Regelmæssighedsklasse

I matematik og analyse udgør regelmæssighedsklasser af digitale funktioner et fragmentarisk katalog, der er afhængig af eksistensen og kontinuiteten af itereret afledt , uanset funktionens form eller form ( monotoni , konveksitet , nuller osv.).

Men den regelmæssighed klasser ikke på nogen måde afspejler en udtømmende type funktioner: især de kriterier vedrører hele definitionen domænet .

Domæne i dimension n = 1

Hvis $J$ er et interval på ℝ og et heltal, betragter vi følgende funktionelle rum : $k \ geq 1$

${\ mathcal {C}} ^ {0} (J, \ mathbb {R})$ : sættet med kontinuerlige funktioner fra $J$ til ℝ;
${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : Sættet af funktioner fra $J$ til are, som kan differentieres gange; $k$
${\ mathcal {C}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : delsættet bestående af funktioner, hvis ith-afledte er kontinuerlig; ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ $k$
${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ , eller på en strengt ækvivalent måde : Sættet af uendeligt differentierbare funktioner (det vil sige gange differentierbare for alle heltal ) fra $J$ til ℝ, også kaldet glatte eller regelmæssige funktioner . ${\ mathcal {D}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ $ikke$ $ikke$

Disse sæt er algebra , så endnu mere i de vektorrum på ℝ.

Kontinuiteten er knyttet til de sædvanlige topologier på $J$ og på ℝ. På den anden side er det ikke specificeret, om $J$ er åben , lukket , halvåben, halv-højre eller hel ℝ. Den topologi (eller eventuelt standard ) i forbindelse med disse rum er ikke forklaret her enten (se Space of Fréchet ).

Når sammenhængen er klar, ignoreres "argumentet" in i notationen, og det samme er undertiden tilfældet med definitionsdomænet (dette er normalt tilfældet, når $J$ = ℝ).

Da differentierbarhed indebærer kontinuitet, tilfredsstiller disse sæt rækkefølgen af inklusioner:

{\ mathcal {C}} ^ {0} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {2} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {2} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J).

To andre kategorier nævnes ofte:

${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {0} (J)$ sættet med stykkevise kontinuerlige funktioner ;
${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {k} (J)$ (med ) delsættet bestående af funktioner, hvis afledte er stykkevis kontinuerlig; $k \ geq 1$ ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J)$ $k$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {k} (J)$ delmængden bestående af funktioner, hvis understøttelse er kompakt i et åbent sæt indeholdt i $J$ ; ${\ mathcal {C}} ^ {k} (J)$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {\ infty} (J)$ delmængden består af de funktioner, hvis støtte er kompakt i en åben indhold i $J$ . ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J)$

De tilfredsstiller følgende indeslutninger:

{\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{I} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} ( J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{0} ^ {k} (J).

Hvis intervallet

J

er ikke-triviel , alle disse sæt udgør, forsynet med deres love, vektorrum af dimension kort (ℝ) .

Domæne i dimension n > 1

Det vil sige en åben begrænset grænse og vedhæftning . $\ Omega \ delmængde \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ delvis \ Omega$ ${\ overline {\ Omega}}$

Antag for enkelheds skyld, at det er et "almindeligt" domæne; for eksempel og for at rette ideerne, at teoremet om afvigelsen er gyldig for enhver tilstrækkelig glat funktion på . $\ Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

I denne sammenhæng bevarer de foregående definitioner deres gyldighed ved at erstatte $J$ med og ved at tage "derivat" i betydningen " differentieret ". ${\ overline {\ Omega}}$

Relaterede artikler