Mekanik af deformerbare faste stoffer

Den faste mekanik er grenen af kontinuummekanik, der studerer den mekaniske opførsel af faste materialer, især deres bevægelser og deformationer under påvirkning af kraft , temperaturændringer , faseændring eller andre eksterne eller interne handlinger.

En typisk anvendelse af deformerbar solid mekanik er at bestemme ud fra en bestemt original solid geometri og de belastninger, der påføres den, om kroppen opfylder visse krav til styrke og stivhed . For at løse dette problem er det nødvendigt at bestemme spændingsfeltet og spændingsfeltet for det faste stof. Ligningerne der er nødvendige til dette er:

de ligevægtsligningerne , som forbinder de indre stress faste stof til belastningerne, der udøves (jf statisk ligevægt );
de konstitutive love , der forbinder spændingerne med stammerne, og hvor andre mængder såsom temperatur, stammehastighed, akkumulerede plaststammer, hærdningsvariabler osv. kan også gribe ind
kompatibilitetsligningerne, hvorfra forskydningerne gendannes som en funktion af stammerne og randbetingelserne .

Mekanikken for deformerbare faste stoffer er grundlæggende inden for ingeniørarbejde inden for civilingeniør , mekanisk konstruktion ( rumfart , nuklear , biomedicinsk osv.), Materialevidenskab eller geologi . Der er specifikke anvendelser inden for mange andre områder, såsom at forstå anatomi af levende ting og designe kirurgiske proteser eller implantater . En af de mest almindelige praktiske anvendelser af deformerbar solid mekanik er Euler-Bernoulli stråle ligning . Solid mekanik bruger i vid udstrækning tensorer til at beskrive spændinger , belastninger og forholdet mellem dem.

Mekanikken for deformerbare faste stoffer er et bredt felt på grund af det brede udvalg af tilgængelige materialer, såsom stål , træ , beton , plast , elastomerer , tekstiler , kompositmaterialer eller biologiske stoffer .

Kinematik af faste kontinuerlige medier (Lagrangian beskrivelse)

Vi beskriver transformationen af hvert punkt i midten af en funktion (tilstrækkelig regelmæssig) sådan, at . $\ understregning {\ Phi} (M, t)$ $\ understregning {OM} = \ understregning {\ Phi} (M_ {0}, t)$

Man introducerer derefter begrebet deformation for at måle afstanden mellem to punkter i det faste stof efter transformationen . $\ understreger {\ Phi}$

Vi prøver at få et mål for . $\ | MN \ | ^ {2} - \ | M_ {0} N_ {0} \ | ^ {2}$

Men det har vi . Vi kan derfor skrive: $\ understregning {OM} = \ understregning {\ Phi} (M_ {0}, t)$

\ understregning {ON} = \ understregning {OM} + \ understregning {\ understregning {F}} \ cdot \ understregning {M_ {0} N_ {0}} + o (\ | \ understregning {M_ {0} N_ {0 }} \ |)

eller:

{\ displaystyle {\ understreget {\ understreget {F}}} = {\ understreget {\ understreget {\ operatorname {grad}}}} ({\ understreget {\ Phi}}) = {\ frac {\ delvis {\ understreget {\ Phi}}} {\ partial M_ {0}}}}

er transformationens gradient.

Vi opnår derfor:

{\ displaystyle \ | MN \ | ^ {2} - \ | M_ {0} N_ {0} \ | ^ {2} = {\ understregning {M_ {0} N_ {0}}} \ venstre ({\ understregning {\ understregning {F}}} ^ {T} \ cdot {\ understreget {\ understregning {F}}} - {\ understreget {\ understreget {Id}}} \ højre) {\ understreg {M_ {0} N_ { 0}}}}

Vi spørger:

{\ displaystyle {\ understreget {\ understreget {E}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ understreget {\ understreget {F}}} ^ {T} \ cdot {\ understreget {\ understreget {F}}} - {\ understreget {\ understreget {Id}}} \ højre)}

hvor er operatøren af stammerne fra Green-Lagrange. $\ understreget {\ understreget {E}}$

Hvis vi introducerer forskydningsvektoren , får vi: $\ understregning {u} (M_ {0}, t) = \ understregning {M_ {0} M}$

{\ displaystyle {\ understreget {\ understreget {E}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ partial {\ understreget {u}}} {\ partial M_ {0}} } ^ {T} \ cdot {\ frac {\ partial {\ understreget {u}}} {\ partial M_ {0}}} + {\ frac {\ partial {\ understreget {u}}} {\ partial M_ { 0}}} + {\ frac {\ partial {\ understregning {u}}} {\ partial M_ {0}}} ^ {T} \ right)}

Hvis man antager de små stammer, opnår man operatøren af de lineariserede stammer:

{\ displaystyle {\ understreget {\ understreget {\ varepsilon}}} = {\ frac {1} {2}} \ venstre ({\ frac {\ delvis {\ understreget {u}}} {\ delvis M_ {0} }} + {\ frac {\ partial {\ understregning {u}}} {\ partial M_ {0}}} ^ {T} \ right)}

Sil tensor

Hvis vi tegner en lille terning i materialet, transformeres denne terning til en parallelepiped efter deformation af delen (vi antager små deformationer). Vi har derfor på den ene side en anden forlængelse (eller sammentrækning) i henhold til de tre kanter ( ), men også en variation af den rigtige vinkel for hver af de tre vinkler , som bliver ( ). $\ epsilon _ {1}, \ epsilon _ {2}, \ epsilon _ {3}$ $\ pi / 2-2 \ gamma _ {1}, \ pi / 2-2 \ gamma _ {2}, \ pi / 2-2 \ gamma _ {3}$

Disse størrelser gør det muligt at definere tensoren af stammerne, der kan repræsenteres i form af en 3 × 3-matrix, hvis koefficienter er disse størrelser.

Stress tensor

I det generelle tilfælde udsættes et element af materiale placeret i hjertet af en del for spændinger i forskellige retninger. Inden for rammerne af teorien om den første gradient repræsenterer man denne spændingstilstand med en tensor af rækkefølge to (som man selv kan repræsentere ved en 3 × 3- matrix ) kaldet tensor af spændingerne .

Adfærdslov

De konstitutive love modellerer faststofs opførsel ved empiriske love, der forbinder to fysiske størrelser, hovedsageligt belastningerne til stammerne (selv til stammehastigheden).

Typer af deformerbare faste stoffer

Deformerbare faste stoffer adskiller sig fra hinanden ved deres konstitutive lov. I henhold til den konstitutive lov, der forbinder de relevante mekaniske og termodynamiske størrelser af det faste stof, skelner man mellem følgende adfærd:

den elastiske opførsel opstår, når et fast stof, der er deformeret, øger sin indre energi (den elastiske potentielle energi ) uden at producere termodynamiske transformationer irreversible . Det vigtigste kendetegn ved elastisk opførsel er, at den er reversibel: hvis de kræfter, der forårsager deformationen ophører, vender det faste stof som en fjeder tilbage til den oprindelige tilstand inden belastningen påføres. Der er flere undertyper af elastisk adfærd:
- isotrop lineær elastik , som for de fleste metaller, der ikke er kolddeformerede og udsættes for små deformationer;
- ikke-isotropisk lineær elastik: kompositmaterialer såsom træ har en opførsel, der afhænger af fibrenes retning; det er derfor et ortotropisk materiale (et bestemt tilfælde af ikke-isotropi);
- ikke-lineære elastikker, elastomerer såsom gummi eller beton til små kompressionskræfter, som vender tilbage til deres udgangsposition (undtagen skader), men hvis spændinger ikke er strengt proportionale med deformationerne;
den elastoplastisk adfærd : når man når plast område, der er irreversibilitet; selvom de kræfter, under hvilke de plastiske deformationer produceres, ophører, vender det faste stof ikke nøjagtigt tilbage til den termodynamiske og deformationstilstand, det havde før dets anvendelse. Til gengæld er undertyperne:
- ren plast, når materialet forlænges (vi taler om plastikstrøm) frit fra et bestemt niveau af stress;
- plast med trækhærdning med en spænding, der øges med plastisk deformation; det er derfor nødvendigt at øge spændingen for at fortsætte plaststrømmen;
- plast med svækkelse
den viskøse opførsel, der opstår, når stammehastigheden griber ind i den konstitutive lov, stiger typisk belastningerne med belastningshastigheden. Her kan man skelne mellem følgende modeller:
- viskoelastisk opførsel , hvor de elastiske stammer er reversible. For vilkårligt lave belastningshastigheder har denne model tendens til en elastisk opførselsmodel;
- viskoplastisk opførsel med både en stigning i spændinger som en funktion af deformationshastigheden på grund af viskositet og det mulige udseende af irreversible plastiske deformationer.

I princippet er et fast stof af et givet materiale i stand til at udvise mere end en af disse adfærd afhængigt af spændings- eller stammeområdet. Enten adfærd vil afhænge af den specifikke form for den konstitutive lov, der forbinder vigtige mekaniske parametre såsom stress, belastning (elastisk og plastisk), belastningshastighed samt parametre såsom konstanter elastiske, viskositet og termodynamiske parametre såsom temperatur eller entropi.

Forenklet tilgang: stress-, belastnings- og elasticitetskoefficienter

Grundlaget for mekanikken i kontinuerlige medier er studiet af deformationer og fænomener forbundet med en transformation af et medium. Begrebet deformation bruges til at kvantificere, hvordan længderne er blevet udvidet, og vinklerne har ændret sig i mediet.

En enkel måde at søge at kvantificere deformationen på er at se på den relative forlængelse af et segment i det faste stof eller variationen i vinklen mellem to retninger.

Til relativ forlængelse , også kaldet stamme $\ varepsilon$

\ varepsilon = {\ frac {\ Delta l} {l_ {0}}} = {\ frac {l-l_ {0}} {l_ {0}}}

$l_ {0}$ er den oprindelige længde og forlængelse; er enhedsløs. $\ Delta l$ $\ varepsilon$

Man vil være i stand til at bemærke, at det under en belastning i trækkraft er positivt, og at det under en kompression er negativt. $\ varepsilon$

Denne forestilling introduceret her er "global", idet man ser på den relative forlængelse for et længdesegment . $l_ {0}$

For at introducere en lokal forestilling er det nødvendigt at overveje grænsen for den relative forlængelse, når længden af segmentet har en tendens til 0:

\ varepsilon = {\ mathop {\ lim _ {{\ ell \ to 0}}}} {\ frac {{\ delta} {\ ell}} {\ ell}}

Vi indser derefter, at begrebet relativ forlængelse er ret dårlig, for i hjertet af volumenet af et fast stof kan vi overveje en uendelig rækkefølge for segmenterne. Denne opfattelse er imidlertid tilstrækkelig til at anholde studiet af bjælker .

Spændingerne kvantificeres ved hjælp af begrebet stress , som er overfladekraften, der udøves på en del af delen på et punkt af resten af delen. Denne spænding, hvis det antages at være ensartet i afsnittet, kan sammenlignes med den gennemsnitlige spænding: $\ sigma$

\ sigma = {\ frac FS}

$\ sigma$ er homogen ved tryk og udtrykkes i mega pascal (MPa) eller newton pr kvadratmillimeter (N / mm).

Det faktum, at man bruger og gør det muligt at skrive lokale og ikke-globale love, kan man derefter skrive ligevægten for hvert punkt i mediet og beskrive dets opførsel (lov, der forbinder stress og belastning). $\ sigma$ $\ epsilon$

Materialet er kendetegnet ved elasticitetskoefficienter , som repræsenterer vanskeligheden ved at deformere; hovedmanden er Youngs modul , knyttet til stress og belastning gennem Hookes lov : $E$

\ sigma = E \ cdot \ varepsilon

$E$ er homogent ved tryk og udtrykkes i megapascal (MPa), gigapascal (GPa) eller kilonewtons pr. kvadratmillimeter (kN / mm²).

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Solid mechanics " ( se listen over forfattere ) .

(es) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på spansk med titlen " Mecánica de sólidos deformables " ( se forfatterliste ) .

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den franske Wikipedia- artikel med titlen " Mécanique des medium continuus " ( se listen over forfattere ) .

Allan Bower, Anvendt mekanik af faste stoffer , CRC-presse,2009( læs online )

Se også

eksterne links