Guldins sætninger

Vi udpeger under navnet Guldin-sætninger to udsagn om euklidisk geometri, der er oprettet af den schweiziske matematiker Paul Guldin . Det er sandsynligt, at disse resultater allerede var kendt af Pappus af Alexandria, og det er derfor, vi også møder navnet på sætningen til Pappus-Guldin (ikke at forveksle med sætningen til Pappus ). Det udtrykker under visse betingelser:

overfladearealet genereret af en kurvebue;
måling af volumen genereret af en overflade.

En anden almindelig anvendelse af denne sætning er beregningen af positionen af tyngdepunktet for en kurvebue eller en overflade.

Første erklæring

Sætning - Målingen af arealet, der genereres ved rotation af en bue med plan kurve omkring en akse i dens plan og ikke krydser kurven, er lig med produktet af kurvens buelængde med længden af omkreds beskrevet af dens tyngdepunkt :

{\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ alpha \ cdot r_ {S} \ cdot s}

hvor $α$ er målingen (udtrykt i radianer ) for den vinkel, der er beskrevet ved rotation, er $r S$ afstanden fra tyngdepunktet ( $C$ ) til aksen og $s$ længden af buen.

Eksempler:

arealet af den åbne torus med radius $r$ og $R$ er $lig$ med ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = (2 \ pi r) (2 \ pi R) = 4 \ pi ^ {2} rR}$
det område, der genereres af en halvcirkel med radius $R$ og tyngdepunkt $G,$ er områdets sfære . Det kommer $r$ $G$ $=$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = (2 \ pi r_ {G}) (\ pi R) = 4 \ pi R ^ {2}}$ $2 / π R$ .

Anden erklæring

Sætning - Målingen af det volumen, der genereres ved omdrejning af et fladt overfladeelement omkring en akse, der er placeret i dets plan og ikke skærer det, er lig med produktet af overfladearealet gange længden af omkredsen beskrevet af dens centrum tyngdekraften:

{\ displaystyle {\ mathcal {V}} = \ alpha \ cdot d \ cdot {\ mathcal {A}}}

Eksempler:

det indre volumen af den åbne torus af stråler $r$ og $R er$ værd . ${\ displaystyle V = (\ pi r ^ {2}) (2 \ pi R) = 2 \ pi ^ {2} r ^ {2} R}$
volumen genereret af en halv disk med radius $R$ og tyngdepunkt $G$ er målekuglen . Det kommer $r$ $G$ $=$ ${\ displaystyle V = ({\ tfrac {1} {2}} \ pi R ^ {2}) (2 \ pi r_ {G}) = {\ tfrac {4} {3}} \ pi R ^ {3 }}$ $4 / 3π R$ .

eksterne links

(da) Eric W. Weisstein , " Pappus's Centroid Theorem " , på MathWorld