Suite plads ℓ s

I matematik er rummet ℓ p et eksempel på et vektorrum , der består af sekvenser med reelle eller komplekse værdier, og som for 1 ≤ p ≤ ∞ har en Banach-rumstruktur .

Motivering

Overveje den virkelige vektor plads ℝ n , dvs. rummet af n- tupler af reelle tal .

Den euklidiske norm for en vektor er givet ved: x=(x1,x2,...,xikke){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ prikker, x_ {n})}

‖x‖=(x12+x22+⋯+xikke2)1/2{\ displaystyle \ | x \ | = \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ dots + x_ {n} ^ {2} \ right) ^ {1/2} }.

Men for ethvert reelt tal p ≥ 1 kan vi definere en anden norm på, n , kaldet p -orm, ved at stille:

‖x‖s=(|x1|s+|x2|s+⋯+|xikke|s)1/s{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ prikker + | x_ {n} | ^ {p } \ højre) ^ {1 / p}}

til enhver vektor . x=(x1,x2,...,xikke){\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ prikker, x_ {n})}

For enhver p ≥ 1 er ℝ n udstyret med p -normen derfor et normaliseret vektorrum . Da det er en begrænset dimension , er den komplet til denne standard.

Mellemrum ℓ s

Den p -normen kan udvides til vektorer med et tælleligt uendeligt af komponenter, som afgrænser rummet ℓ p (også bemærket ℓ p ( ℕ ) kan defineres såvel ℓ p ( x ) for ethvert endeligt eller uendeligt sæt X , sagen hvor X har n elementer svarende til det foregående afsnit).

Mere præcist vil ℓ p være et vektorunderrum af det uendelige antal reelle eller komplekse tal, hvor summen er defineret af:

(x0,x1,...,xikke,xikke+1,...)+(y0,y1,...,yikke,yikke+1,...)=(x0+y0,x1+y1,...,xikke+yikke,xikke+1+yikke+1,...){\ displaystyle (x_ {0}, x_ {1}, \ prikker, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ prikker) + (y_ {0}, y_ {1}, \ prikker, y_ {n }, y_ {n + 1}, \ prikker) = (x_ {0} + y_ {0}, x_ {1} + y_ {1}, \ prikker, x_ {n} + y_ {n}, x_ {n +1} + y_ {n + 1}, \ prikker)}

og multiplikation med en skalar ved:

λ(x0,x1,...,xikke,xikke+1,...)=(λx0,λx1,...,λxikke,λxikke+1,...).{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, x_ {1}, \ dots, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ dots) = (\ lambda x_ {0}, \ lambda x_ {1}, \ prikker, \ lambda x_ {n}, \ lambda x_ {n + 1}, \ prikker).}

Vi definerer p -ormen af ​​en sekvens  : x=(x0,x1,...,xikke,xikke+1,...){\ displaystyle x = (x_ {0}, x_ {1}, \ prikker, x_ {n}, x_ {n + 1}, \ prikker)}

‖x‖s=(|x0|s+|x1|s+⋯+|xikke|s+|xikke+1|s+...)1/s∈[0,+∞].{\ displaystyle \ | x \ | _ {p} = \ left (| x_ {0} | ^ {p} + | x_ {1} | ^ {p} + \ prikker + | x_ {n} | ^ {p } + | x_ {n + 1} | ^ {p} + \ prikker \ højre) ^ {1 / p} \ i [0, + \ infty].}

Serien til højre er ikke altid konvergent: for eksempel har sekvensen (1, 1, 1, ...) en uendelig p -orm for enhver p <∞ .

Rummet ℓ p er defineret som det sæt uendelige sekvenser af reelle eller komplekse tal, hvis p -norm er endelig.

Vi definerer også ”normen ∞  ” som:

‖x‖∞=sup(|x0|,|x1|,...,|xikke|,|xikke+1|,...){\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ sup (| x_ {0} |, | x_ {1} |, \ prikker, | x_ {n} |, | x_ {n + 1} |, \ prikker)}

og det tilsvarende vektorrum ℓ ∞ er rummet for afgrænsede sekvenser .

Ejendomme

• For ethvert sæt X er rummet ℓ ∞ ( X ) af funktioner afgrænset på X (med reelle eller komplekse værdier) Banach , dvs. enhver ensartet Cauchy- sekvens af funktioner afgrænset på X konvergerer ensartet (til en afgrænset funktion). Ligeledes for 1 ≤ p ≤ ∞ er ℓ p (ℕ) Banachs. (Disse er to specielle tilfælde af Riesz-Fischer sætning , som vedrører alle L p mellemrum .)
• I ℓ ∞ er et bemærkelsesværdigt underrum rummet c i konvergerende sekvenser . Det er lukket ( derfor komplet ), da enhver ensartet grænse for konvergerende sekvenser er konvergent; eller igen: c er komplet ( derfor lukket i ℓ ∞ ), da isometrisk isomorf til det (komplette) rum med kontinuerlige kort ( derfor ) afgrænset på det kompakte [0, ω] = ℕ∪ {+ ∞} , komprimeret d 'Alexandrov fra diskret ℕ .
• I 1 < p < ∞ , sekvensen plads ℓ p er refleksivt . Dens dobbelte er mellemrummet ℓ q , med 1 ⁄ p + 1 ⁄ q = 1;
• I ℓ ∞ er underområdet c 0 for sekvenser med nulgrænse ikke refleksivt: dets dobbelte er ℓ 1 og den dobbelte af ℓ 1 er ℓ ∞ . Derfor er ℓ 1 og ℓ ∞ heller ikke reflekterende.
• For alle r < ∞ og alle x ∈ ℓ r , kortet p ↦ ║ x ║ p er faldende på [ r , + ∞ [ . Faktisk, hvis p ≥ q ≥ r har vi | x k | / ║ x ║ q ≤ 1 for ethvert indeks k , så|xk|s/‖x‖qs≤|xk|q/‖x‖qq ;{\ displaystyle | x_ {k} | ^ {p} / \ | x \ | _ {q} ^ {p} \ leq | x_ {k} | ^ {q} / \ | x \ | _ {q} ^ {q} ~;}ved at summere denne ulighed på k udleder vi ║ x ║ p ≤ ║ x ║ q . Funktionen p ↦ ║ x ║ p er også kontinuerlig over [ r , + ∞] . I særdeleshed :‖x‖∞=lims→+∞‖x‖s.{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} = \ lim _ {p \ til + \ infty} \ | x \ | _ {p}.}

Noter og referencer

1. Georges Skandalis , General Topology , Masson.
2. (i) "  The l ∞ -normen er lig med grænseværdien af de p -norms  " på math.stackexchange .

Relaterede artikler

• Schauder base
• Mellemrum L s
• Summable familie

eksterne links

• Myndighedsposter  :
  • Frankrigs Nationalbibliotek ( data )
  • Universitetsdokumentationssystem
  • Library of Congress
  • Gemeinsame Normdatei