Hurwitz zeta-funktion
I matematik er Hurwitzs zeta- funktion en af mange zeta-funktioner .
Det er defineret, for enhver værdi q af parameteren komplekst tal af strengt positiv reelle del , af de følgende serier , konvergerer mod en holomorf funktion på halvplan af komplekserne s , således at Re ( s )> 1 :
ζ(s,q)=∑k=0∞(k+q)-s{\ displaystyle \ zeta (s, q) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (k + q) ^ {- s}}.
Ved analytisk fortsættelse , strækker sig i en meromorf funktion på komplekse plan , af enkelt pol s = 1 .
ζ(⋅,q){\ displaystyle \ zeta (\ cdot, q)}
ζ(⋅,1){\ displaystyle \ zeta (\ cdot, 1)}er Riemann zeta-funktionen .
Fuld repræsentation
ζ(s,q)=1Γ(s)∫0∞ts-1e-tq1-e-tdt{\ displaystyle \ zeta (s, q) = {\ frac {1} {\ operatorname {\ Gamma} (s)}} int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {s-1 } \ operatorname {e} ^ {- tq}} {1- \ operatorname {e} ^ {- t}}} \, \ mathrm {d} t},
hvor Γ betegner Gamma-funktionen .
Analytisk udvidelse
Funktionen strækker sig ind i en meromorf funktion, med en enkelt pol s = 1 , enkel, med en rest lig med 1 .
ζ(⋅,q){\ displaystyle \ zeta (\ cdot, q)}
Laurents udvikling
Hans udvikling af Laurent i denne pol er
ζ(s,q)=1s-1+∑ikke=0∞(-1)ikkeikke!γikke(q)(s-1)ikke{\ displaystyle \ zeta (s, q) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ gamma _ {n} (q) (s-1) ^ {n}}hvor koefficienterne
γikke(q)=limIKKE→∞{(∑k=0IKKElnikke(k+q)k+q)-lnikke+1(IKKE+q)ikke+1},ikke∈IKKE{\ displaystyle \ gamma _ {n} (q) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ left \ {\ left (\ sum _ {k = 0} ^ {N} {\ frac {\ ln ^ { n} (k + q)} {k + q}} \ højre) - {\ frac {\ ln ^ {n + 1} (N + q)} {n + 1}} \ højre \}, \ qquad n \ in \ mathbb {N}}er de "generaliserede Stieltjes-konstanter" (de sædvanlige Stieltjes-konstanter svarer til Riemann-zeta-funktionen).
γikke(1){\ displaystyle \ gamma _ {n} (1)}
Den tilsvarende generalisering af Jensen - Franel- formlen er Hermite- formlen :
γikke(q)=(12q-lnqikke+1)lnikkeq-jeg∫0∞dxe2πx-1{lnikke(q-jegx)q-jegx-lnikke(q+jegx)q+jegx}{\ displaystyle \ gamma _ {n} (q) = \ left ({\ frac {1} {2q}} - {\ frac {\ ln q} {n + 1}} \ right) \ ln ^ {n} q- \ mathrm {i} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ operatorname {e} ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ { {\ frac {\ ln ^ {n} (q- \ mathrm {i} x)} {q- \ mathrm {i} x}} - {\ frac {\ ln ^ {n} (q + \ mathrm {i } x)} {q + \ mathrm {i} x}} \ højre \}}.
Konstanten for indeks 0 er det modsatte af digammafunktionen :
γ0(q)=-ψ(q)=-Γ′(q)Γ(q){\ displaystyle \ gamma _ {0} (q) = - \ psi (q) = - {\ frac {\ Gamma '(q)} {\ Gamma (q)}}}.
Hurwitz-formel
Hurwitzs formel er følgende sætning, gyldig for 0 < q <1 og Re ( s )> 0 , såvel som for q = 1 og Re ( s )> 1 :
ζ(1-s,q)=Γ(s)(2π)s[e-jegπs/2F(q,s)+ejegπs/2F(-q,s)]{\ displaystyle \ zeta (1-s, q) = {\ frac {\ Gamma (s)} {(2 \ pi) ^ {s}}} \ left [{\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} \ pi s / 2} F (q, s) + {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi s / 2} F (-q, s) \ højre] }eller
F(q,s): =∑k=1∞eksp(2πjegkq)ks=Lis(e2πjegq){\ displaystyle F (q, s): = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ exp (2 \ pi {\ rm {i}} kq)} {k ^ {s} }} = {\ mbox {Li}} _ {s} ({\ rm {e}} ^ {2 \ pi {\ rm {i}} q})},
Li s er den polylogarithm funktion .
Funktionel ligning
Den funktionelle ligning relaterer værdierne for zeta-funktionen på venstre - og højre - side af det komplekse plan. For hele tal 1≤m≤ikke,{\ displaystyle 1 \ leq m \ leq n,}
ζ(1-s,mikke)=2Γ(s)(2πikke)s∑k=1ikkecos(πs2-2πkmikke)ζ(s,kikke){\ displaystyle \ zeta \ left (1-s, {\ frac {m} {n}} \ right) = {\ frac {2 \ Gamma (s)} {(2 \ pi n) ^ {s}}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ cos \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} - {\ frac {2 \ pi km} {n}} \ right) \; \ zeta \ left (s, {\ frac {k} {n}} \ right)}forbliver gyldig for alle værdier i s .
Taylor seriel udvikling
Det delvise derivat af zeta-funktionen er en Sheffer-sekvens :
∂∂qζ(s,q)=-sζ(s+1,q){\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial q}} \ zeta (s, q) = - s \ zeta (s + 1, q)}.
Således kan Taylor-serien skrives som følger:
ζ(s,x+y)=∑k=0∞ykk!∂k∂xkζ(s,x)=∑k=0∞(s+k-1s-1)(-y)kζ(s+k,x){\ displaystyle \ zeta (s, x + y) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {y ^ {k}} {k!}} {\ frac {\ partial ^ {k }} {\ partial x ^ {k}}} \ zeta (s, x) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {s + k-1 \ vælg s-1} (- y) ^ {k} \ zeta (s + k, x)}.
Fourier transformation
Den diskrete Fourier-transformation af Hurwitz zeta-funktionen med hensyn til rækkefølgen s er Legendre chi-funktionen .
Forhold til Bernoulli polynomer
Da det med begrebet F introduceret ovenfor , den Fourier række Bernoulli polynomier er (for og ):
0<x<1{\ displaystyle 0 <x <1}ikke∈IKKE∗{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} ^ {*}}
Bikke(x)=-ikkeΓ(ikke)(2π)ikke((-jeg)ikkeF(x,ikke)+jegikkeF(-x,ikke)){\ displaystyle B_ {n} (x) = - n {\ frac {\ Gamma (n)} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ left ((- \ mathrm {i}) ^ {n} F (x, n) + \ mathrm {i} ^ {n} F (-x, n) \ højre)},
Hurwitzs formel giver (for 0 < x <1 og ):
ikke∈IKKE{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}
ζ(-ikke,x)=-Bikke+1(x)ikke+1{\ displaystyle \ zeta (-n, x) = - {B_ {n + 1} (x) \ over n + 1}}.
Forholdet til Dirichlets L-funktioner
Ved at sætte et helt tal Q ≥ 1 , de Dirichlet L-funktioner for tegn modulo Q er lineære kombinationer af ζ ( s , q ) hvor q = k / Q og k = 1, 2, ..., Q .
Mere præcist, så lad χ en Dirichlet karakter mod Q . Den tilknyttede Dirichlet L-funktion er skrevet:
L(s,χ)=∑ikke=1∞χ(ikke)ikkes=1Qs∑k=1Qχ(k)ζ(s,kQ){\ displaystyle L (s, \ chi) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ chi (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {1} { Q ^ {s}}} \ sum _ {k = 1} ^ {Q} \ chi (k) \; \ zeta \ left (s, {\ frac {k} {Q}} \ right)}.
Ved inversion af Plancherel udleder vi for enhver irreducerbar brøkdel :
k/Q∈]0,1]{\ displaystyle k / Q \ in \ left] 0.1 \ right]}
ζ(s,kQ)=Qsφ(Q)∑χχ¯(k)L(s,χ){\ displaystyle \ zeta \ left (s, {\ frac {k} {Q}} \ right) = {\ frac {Q ^ {s}} {\ varphi (Q)}} \ sum _ {\ chi} { \ overline {\ chi}} (k) L (s, \ chi)},
summen over alle Dirichlet karakterer Mod Q .
Forholdet til polygamma-funktionen
Hurwitzs zeta-funktion generaliserer polygamma-funktionen :
ψ(m)(z)=(-1)m+1m!ζ(m+1,z){\ displaystyle \ psi ^ {(m)} (z) = (- 1) ^ {m + 1} m! \ zeta (m + 1, z)}.
Forholdet til Lerchs transcendente funktion
Den Lerch transcendente generaliserer den Hurwitz zetafunktion:
Φ(z,s,q)=∑k=0∞zk(k+q)s{\ displaystyle \ Phi (z, s, q) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {(k + q) ^ {s}}}}også
ζ(s,q)=Φ(1,s,q){\ displaystyle \ zeta (s, q) = \ Phi (1, s, q)}.
Forhold til Jacobi theta-funktionen
Hvis er Jacobis theta- funktion, så
ϑ(z,τ){\ displaystyle \ vartheta (z, \ tau)}
∫0∞[ϑ(z,jegt)-1]ts/2dtt=π-(1-s)/2Γ(1-s2)[ζ(1-s,z)+ζ(1-s,1-z)]{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ vartheta (z, {\ rm {i}} t) -1 \ right] t ^ {s / 2} {\ frac {\ mathrm { d} t} {t}} = \ pi ^ {- (1-s) / 2} \ Gamma \ left ({\ frac {1-s} {2}} \ right) \ left [\ zeta (1- s, z) + \ zeta (1-s, 1-z) \ højre]}forbliver gyldig for Re s > 0 og ikke- heltal kompleks z .
For z = n et heltal forenkles dette til
∫0∞[ϑ(ikke,jegt)-1]ts/2dtt=2 π-(1-s)/2 Γ(1-s2)ζ(1-s)=2 π-s/2 Γ(s2)ζ(s){\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [\ vartheta (n, {\ rm {i}} t) -1 \ right] t ^ {s / 2} {\ frac {{\ rm {d}} t} {t}} = 2 \ \ pi ^ {- (1-s) / 2} \ \ Gamma \ left ({\ frac {1-s} {2}} \ right) \ zeta ( 1-s) = 2 \ \ pi ^ {- s / 2} \ \ Gamma \ left ({\ frac {s} {2}} \ right) \ zeta (s)}hvor ζ er Riemann zeta-funktionen. Denne skelnen i henhold til integriteten af z tegner sig for det faktum, at Jacobi theta-funktionen konvergerer til Dirac-funktionen δ for z, når t → 0 .
Ansøgninger
Hurwitzs zeta-funktion vises hovedsageligt i talteori , men også i anvendt statistik ; se Zipfs lov og Zipf-Mandelbrots lov (en) .
Referencer
(da) Denne artikel er helt eller delvist taget fra artiklerne med titlen på
engelsk " Hurwitz zeta-funktion " ( se listen over forfattere ) og
" Stieltjes-konstanter " ( se listen over forfattere ) .
-
Se for eksempel denne korrigerede øvelse på Wikiversity .
-
Se for eksempel Apostol 1976 , s. 255, eller denne øvelse korrigeret på Wikiversity .
-
(i) Bruce C. Berndt , " On the Hurwitz zeta-function " , Rocky Mountain J. Math. , Vol. 2, n o 1,1972, s. 151-158 ( læs online ).
-
(en) Iaroslav V. Blagouchine, " En sætning til den lukkede forms evaluering af den første generaliserede Stieltjes-konstant ved rationelle argumenter og nogle relaterede summeringer " , J. Number Theory , bind. 148,2015, s. 537-592 ( arXiv 1401.3724 )
.
-
Apostol 1976 , s. 257-259.
-
Se for eksempel Apostol 1976 , s. 264, eller denne øvelse korrigeret på Wikiversity .
Se også
Relateret artikel
Gauss-Kuzmin-Wirsing operatør
Bibliografi
- (en) Tom M. Apostol , Introduktion til analytisk talteori , Springer ,1976( læs online ) , kap. 12
-
(da) Milton Abramowitz og Irene Stegun , Håndbog om matematiske funktioner med formler, grafer og matematiske tabeller [ udgave detaljer ] ( læs online ), § 6.4.10
- (en) Djurdje Cvijovic og Jacek Klinowski, “ Værdierne i Legendre chi og Hurwitz zeta fungerer ved rationelle argumenter ” , Matematik. Komp. , Vol. 68,1999, s. 1623-1630 ( læs online )
Eksternt link
(da) Eric W. Weisstein , “ Hurwitz Zeta-funktion ” , på MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">