Pseudo-ring

I matematik er en pseudo-ring en af de algebraiske strukturer, der anvendes i almindelig algebra . Det er et sæt forsynet med en tilføjelse og en multiplikation, der tilfredsstiller de samme aksiomer som for en ring , bortset fra at tilstedeværelsen af et neutralt element ikke kræves til multiplikationen.

Et mindretal af forfattere beder ikke ringene om at have en multiplikativ neutral; hvis vi henviser til deres konventioner, handler denne artikel derfor om, hvad de kalder ringe .

Det er muligt at tilføje en enhed til en ring, der ikke har en, på flere måder. Til en vis grad tillader disse teknikker teorien om enhedsringe at bruges til at håndtere spørgsmål vedrørende pseudo-ringe.

Eksempler

Alle (enheds) ringe er a fortiori pseudo-ringe.
Sættet 2 Z for lige relative heltal er en pseudo-ring, som ikke er en ring.
En nul-kvadratisk pseudo-ring A er en pseudo-ring, hvor produktet af to elementer altid er 0. En nul-kvadratisk pseudo-ring, der ellers er enhed, reduceres nødvendigvis til nulringen . Alle abelsk gruppe (A, +) kan være forsynet med en pseudo-nul kvadrat ringstruktur udgør xy = 0 for alle x og y af A .
Sættet af matricer med koefficienter i formen Z er en pseudo-ring. Det har et uendeligt antal neutrale til venstre (alle matricer i formen ), men ingen af dem er neutrale til højre: det er derfor ikke en enhedsring. ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & c \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$
Mange associerende algebraer på R eller C , som spiller en væsentlig rolle i funktionel analyse , er blottet for et neutralt multiplikativt element og er som sådan pseudo-ringe: således det betegnede funktionsrum, der har tendens til nul til uendeligt over R eller Schwartz rum af hurtigt faldende funktioner (forsynet med den sædvanlige multiplikation af funktioner), rummet L 1 af Lebesgue-integrable funktioner i R (forsynet med foldning ) eller rummet af kompakte operatorer d 'en Hilbert rum af uendelig dimension (forsynet med sammensætning af operatører ). ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {0} (\ mathbb {R})}$

Et lemma

Hvis en pseudo-ring har nøjagtigt en neutral til venstre , er denne også neutral til højre, og pseudoringen er derfor en enhedsring .

Demonstration

Lad os med e betegne den unikke neutrale til venstre. For alle a og alle b i ringen,

( e + ae - a ) b = eb + a ( eb ) - ab = b + ab - ab = b ,

derfor e + ae - a er neutral. Da det neutrale til venstre er unikt, viser e + ae - a = e , så ae = a , og e viser sig også at være neutral til højre.

Basale koncepter

Morfismer : vi kan definere dem som på ringe , bortset fra at der kun er to betingelser at sætte: en morfisme af pseudo-ringe er en kortlægning mellem to pseudo-ringe A og B, som opfylder for alle a og b :

f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f ( ab ) = f ( a ) f ( b ).

Sub-pseudo-ringe: en understruktur defineres her som en additiv undergruppe, der ellers er stabil ved multiplikation.
Idéer og kvotienter: uden at der er noget at ændre, definerer vi som på ringene forestillingerne om ideal til højre, ideelle til venstre, tosidet ideal og kvotient af et tosidet ideal, dette kvotient er en pseudo-ring .
Specifikt denominerede elementer: vi definerer nøjagtigt som i en ring kræfterne for et element x (bortset fra at det ikke længere er muligt at definere x 0 ), delerne af nul, de nilpotente elementer, de idempotente elementer.
Karakteristisk: i mangel af multiplikativ neutral kan man alligevel give en definition, der kun hviler på strukturen i den abeliske gruppe som følger: lad A være en pseudo-ring. Hvis der findes et heltal n > 0 sådan, at nA = {0}, kalder vi karakteristik for A det mindste sådant heltal; hvis den ikke findes, siger vi, at A har nul- karakteristik . Når ringen er enhed, falder denne definition sammen med den, der normalt gives for dens karakteristika .
Moduler: vi kan kopiere definitionen af et modul på en enhedsring ved at fjerne tilstanden i forhold til den multiplikative neutrale (1 x = x ). Bourbaki kalder strukturen således defineret som pseudomodule .

Tilføjelse af en enhed

Dorroh-udvidelse

Lad A være en pseudo-ring. På den direkte eksterne sum Z ⊕ A af de additive abeliske grupper Z og A definerer vi en multiplikation ved at indstille:

( M + α ) ( n + β ) = mn + Na + mβ + αβ for alle m , n i Z og alle α , β i A .

Vi kontrollerer, at denne multiplikation er associerende og distribuerende med hensyn til tilføjelsen. Desuden er 1 et neutralt element: vi har derfor konstrueret en enhedsring .

Endelig optagelse i af A i Z ⊕ A er en morphism pseudo-ringe: blev derfor beregnet en ensartet ring indeholdende A . Det kaldes en udvidelse af Dorroh af A . Det vil blive bemærket som A 1 i det følgende.

Det følger umiddelbart af definitionen af A 1 , at A er en ideel (to-halet).

Eksempler :

hvis A = X Z [ X ], idealet om multiplerne af X i ringen af polynomer over Z (dvs. polynomer uden en konstant betegnelse), returnerer Dorrohs udvidelse Z [ X ];
på den anden side, hvis A = 2 Z , idealet om selv relative heltal, den Dorroh udvidelse returnerer ikke Z men en ring med for underliggende additive gruppe Z 2 og som indeholder divisors af nul ;
hvis den pseudo-ring A allerede haft en multiplikativ neutral, som vi vil betegne som ε, overveje F : Z × A → A 1 defineret ved F ( k , α ) = k - kε + α . Vi kontrollerer, at det er en isomorfisme af ringe (hvor Z × A er forsynet med produktringoperationerne ). I dette tilfælde indeholder Dorroh-udvidelsen derfor nødvendigvis delere på nul og er af ringe interesse, bortset fra som et eksempel.

Uden at være en absolut effektiv proces tillader Dorrohs udvidelse ofte undersøgelsen af en pseudoring til en enheds ring. Navnlig i betragtning en pseudomodule på A , kan vi udvide sin ring af skalarer til A 1 (ved formlen ( m + α ) x = mx + αx ); desuden enhver modul på A 1 bliver en pseudomodule på A ved restriktion af skalarer, disse to transformationer er reciprokke af hinanden. Endelig, hvis vi har to pseudomoduler på A , er morfismerne imellem dem samme, uanset om vi betragter deres pseudomodulstrukturer eller deres modulstrukturer på A 1 . De kategorier af A -pseudomodules og A 1 -modules er derfor nøjagtig det samme.

Endelig kontrollerer Dorroh-udvidelsen følgende universelle egenskab :

Lad A være en pseudo-ring, A 1 er sin Dorroh-forlængelse og jeg inkluderingen af A i A 1 . For enhver enhedsring R og enhver morfisme af pseudo-ringe φ : A → R findes der en eneste morfisme af enhedsringe φ 1 : A 1 → R, for hvilken φ = φ 1 ∘ i .

Szendrei udvidelse

Lad A være en pseudo-ring uden skillevæg på nul . I Dorroh-udvidelsen A 1 betegner vi ved J sættet af elementer c således at cA = {0}, og vi ser, at J er et to-halet ideal for A 1 . Man kan således betragte den unitære kvotient ring A 1 / J .

Ved at bruge fraværet af en skiller på nul i A bemærker vi desuden, at J ∩ A = {0} og A derfor stadig injiceres i A 1 / J : Vi har derfor bygget en ny enhedsring, der indeholder A (som ikke er noget nyt, hvis J = {0}). Det kaldes Szendrei-udvidelsen .

Denne udvidelse er i sig selv en ring uden nuldeler .

Demonstration

Enten en og b to elementer af A 1 , hvis produkt er nul modulo J , og antage, at b ikke er nul modulo J , med andre ord ikke i J . Ved definition af J eksisterer der derfor et α- element i A således, at bα ≠ 0. Vi betragter derefter produktet αabα = α (( ab ) α ) = 0 (i denne beregning forsvinder ( ab ) α siden ab ∈ J ) . Vi bemærker også, at aA og Ba er begge i A (sidstnævnte er en to- sidet ideal om A 1 ); derfor medfører identiteten ( αa ) ( bα ) = 0 i ringen A uden skillevægge nul αa = 0, da bα ≠ 0. Men så, for alle β i A , ( αa ) β = 0, som 'vi omgrupperes i α ( aβ ) = 0. I dette produkt er de to faktorer i A, og faktoren α er ikke nul; eftersom A er ikke opnås en divisor på nul Api = 0. Dette viser, at et er nul modulo J .

Eksempler :

hvis A = X Z [ X ], er den ideelle J nul i A 1 = Z [ X ]: udvidelsen af Szendrei falder sammen med udvidelsen af Dorroh;
hvis A er en enhedsring uden skiller på nul , med neutral bemærket ε , ser vi, at J er sættet af m (1 - ε ), m løber gennem Z , så at Szendrei-udvidelsen af A er lig med A ;
for A = 2 Z , betegnes med η element 2 af A (dette er nødvendigt for at undgå kollisioner med notationer i Z ⊕ A = Z 1 ⊕ Z η ). Det derefter verificerer, at J = Z (2- η ), og at udvidelsen af Szendrei af A er andet end optagelse af 2 Z i Z .

Szendreys udvidelse opfylder følgende minimale egenskab ( Szendreys sætning ):

Lad A være en pseudo-ring uden en divisor på nul og S sin Szendrei-udvidelse. Derefter er S en enhedsring uden en skillevæg på nul; desuden enhver ensartet udvidelse uden en divisor på nul af A indeholder S som en sub-ring.

Den anden del af udsagnet skal forstås i følgende formelle forstand: hvis vi ved i betegner inkluderingen af A i S , for enhver morfisme af injektive pseudo-ringe φ : A → T mod en enhedsring uden divisor af nul betegnet med T , der findes en injicerende enhedsringmorfisme ψ : S → T for hvilken φ = ψ ∘ i .

Maksimale idealer i pseudo-ringe

I dette afsnit antages alle ringe at være kommutative .

Vi kan i en kommutativ pseudoring definere et primideal ved at tage en af de alternative former for definitionen af et primideal i en enhedsring:

En ideel I af en pseudo-ring A siges at være prime når den er forskellig fra A , og for alle x , y af A ,

xy ∈ Jeg ⇒ x ∈ I eller y ∈ jeg .

Med samme ræsonnement som i nærvær af en neutral opnår vi den samme konklusion, som bare kræver omformulering:

Et ideelt I for en kommutativ pseudo-ring A er primær, hvis og kun hvis kvotientringen af A med I ikke reduceres til {0} og ikke har delere på nul.

På samme måde kan vi definere et maksimalt ideal for en kommutativ pseudo-ring A som et ideal, der er maksimalt i sættet (bestilt ved inkludering) af idealerne for A andet end A selv.

Her er et eksempel. I den 2 Z kommutative pseudo-ring er 4 Z additiv undergruppe helt klart et maksimalt ideal. Alligevel er kvotientringen af A ved I ikke et kommutativt felt, men er to-element nul-kvadratisk pseudoring . Desuden er 4 Z ikke prime, selvom det er maksimalt. Vi kan allerede fra dette eksempel fastholde, at:

I kommutative pseudo-ringe er der ikke-primære maksimale idealer.

Som en påmindelse husker vi, at i teorien om enhedskommutative ringe er de maksimale idealer karakteriseret ved produktionen af en kvotientring, som er et felt. En lignende, men tungere erklæring findes.

Et ideelt I for en kommutativ pseudo-ring A er maksimal, hvis og kun hvis kvotienten af A ved I enten er et felt eller en pseudo-ring med nul kvadrat på en cyklisk additivgruppe af primær kardinal .

En anden forskel med enhedsringsteorien vedrører Krulls sætning . Demonstrationer af dette afhænger meget af tilstedeværelsen af en enhed i ringen; faktisk bruger vi stabiliteten i klassen af korrekte idealer ( dvs. strengt inkluderet i ringen) ved at øge unionen, en stabilitet, der er berettiget af det faktum, at en stigende union af korrekte idealer, som klart er et ideal, ikke indeholder 1 så er stadig ren. Ikke kun dette bevisargument falder, hvis vi betragter pseudo-ringe, men også sætningen, som det følgende eksempel viser.

Lad k være et kommutativt felt. Vi bemærker A ringen:

A: = k [X, X ^ {{1/2}}, X ^ {{1/3}}, X ^ {{1/4}}, \ ldots].

(denne betegnelse forstås som kvotienten ). $k [Y_ {1}, Y_ {2}, Y_ {3}, \ ldots] / (Y_ {1} -Y_ {2} ^ {2}, Y_ {1} -Y_ {3} ^ {3}, \ ldots)$

I denne enhedskommutative ring A betragter vi det ideelle P, der genereres af X 's fraktionerede kræfter , det vil sige:

P: = (X, X ^ {{1/2}}, X ^ {{1/3}}, X ^ {{1/4}}, \ ldots)

hvilket helt klart er et maksimalt ideal . Så introducerede lokale ring A P lokaliseret til A i P , og vi betegne T den unikke maksimal ideal A P . Mere konkret sagt er T derfor det sæt af elementer i A-brøkfeltet, der har et udtryk for formen:

cX ^ {r} {\ frac {1 + a_ {1} X ^ {{s_ {1}}} + \ cdots + a_ {m} X ^ {{s_ {m}}}} {1 + b_ {1 } X ^ {{t_ {1}}} + \ cdots + b_ {n} X ^ {{t_ {n}}}}

hvor c , a 1 , ..., a m , b 1 , ..., b n er skalarer, mens eksponenterne r , s 1 , ..., s m , t 1 , ..., t n er strengt positive rationelle tal.

Den ovenfor definerede kommutative pseudo-ring T har intet maksimalt ideal.

Noter og referencer

N. Bourbaki , Algebra , Hermann ,1970, s. I.93.
Således:
- (en) Neal H. McCoy, The Ringenes teori , MacMillan ,1964( ISBN 978-1-124-04555-9 ),
- (en) David M. Burton, et første kursus i ringe og ideer , Addison-Wesley ,1970,
- (en) Joseph Gallian, moderne abstrakt algebra , Houghton Mifflin ,2004( ISBN 978-0-618-51471-7 ) eller
- Jacqueline Lelong-Ferrand og Jean-Marie Arnaudiès , matematik-kursus , t. 1: Algebra , Dunod ,1978, s. 79.
Bourbaki 1970 , s. I-97.
McCoy 1964 , s. 9, øvelse 15 og 16.
McCoy 1964 , s. 43.
McCoy 1964 , s. 2.
McCoy 1964 , s. 21-22.
McCoy 1964 , s. 3-5.
McCoy 1964 , s. 4 eller Burton 1970 , s. 11. En anden definition findes ved margenen i László Rédei (en) , Algebra , Pergamon Press ,1967, flyvning. 1, s. 64: blandt Z- modulerne med triviel annullering skelner han dem, hvor ethvert (ikke-nul) element er af uendelig (additiv) orden og erklærer dem for nul karakteristiske, men han definerer de andre som værende "af uendelig karakteristik".
(i) Pierre-Antoine Grillet, Abstract Algebra , New York, Springer-Verlag ,2007, 669 s. ( ISBN 978-0-387-71567-4 ) , s. 315under navnet "modul" eller Bourbaki 1970 , s. II-177 under navnet "pseudomodule".
Redei 1967 , s. 110, der tilskriver opfindelsen af denne udvidelse til (en) IL Dorroh , " Vedrørende tillæg til algebra " , Bull. Bitter. Matematik. Soc. , Vol. 38,1932, s. 85-88.
Burton 1970 , s. 31-32, skriver, at hun ikke har "nogen særlig fortjeneste" . Strukturen som ringprodukt er påpeget i Bourbaki 1970 , s. II.177.
Grillet 2007 , s. 108.
Bourbaki 1970 , s. II-177.
Redei 1967 , s. 335-337 (for hele afsnittet om udvidelse af Szendrei), der henviser til artiklen: (en) J. Szendrei , “ Om forlængelse af ringe uden skillevægge ” , Acta Sci. Matematik. Szeged , vol. 13, 1949-1950, s. 231-234.
Burton 1970 , s. 75-77.
Redei 1967 , s. 205-206, giver en lidt mere teknisk erklæring, der ikke antager kommutativitet. Erklæringen her er en umiddelbar konsekvens af oplysningerne på s. 133 i (en) Oscar Zariski og Pierre Samuel , Commutative Algebra , t. 1, Van Nostrand,1958.
Bemærkninger om beviset for Krulls sætning vises i Burton 1970 , s. 75-77. Eksemplet tilvejebragt er eksempel 149 s. 129 in (in) Harry C. Hutchins Eksempler på kommutative ringe , Polygonal Pub House,1984, 167 s. ( ISBN 978-0-936428-05-5 ), som ikke angiver denne egenskab, men det er en øvelse uden besvær.