
|påikke|≤|bikke|{\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Ansøgning om
tilsvarende suiter
Hvis og hvis , så konvergerer hvis og kun hvis konvergerer.
påikke,bikke>0{\ displaystyle a_ {n}, b_ {n}> 0}
påikke∼bikke{\ displaystyle a_ {n} \ sim b_ {n}}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
∑bikke{\ displaystyle \ sum b_ {n}}
D'Alembert og Cauchy regerer
D'Alemberts styre
Denne test er også kendt som d'Alemberts kriterium .
Antag, at der er sådan, at
r{\ displaystyle r}
limikke→∞|påikke+1påikke|=r.{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}![{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ad76fc956e34f6874910716e5da1e58587e2e6)
Hvis r <1, så er serien absolut konvergent. Hvis r > 1, divergerer serien. Hvis r = 1, er forholdstesten ikke udtømmende, og serien kan konvergere eller afvige.
Cauchys styre
Denne test er også kendt som den test af roden n- th .
Er
r=lim supikke→∞|påikke|ikke{\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}}![{\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5519d513fafda63587f05002fddddc55f0cc8c1e)
,
hvor angiver den
øvre grænse (som kan være ).
lim sup{\ displaystyle \ limsup}
+∞{\ displaystyle + \ infty}![+ \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831)
Hvis r <1, konvergerer serien. Hvis r > 1, divergerer serien. Hvis r = 1, er testen ufattelig, og serien kan konvergere eller divergere.
Sammenligning af de to regler
Cauchys styre er stærkere end d'Alemberts regel (fordi den krævede tilstand er svagere): hver gang d'Alemberts regel bestemmer konvergensen eller divergensen af en uendelig serie, gør Cauchys styre det også, men det omvendte er falsk.
For eksempel til serien
1+1+12+12+14+14+18+18+⋯=4{\ displaystyle 1 + 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + \ dots = 4}![{\ displaystyle 1 + 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + \ dots = 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5210f474ad50cc566f107cfa83b4842f1040a7b)
,
konvergens kan udledes af Cauchys styre, men ikke fra d'Alemberts styre.
Fuld serie sammenligning
Serien kan sammenlignes med en integral for at fastslå dens konvergens eller divergens. Lad være en monoton funktion .
f:[1,∞[→R{\ displaystyle f: \ left [1, \ infty \ right [\ to \ mathbb {R}}![{\ displaystyle f: \ left [1, \ infty \ right [\ to \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a32cba4030b7e4e920d49df52d337b160f52462)
Serien konvergerer, hvis og kun hvis den ukorrekte integral konvergerer.
∑f(ikke){\ displaystyle \ sum f (n)}
∫1∞f(x)dx{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d2c9ac702b4fe7069277db9b0b0580676c48f6)
Ja :
-
(påikke){\ displaystyle (a_ {n})}
er en monoton reel sekvens med nul grænse og
-
(bikke){\ displaystyle (b_ {n})}
er en sekvens af komplekse tal, hvis sekvens af delsummer er afgrænset ,(∑k≤ikkebk)ikke{\ displaystyle \ left (\ sum _ {k \ leq n} b_ {k} \ right) _ {n}}![{\ displaystyle \ left (\ sum _ {k \ leq n} b_ {k} \ right) _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec1a06c96ef978c91c6323457b548998ba77ef0)
konvergerer derefter .
∑påikkebikke{\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}![{\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea375c732615d2361d7455eef810e742e1eb6686)
Denne sætning har to vigtige følger :
Alternativ serie test
Ja :
-
(-1)ikkepåikke{\ displaystyle (-1) ^ {n} a_ {n}}
er konstant tegn,
-
limikke→∞påikke=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0}
,
- den absolutte værdi af hvert udtryk er mindre end den absolutte værdi af det foregående udtryk
så er konvergent.
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Denne test er også kendt som Leibniz-kriteriet .
Abel test
Ja :
-
(påikke){\ displaystyle (a_ {n})}
er en monoton og afgrænset sekvens og
-
∑bikke{\ displaystyle \ sum b_ {n}}
er en konvergent serie,
så er også konvergent.
∑påikkebikke{\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}![\ sum a_nb_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea375c732615d2361d7455eef810e742e1eb6686)
Lad være en række strengt positive realer .
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Hvis for nogle (uafhængig af ), så konvergerer.påikke+1påikke≤1-bikke{\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ leq 1 - {\ frac {b} {n}}}
b>1{\ displaystyle b> 1}
ikke{\ displaystyle n}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Hvis , så afviger det.påikke+1påikke≥1-1ikke{\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ geq 1 - {\ frac {1} {n}}}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Lad være en række strengt positive realer.
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Hvis for nogle (uafhængig af ), så konvergerer.påikkepåikke+1≥1+1ikke+bikkelnikke{\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} \ geq 1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {b} {n \ ln n}}}
b>1{\ displaystyle b> 1}
ikke{\ displaystyle n}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Hvis , så afviger det.påikkepåikke+1≤1+1ikke+1ikkelnikke{\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} \ leq 1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {n \ ln n}}}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Lad være en faldende positiv sekvens.
(påikke){\ displaystyle (a_ {n})}![(år)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bc33c7c35d82b00f88d3a9103ed4738cde41f9)
Vær . Så . I særdeleshed :
PÅ=∑ikke≥1påikke,PÅ∗=∑k≥02kpå2k∈[0,+∞]{\ displaystyle A = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n}, A ^ {*} = \ sum _ {k \ geq 0} 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}} \ in \ venstre [0, + \ infty \ højre]}
PÅ≤PÅ∗≤2PÅ{\ displaystyle A \ leq A ^ {*} \ leq 2A}![{\ displaystyle A \ leq A ^ {*} \ leq 2A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9297a6c1897fc1a0ff4dd595ad0bfe2c80f78b)
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
konvergerer, hvis og kun hvis konvergerer.
∑2kpå2k{\ displaystyle \ sum 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}}}![{\ displaystyle \ sum 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f38827658afca4276b59167ae2a03d26fc0219)
Denne test kan f.eks. Anvendes til undersøgelse af sæt af Riemann- og Bertrand-serierne .
Produktkonvergens
Lad være en række positive realer. Derefter konvergerer det uendelige produkt, hvis og kun hvis serien konvergerer. På samme måde, hvis , så er grænsen ikke-nul, hvis og kun hvis serien konvergerer.
(påikke){\ displaystyle \ left (a_ {n} \ right)}
∏(1+påikke){\ displaystyle \ prod (1 + a_ {n})}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
0<påikke<1{\ displaystyle 0 <a_ {n} <1}
∏(1-påikke){\ displaystyle \ prod (1-a_ {n})}
∑påikke{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Dette kan bevises ved at tage produktets logaritme og bruge den tilsvarende serietest ( se ovenfor ).
Relateret artikel
Stolz-Cesàro sætning
Referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Convergence tests " ( se listen over forfattere ) .
-
(in) Bert G. Wachsmuth , " MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test " på www.mathcs.org .
-
(i) " CBR-test " .
-
Se denne korrigerede øvelse fra lektionen "Digital Series" på Wikiversity .
-
(i) Jim Belk , " Konvergens af Infinite Products " ,2008.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">