Noetherian Ring

I matematik er en noetherisk ring et særligt tilfælde af ring , det vil sige et sæt forsynet med en tilføjelse og en multiplikation, der er kompatibel med tilføjelsen, i betydningen distribution .

Mange matematiske spørgsmål udtrykkes i en ringkontekst, endomorfismerne i et vektorrum eller et modul på en ring , algebraiske heltal af algebraisk talteori eller endda overflader af algebraisk geometri . Hvis ringene er mange, er sjældne de, der har egenskaber, der er fælles for de enkleste eksempler, såsom relative heltal eller polynomer med koefficienter i et felt . Den euklidiske opdeling eksisterer generelt ikke mere, idealerne , hovedværktøjerne til teorien om ringene , er ikke altid vigtige mere, og aritmetikens grundlæggende sætning har ikke noget mere ækvivalent.

Metoden med kun at se på et spørgsmål fra perspektivet af de specifikke egenskaber ved en bestemt ringstruktur har vist sig at være en succes. Richard Dedekind brugte det med succes i aritmetik og David Hilbert i algebraisk geometri . I 1920-1921 valgte Emmy Noether et mere begrænset antal ejendomme verificeret af visse ringe og viste adskillige resultater på dem.

Udtrykket “Noetherian ring” vises i 1943 fra Claude Chevalleys pen.

Intuitiv tilgang

I en store ring , alle idealer er vigtigste . Med andre ord, hvis ringen betragtes som et modul for sig selv, så er dets idealer submoduler genereret af et element. Men mange almindelige ringe er ikke primære. Ringen ℤ [ X ] af polynomer med heltalskoefficienter er et eksempel på en ikke- hovedring .

I aritmetik er det almindeligt at bruge ringe af algebraiske heltal , såsom ringen ℤ [ $i$ √ 5 ], som er et eksempel på en ring med ikke-hovedkvadratiske heltal . Imidlertid genereres alle idealer i ℤ [ $i$ √ 5 ] af et eller to elementer. Konfigurationen er analog for enhver ring af algebraiske heltal i et talfelt . I en sådan ring genereres idealerne, som ikke genereres af et enkelt element, af et begrænset antal elementer. Denne egenskab, der indikerer, at ethvert ideal af en ring A indrømmer en endelig genererende familie, er hyppig i matematik. Det svarer til begrebet formaliseret ved definitionen af Noetherian ring .

Denne konfiguration er fundet i teorien om grupper . Hvis en abelsk gruppe (set som ℤ-modulus) er af begrænset art (dvs. optager en endelig genererende del ), alle dets undergrupper er finite typen undermoduler . Ejendommen er den samme, selvom den gælder for et modul og ikke længere for en ring. Mere generelt er en endelig type modul, hvor hver submodul er af endelig type, en god erstatning for hypotesen om den endelige dimension i lineær algebra og svarer til begrebet Noetherian modul .

Definitioner

Ring og modul

Ligesom et kommutativt felt er et vektorrum i sig selv, er det muligt at betragte en ring A som et A- modul. Hvis ringen ikke er kommutativ, er der to forskellige eksterne produkter. Lad λ være et element af A set som en skalar og et element af A set som en vektor, de to eksterne produkter associeres henholdsvis med (λ, a ) vektorerne λ. a og a .λ. Ringen A har således to strukturer af A- modul, den ene til venstre og den anden til højre, som falder sammen, hvis A er kommutativ.

En anden forskel ligger i vektors underområder . En krop indeholder kun to: nul plads og selve kroppen. For en ring A , der betragtes som A- modul til venstre (resp. Til højre), falder begrebet submodul sammen med ideen til venstre (resp. Til højre).

En ring A, der altid antages at være enhed i denne artikel , har A- modul A en genererende familie, der består af et enkelt element: enheden (eller ethvert inverterbart element).

Noetherianity

Noetherianity defineres også blot på et modul. Definitionen af en Noetherian-ring bliver derefter et specielt tilfælde, hvor ringen betragtes som et modul på sig selv (til venstre eller til højre).

En A - modul M siges at være etherisk, hvis nogen submodul af M er af endelig type
Den ring A siges
- noetherian til venstre, hvis alle dens idealer til venstre er af begrænset type;
- noetherian til højre, hvis alle idealer til højre er af begrænset type;
- Noetherian hvis det er Noetherian til højre og til venstre.

I tilfælde af kommutative ringe falder disse tre definitioner sammen.

Ejendomme

Lad P være en undermodul af M , modulet M er noetherisk, hvis og kun hvis P og M / P er.

Demonstration

Hvis modulet M er noetherisk, er en hvilken som helst submodul P også:
Enhver submodul af P er en submodul af M er derfor af begrænset type.
Hvis modulet M er Noetherian, enhver modul kvotienten M / P er også:
Lad Q en kvotient af undermodul M / P , og R det omvendte billede af Q af den kanoniske projektion af M i M / P . Derefter er R en submodul af M og har derfor en endelig genererende familie. Billedet af denne familie ved den kanoniske projektion genererer Q , hvilket viser, at kvotienten også er Noetherian.
Hvis submodulet P og kvotientmodulet M / P ikke er etherisk, er modulet M også:
Lad R være en submodul af M , F en endelig familie, der genererer R ∩ P og G en endelig familie, der genererer billedet af R ved den kanoniske projektion af M i M / P . Vælge et endeligt H af vektorer R som forventes elementerne G . Derefter R er genereret af finite familie F ∪ H .

Vi udleder straks:

ethvert færdigt produkt af Noetherian-moduler til venstre er Noetherian til venstre;
enhver kvotientring (ved et bilateralt ideal) af en Noetherian-ring til venstre er Noetherian til venstre;
enhver endelig type modul på en Noetherian ring er Noetherian.

Vi har to alternative og ækvivalente definitioner af begrebet Noetherian modul (som straks oversættes til ringe):

Lad M være et A- modul. Følgende tre egenskaber er ækvivalente:

M er Noetherian;
hver stigende sekvens af submoduler af M er stationær;
ethvert ikke-frit sæt af submoduler af M indrømmer et maksimalt element til inkludering .

Egenskaber 2 og 3 udgør opstigende kæde tilstand på undermoduler af M .

Demonstration

1⇒2

Lad ( M n ) en stigende sekvens af undermoduler af M . Betegn ved N foreningen af alle modulerne M n . Da de er indlejrede, er N en submodul. Ved hypotese 1 indrømmer N en endelig genereringsfamilie ( m j ). Hver af disse vektorer m j tilhører N , derfor til en af de M n (og til alle de følgende): Der eksisterer derfor et indeks n j , således at denne vektor m j tilhører alle den M i for i større end eller lig med n j . Enten n de maksimale finite familie indekser n j hvis jeg er større end n derefter M i indeholder familien ( m j ), og derfor N . Dette viser, at sekvensen af undermoduler er konstant fra rang n og derfor stationær.

2⇒3

Vi begrunder ved at være kontrasterede, vi antager derfor, at et ikke-frit sæt F af undermoduler ikke har et maksimalt element. Vi vil definere en sekvens ( M n ) strengt voksende elementer af F . Lad M 0 ethvert element af F . Vi antager, at sekvensen er defineret i rækkefølge n , M n ikke er et maksimalt element af F , vi kan derfor i F vælge et element M n +1, der indeholder strengt M n . Der er derefter en strengt stigende sekvens for inklusion. Ved modsætning er beviset bevist.

3⇒1

Ejendom 3 er arvelig ( dvs. verificeret af en hvilken som helst undermodul af M, så snart den er verificeret af M ), det er tilstrækkeligt at vise, at ethvert modul M, der tilfredsstiller det, er af endelig type. Overvej sæt F undermoduler af finite typen M . For hypotese 3, F har en maksimal element N . Vis at M = N . Ved konstruktion er N af begrænset type: der findes en endelig familie ( f i ), der genererer den. Eller m ethvert element af M , overveje undermodul P genereres af familien bestående af m og f i : P er derfor finitely tilhører F . Som N er maksimal og P den indeholder N er lig med P . Derfor indeholder N vektoren m . Da m er en hvilken som helst vektor af M , er N lig med M , hvilket viser, at modulet M er af endelig type.

Nedbrydningen af idealer er mere delikat. I den primære kommuterende ring ℤ er for eksempel idealet 12ℤ lig med både produktet af idealerne 2ℤ, 2ℤ og 3 to og skæringspunktet mellem idealerne 2 2 ℤ og 3ℤ (som også er deres produkt). Kun i en Noetherian kommutativ ring nærmer sig tre egenskaber den (den første bruges i artiklen " Diskret værdiansættelsesring ", den fjerde er Lasker-Noether-sætningen ):

Lad A være en kommanderende ring fra Noether.

Hver idealet om A indeholder et produkt af prime idealer , eller mere præcist, enhver ideal jeg af A indeholder et produkt af prime idealer indeholder jeg .
For enhver ideal af A , der findes et endeligt antal minimale prime idealer, der indeholder dette ideal.
Hvert rodideal af A er et endeligt skæringspunkt mellem prime idealer.
Ethvert ideal A er nedbrydeligt, det vil sige et endeligt skæringspunkt mellem primære idealer .
Hvis A er integreret, er ethvert ikke-nul og ikke-inverterbart element et produkt af et endeligt antal irreducerbare elementer .

Demonstrationer

Hver idealet om A indeholder et produkt af prime idealer , eller mere præcist, hver ideal jeg af A indeholder et produkt af prime idealer, der indeholder jeg :
Lad os vise den første påstand, gennem det absurde. Lad F være det sæt, der antages at være ikke-frit, for idealerne A, der ikke indeholder noget produkt af primidealer (især intet produkt indekseret af en singleton, derfor er elementerne i F ikke prime, og intet produkt indekseret af vakuumet, derfor hører A ikke til F ). Enten jeg en maksimal element i F . Det ideelle jeg er korrekt og ikke primært. Ifølge en karakteristisk egenskab ved ikke-prime idealer , er der to idealer J og K , så jeg indeholder produktet JK men er strengt indeholdt i J og K . Derefter (ved maksimum af I ) tilhører idealerne J og K ikke F , så hver af dem indeholder et produkt af primære idealer. Da jeg indeholder deres produkt, ender vi med en modsigelse, der slutter beviset for det første punkt.
På grund af den en-til-en korrespondance mellem de primære idealer for kvotientringen A / I og dem for ringen A, der indeholder I , udlede vi det andet punkt fra det første anvendt til det ideelle (0) af ringen A / I .
Et mere kompliceret, men lærerigt bevis er at anvende den primære nedbrydning (angivet nedenfor), idet man bemærker, at radikalet i ethvert primært ideal er primært, og at i ethvert idealisk ring indeholder ethvert ideal en styrke fra dets radikale.
Eksistens og endelighed af prime idealer, der indeholder en minimal ideal I :
Vi ved, at der er prime idealer , hvis produkt er inkluderet i jeg . Ethvert primært ideal Q af A indeholdende I indeholder især produktdes . En karakteristisk egenskab af primidealer indikerer, at primidealet Q indeholder et af . Det mindste elementer fra det ideelle er den ideelle minimum indeholdende jeg . $P_ {1}, \ prikker, P_ {n}$ $P_i$ $P_i$ $P_i$
All-radikal ideal A er endelig skæringspunktet mellem prime idealer:
Enten jeg en p-radikal ideal A . Vi ved, at der er primære idealer som f.eks . Men hvis så , så (radiciel), deraf ligestillingen . $P_ {1}, \ prikker, P_ {n}$ ${\ displaystyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ delmængde I \ delmængde \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i}}$ ${\ displaystyle x \ in \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i}}$ ${\ displaystyle x ^ {n} \ in \ prod _ {i = 1} ^ {n} P_ {i} \ delmængde I}$ ${\ displaystyle x \ in {\ sqrt {I}} = I}$ ${\ displaystyle I = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} P_ {i}}$
Hvert ideal er et endeligt skæringspunkt mellem primære idealer:
Vi viser faktisk lidt bedre: i en Noetherian-ring er hvert ideal et endeligt skæringspunkt mellem irreducerbare idealer, og ethvert irreducible ideal er primært.
- For det første punkt, vi argumenterer med modsigelse som før: Lad F Samlet antages ikke tømmes, idealer A , som ikke er krydset endeligt irreducible, og jeg en maksimal element i F . Så er jeg reducerbar derfor lig med skæringspunktet mellem to idealer J og K , hvor det strengt taget er inkluderet. Ved maksimalitet hører J og K ikke til F , så hver af dem er et endeligt skæringspunkt mellem irreducibles, deraf modsætningen.
- For det andet punkt, jf. Den algebraiske udfordring , tome 2, af Claude Mutafian , s. 239, eller Bourbaki AC , kapitel II, § 2, øvelse 22, eller (en) Oscar Zariski og Pierre Samuel , Commutative algebra , vol. 1, kap. IV, s. 209.
  (Man kan også se artiklen Primær nedbrydning , der udvider denne sætning til endelige type moduler på en Noetherian ring, og de fleste af referenceværkerne som Lang 1965 eller Bourbaki AC kapitel IV, der generaliserer dette til Noetherian moduler på en vilkårlig kommutativ ring.)
Hvis A er integreret, produceres ethvert ikke-nul og ikke-inverterbart element af et endeligt antal irreducibles:
Vi resonerer igen af det absurde som før ved at betragte det sæt, angiveligt ikke-tomt, af hovedidealerne for A genereret af ikke-nul og ikke-inverterbare elementer, som ikke verificerer den angivne egenskab. Dette sæt, der indrømmer et maksimalt element til inkludering, man afslutter let med en modsigelse ved at studere dette maksimale element.

Enhver surjectiv endomorfisme af et Noetherian-modul er en automorfisme.

Eksempler

Første sager

Ethvert kommutativt felt er åbenlyst Noetherian, for fraværet af ikke-trivielle idealer. Hver hovedring er også Noetherian, fordi ethvert ideal genereres af et unikt element, således at ℤ, K [ X ] ringen af polynomer med koefficienter i et felt er Noetherian. På den anden side er det, når det er muligt, lettere at studere dem ved hjælp af en euklidisk division eller, hvilket altid er muligt, at bruge den grundlæggende sætning af aritmetik inden for rammerne af en ringfaktor .

Enhver endelig ring er Noetherian, vi finder deres tilstedeværelse, for eksempel i sammenhæng med algebraisk geometri eller algebraisk talteori.

Polynomer og formelle serier

En ring af polynomer er ikke altid principiel; ℤ [ X ] er et allerede citeret eksempel. En polynomiel ring i flere variable A [ X , Y ] er ikke primære, den ideelle af polynomier af graden større end eller lig med 1 kræver to generatorer, ubestemt X og Y .

Følgende sætning, opdaget af David Hilbert i 1888, kaldes undertiden Hilbert-grundlæggende sætning :

Lad A være en kommandativ ring fra Noether, ring af polynomer A [ X ] er Noetherian.

Det kan let generaliseres (ved induktion) til tilfældet med flere ubestemte :

Lad A være en Noetherian kommutativ ring og n et naturligt heltal, ringen af polynomer A [ X 1 ,…, X n ] er Noetherian.

På den anden side er en ring af polynomer over et uendeligt antal ubestemte aldrig noetherian (uanset hvilken koefficientring): sekvensen af idealer hvis n er genereret af ( X 1 , ..., X n ) er stigende men ikke stille.

Som et eksempel på brug kan man forestille sig i geometri en algebraisk overflade S defineret som sæt rødder af en uendelig familie af polynomer med flere ubestemte og på en Noetherian-ring. Sætningen af basen Hilbert siger, at det er tilstrækkeligt at overveje et endeligt sæt af polynomier for S . Faktisk er det sæt polynomer, der annullerer på S , et ideal.

Bevis for Hilberts grundlæggende sætning

Lad J være ethvert ideal for A [ X ]; Målet er at vise, at J er af begrænset type, hvilket vil bevise, at A [ X ] er Noetherian.

Lad ( D n ) være sekvensen af idealer A defineret ved:

{\ displaystyle D_ {n} = \ {a \ i A ~ | ~ \ findes (a_ {0}, \ ldots, a_ {n-1}) \ i A ^ {n} {\ tekst {som}} aX ^ {n} + \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} a_ {i} X ^ {i} \ i J \}.}

Denne sekvens ( D n ) er voksende (bil ) og derfor konstant startende fra en rang r (fordi A er noetherian). Foreningen af alle de D n er derfor lig med D r . ${\ displaystyle P \ i J \ Rightarrow XP \ i J}$

For hvert heltal n , det ideelle D n er finite type (fordi A er noetherian) har derfor en begrænset genererende familie ( en n, i ) (det andet indeks, jeg , traverser et endeligt sæt jeg n ). For hver af disse en n, i , lad P n, i være et polynomium af J af graden n og dominerende koefficient lig med en n, i .

Viser, at familien finite ( P n, i ), dobbelt indekseret af n er mindre end eller lig med r og jeg i jeg n , genererer J . Denne påstand betyder, at ethvert polynom Q af J udtrykkes som en lineær kombination med koefficienter i A [ X ] i denne familie ( Pn , i ).

Hvis Q er nul, er det øjeblikkeligt. Ellers kommer vi tilbage til dette tilfælde ved induktion på graden d af Q : antag, at familien genererer alle polynomier af J med grad strengt lavere end det naturlige heltal d (for d = 0 er det erhvervet, det eneste polynom af grad <0 er nul polynom). Lad q være den dominerende koefficient for Q og s = min ( r , d ). Derefter hører q til D d = D s . Der eksisterer følgelig en familie (μ i ) af elementer af A sådan, at

{\ displaystyle q = \ sum _ {i \ i I_ {s}} \ mu _ {i} a_ {s, i} \ quad {\ text {so}} \ quad \ deg \; {\ Big (} Q - \ sum _ {i \ i I_ {s}} \ mu _ {i} X ^ {ds} P_ {s, i} {\ Big)} <d.}

Induktionshypotesen viser, at Q genereres af familien ( Pn , i ), som afslutter beviset.

Ved et lignende argument (der bærer de ikke-nul koefficienter af lavere grad i stedet for de dominerende koefficienter), beviser vi følgende sætning (som er generaliseret på samme måde til flere ubestemte):

Lad A være en Noetherian kommutativ ring, den formelle serie ring A [[ X ]] er Noetherian.

Ring af heltal

Flere eksempler på ringe fra Noetherian kommer fra aritmetik gennem studiet af diofantiske ligninger , selvom deres anvendelse nu går langt ud over denne ramme. Et simpelt eksempel er givet ved Fermats to kvadrater sætning , som involverer den Gaussiske ring af heltal . Det er ringen af heltal i et kvadratisk felt, så ligesom ringen af heltal for et hvilket som helst talfelt er det en Dedekind-ring og en endelig type ℤ-modul. Især er han noetherian. Mere generelt :

Være

Har en integreret kommutativ ring, K hans krop af fraktioner , L en endelig adskillelig forlængelse af K og B ring elementer af L heltal på A .

Hvis A ikke er etherisk og integreret lukket, er B et A- modul af begrænset type.

(Artiklen " Hele elementet " viser, at B er en ring. Det indeholder åbenbart A, og den er kommutativ enhed og integreres.) Bemærk, at ifølge denne erklæring er B ikke etherisk som A-modul, men også som en ring , da det er et kvotient af en ring af polynomer i et endeligt antal ubestemte med koefficienter i A.

Demonstration

Den her foreslåede demonstration bruger sporformen , som også bruges til at definere en ringes diskriminerende . Sporet form af L løbet K er ikke-degenereret derfor determinant Δ af dets matrix M , i en basis ( b 1 , ..., b n ) af K- vektorrum L , ikke er nul. Ved at vælge b k i B , M er flere koefficienter i A . Afslutningsvis er det tilstrækkeligt at kontrollere, at B er inkluderet i sub- A -modul af L genereret af b 1 / Δ, ..., b n / Δ, anvendelse Laplace formel :

{\ displaystyle \ forall b = \ sum x_ {i} b_ {i} \ i B \ quad \ Delta {\ begynder {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} = (^ {\ operatorname {t}} {\ rm {com}} M) M {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ end {pmatrix}} = {^ { \ operatorname {t}} {\ rm {com}} M} {\ begin {pmatrix} {\ rm {tr}} _ {L / K} (b_ {1} b) \\\ vdots \\ {\ rm {tr}} _ {L / K} (b_ {n} b) \ end {pmatrix}} \ i A ^ {n}.}

I samme register har vi også:

Sætning Krull-Akizuki - Lad A være en kommutativ ring inkorporerer Noetherian hvis første ikke-nul ideal er maksimal, K sit felt af fraktioner, L et endeligt forlængelse af K , og B en delring af L indeholdende A . Så er B noetherian, og ethvert ikke-nul-primært ideal for B er maksimalt. Desuden er det for enhver ikke-nul ideal J af B , den A -modul B / J er finite type.

Klasse af Noetherian ringe

De fleste algebraiske operationer holder ikke æterisk. Lad os huske og udfylde eksemplerne ovenfor:

hovedlegemer og ringe er Noetherian;
hvert kvotient og færdigt direkte produkt af Noetherian ringe er Noetherian;
enhver ring af polynomer med et begrænset antal ubestemte på en Noetherian ring er Noetherian. Således er enhver endelig type algebra over en Noetherian ring Noetherian;
alt lokaliseret i en Noetherian ring er Noetherian; mere generelt, hvis M er en Noetherian A- modul, er en hvilken som helst lokaliseret S -1 M en Noetherian S -1 A- modul. (Faktisk for ethvert submodul N af S -1 M har vi N = ( S -1 A ) ( N ∩ M ); vi udleder, at enhver stigende sekvens ( N n ) af undermoduler til S - 1 M er stationær, da sekvensen ( N n ∩ M ) er.)
den formelle færdiggørelse (en) af en Noetherian kommutativ ring til den I -adiske topologi ( I et ideal for A ) er Noetherian;
hvis en Noetherian-ring er endelig på en subring (dvs. den er af finite type som et modul på subringingen), så er sidstnævnte Noetherian (Eakins sætning);
hver ring er en voksende forening af Noetherian-underringe.

På den anden side generelt

en underring af en Noetherian-ring er ikke Noetherian (for eksempel er ring af polynomer i en uendelighed af ubestemte med koefficienter i et felt ikke Noetherian, men det er en subring af dens feltfraktioner, som er Noetherian);
et tensorprodukt af noetheriske ringe er ikke noetherian (tag L feltet af rationelle fraktioner med uendeligt ubestemte koefficienter i et felt K og betragt tensorproduktet . Sidstnævnte er ikke noetherian, hvorimod K og L er). ${\ displaystyle L \ otimes _ {K} L}$

Klassen af integrerede Noetherian-ringe er en underklasse af klassen med atomringe .

Noter og referencer

(i) Claude Chevalley, "på teorien om lokale Ringe," Annals of Mathematics , anden serie, bd. 44, nr. 4 (okt. 1943), s. 690-708.
For eksempel er idealet, der genereres af elementerne 2 og X , ikke principielt.
I en hovedring er der ingen forskel mellem et irreducerbart element og et primært element . Imidlertid viser vi i ℤ [ $i$ √ 5 ], at 2 er irreducerbar. Dog deler den (1- $i$ √ 5 ) (1+ $i$ √ 5 ) uden at dele nogen af de to faktorer. Det er derfor ikke først. Derfor kan ℤ [ $i$ √ 5 ] ikke være et hovedideal.
Lige selv da - sætning Cohen (in) - alle idealer først i ringen er endeligt : jf. N. Bourbaki , Elementer i matematik : Kommutativ algebra ( læs online ), kapitel II, § 1, øvelse 6.
(i) Serge Lang , Algebra [ detailudgaver ], 1965, s. 144 .
(i) Michael Artin , Algebra [ offentliggøre detaljer ], s. 469 .
I disse to udsagn tillader vi selvfølgelig gentagelser af det samme primære ideal i produktet (ellers modeksempel, for det andet: idealet om multipler af 4, i ringen af heltal).
Denne faktorisering er generelt ikke unik, selv op til multiplikation med invertibler. Noetherian-ring A er således faktoriel, hvis og kun hvis dens irreducerbare elementer er primære .
(i) Alberto Facchini, Modul Teori: endomorfien Ringe og direkte sum decompositions i nogle Klasser af moduler , Birkhauser , al. "Fremskridt inden for matematik" ( nr . 167),1998, 288 s. ( ISBN 978-3-7643-5908-9 , online præsentation ) , s. 46.
Hilberts beviser udløste stor kontrovers i hans tid. Beviset er faktisk ikke konstruktivt . Gordan , ekspert på spørgsmålet, udbrød: Dette er ikke matematik, det er teologi , han ender med at indrømme dette bevis et par år senere og sagde: Jeg er blevet overbevist om, at teologi også har sine fordele (J. Boniface, Hilbert og forestilling om eksistens i matematik , Librairie Philosophique Vrin, 2004, kap. 2 s. 53 og kap. 1 s. 15 ( ISBN 2711616061 ) ).
Lang 1965 , s. 145.
Lang 1965 , s. 146-147.
For mere generelle resultater, jf. Bourbaki AC IX § 4.
(i) David Eisenbud , kommutativ algebra: Med en udsigt mod algebraisk geometri , Springer al. " GTM " ( nr . 150)1995, 785 s. ( ISBN 978-0-387-94269-8 , online præsentation ) , s. 298.
Bourbaki AC VII, § 2, nr. 5, forhåndsvisning i Google Bøger .

Se også

Relaterede artikler

Noetherian
Lemma fra Artin-Rees
Krulls principielle ideer sætning
Stigende kædeforhold på hovedidealer (in)

eksterne links

Kommutativ algebra af Antoine Chambert-Loir , kursus ved universitetet i Rennes 1 (2006-2007)
Algebraiske tal og p-adiske tal af Loïc Merel , forberedende kursus til ph.d.-studier 2003-04, Pierre-et-Marie-Curie University og Denis Diderot University
Bas Edixhoven og Laurent Moret-Bailly, algebraisk talteori, kandidatkursus i matematik , University of Rennes 1,2004( læs online )

Bibliografi

Pierre Samuel , algebraisk talteori [ udgave detalje ]
(en) David A. Cox , John Little og Don O'Shea, Idealer, Varianter og Algoritmer , Springer-Verlag ,2007, 3 e ed. ( ISBN 978-0-387-35651-8 , læs online )