Absolut kontinuitet

I matematik og mere præcist i analysen definerer vi for funktioner defineret i et afgrænset interval begrebet absolut kontinuerlig funktion , lidt stærkere end begrebet ensartet kontinuerlig funktion og garanterer gode integrationsegenskaber; det er også forbundet med forestillingen om absolut kontinuerlig måling .

Helt kontinuerlig funktion

Motivering

Den første grundlæggende analysesætning har den konsekvens, at enhver kontinuerlig funktion f over et reelt interval er lig med derivatet af dens integrerede funktion F (i betydningen Riemann ) defineret af . I den mere generelle rammer af Lebesgue integral , en funktion L 1 er næsten overalt lig til den afledte af integralet. F(x)=∫påxf(t)dt{\ displaystyle F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) \, \ mathrm {d} t}

På den anden side er en kontinuerlig og næsten overalt differentierbar funktion F muligvis ikke lig med integralet af dets derivat, selvom dette derivat er L 1 . Overvej for eksempel Cantor-trappen eller Minkowski-funktionen  : disse to funktioner er næsten overalt afledelige, med afledte næsten overalt nul; derfor er integralet af deres afledte nul. Dette fænomen var velkendt i tilfælde af diskontinuerlige funktioner (indikatorfunktioner for eksempel), men mindre intuitivt i det kontinuerlige tilfælde, hvilket førte til forestillingen om absolut kontinuitet: en absolut kontinuerlig funktion er kontinuerlig og desuden lig med integralet af dets afledte.

Definition

Lad mig være et rigtigt interval. Vi siger, at en funktion F  : I → ℝ er absolut kontinuerlig, hvis der for enhver reel ε> 0 findes en δ> 0 sådan, at der for enhver endelig sekvens af underintervaller af I med uensartede interiører ([påikke,bikke])ikke≤IKKE{\ displaystyle ([a_ {n}, b_ {n}]) _ {n \ leq N}}

∑ikke≥0(bikke-påikke)<δ⇒∑ikke≥0|F(påikke)-F(bikke)|<ε.{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} {(b_ {n} -a_ {n})} <\ delta \ Rightarrow \ sum _ {n \ geq 0} {| F (a_ {n}) - F (b_ {n}) |} <\ varepsilon.}

For en funktion af flere variabler er der forskellige forestillinger om absolut kontinuitet.

Ejendomme

• F er absolut kontinuerlig på [ a , b ] hvis og kun hvis der findes enintegrerbarfunktion f på [ a , b ] (i betydningen Lebesgue) sådan at for alle x ∈ [ a , b ] ,F(x)-F(på)=∫påxf(t)dt.{\ displaystyle F (x) -F (a) = \ int _ {a} ^ {x} {f (t) \, \ mathrm {d} t}.}
• Ifølge den anden grundlæggende analysesætning , hvis (på [ a , b ] ) F er overalt differentierbar og har et integrerbart derivat, så er F absolut kontinuerlig.
• Hvis F er absolut kontinuerlig på [ a , b ], så:
  • det er kontinuerligt;
  • det er af begrænset variation (derfor afledt næsten overalt);
  • det har Luzins egenskab N  : billedet med F af ethvert sæt af mål nul (for Lebesgue-målet ) er af mål nul.
• Omvendt, hvis F er kontinuerlig, med begrænset variation og har Luzins egenskab N , så er den absolut kontinuerlig ( Banach -Zarecki- sætning ).
• Produktet af to absolut kontinuerlige funktioner over [ a , b ] er en absolut kontinuerlig funktion.

Eksempler og modeksempler

Enhver Lipschitz-funktion på [ a , b ] er absolut kontinuerlig.

Den kontinuerlige funktion, der har grafen til djævelens trappe, er ikke absolut kontinuerlig: billedet af Cantorsættet , der er af mål nul, er [0,1] helt.

Det spørgsmålstegnet funktion er ikke helt kontinuerlig enten, da det har en nul derivat næsten overalt. Vi kan også vise, at det sender et målsæt 0 på et målsæt 1.

Helt kontinuerlig måling

Lad μ og ν være to komplekse mål over et målbart rum . (x,PÅ){\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}

Vi siger, at ν er absolut kontinuerlig med hensyn til μ, hvis for et målbart sæt A  :

μ(PÅ)=0⇒v(PÅ)=0,{\ displaystyle \ mu (A) = 0 \ Rightarrow \ nu (A) = 0,}

hvad vi bemærker . v≪μ{\ displaystyle \ nu \ ll \ mu}

Den Radon-Nikodym teoremet giver en anden karakteristik i det tilfælde, hvor μ er positiv og σ -finite , og ν er kompleks og σ -finite: så der findes f en målelig funktion, således at dν = f dμ . Funktionen f kaldes målingens densitet ν i forhold til målingen μ .

Forbindelse mellem absolut kontinuerlig reel funktion og absolut kontinuerlig måling

En funktion F er lokalt absolut kontinuerlig, hvis og kun hvis dens afledte fordeling er en absolut kontinuerlig måling i forhold til Lebesgue-målingen. For eksempel er et mål μ afgrænset af sættet af Borelians af den rigtige linje absolut kontinuerligt i forhold til Lebesgue-målet, hvis og kun hvis den tilhørende fordelingsfunktion

F:x↦μ(]-∞,x]){\ displaystyle F: x \ mapsto \ mu (] - \ infty, x])}

er lokalt en absolut kontinuerlig funktion.

Noter og referencer

1. Se introduktionen af (i) Jiří Šremr, "  Absolut kontinuerlige funktioner af to variabler i betydningen Caratheodory  " , elektron. J. Diff. Equ. , Vol.  2010, nr .  154,2010, s.  1-11 ( læs online )
2. (i) Andrew M. Bruckner  (i) , Judith B. Bruckner og Brian S. Thomson, Reel analyse ,1997( ISBN  978-0-13458886-5 , læs online ) , s.  274.
3. (da) VI Smirnov , A Course of Higher Mathematics , bind.  5: Integration og funktionel analyse , Pergamon ,1964( læs online ) , s.  218.

Se også

Relateret artikel

Lebesgue differentiering sætning

Bibliografi

Walter Rudin , ægte og kompleks analyse [ detaljer i udgaver ]