Operatørstandard

I matematik og mere specifikt i funktionel analyse er en operatørnorm eller underordnet norm en norm defineret i rummet for afgrænsede operatorer mellem to normerede vektorrum . Mellem to sådanne rum er de afgrænsede operatorer ingen ringere end kontinuerlige lineære kort .

På en krop er K "værdi" (i den forstand forsynet med en absolut værdi ) og ikke- diskret (typisk K = R eller C ) henholdsvis E og F to normerede mellemrum forsynet med standarderne ‖ ‖ 1 og ‖ ‖ 2 .

Lad f være en lineær afbildning af E i F . Overvej . ${\ displaystyle N: = \ sup _ {v \ neq 0} {\ frac {\ | f (v) \ | _ {2}} {\ | v \ | _ {1}}}}$

Hvis N < $+ \infty$ , siger vi, at N er normen for operatøren f , underordnet ‖ ‖ 1 og ‖ ‖ 2 .

Ejendomme

N er endelig, hvis og kun hvis der findes reelle tal C, således at for alle v ∈ E , ‖ f ( v ) ‖ 2 ≤ C ‖ v ‖ 1 (med andre ord: sådan at f er C - Lipschitzian ), og i dette tilfælde N er lig med den mindste af disse faktiske C .
Hvis N er begrænset derefter f er N - Lipschitzian og derfor ensartet kontinuerlig , derfor kontinuert, fortsætter derfor i 0. Omvendt, hvis f er kontinuert i 0, så N er endelig (beviset, klassisk for K = R eller C , er generaliserer ).
N er endelig, hvis og kun hvis billedet af f af en afgrænset del af E (eller simpelthen: af enhedskuglen) er afgrænset. Dette forklarer navnet på afgrænset operatører også givet kontinuerte lineære afbildninger af E ind i F .
I rummet med lineære kort fra E til F kan underområdet for dem, der er kontinuerlige, derfor forsynes med den underordnede norm. Så den bilineære applikation er kontinuerlig. ${\ displaystyle L (E, F)}$ $\ matematisk L (E, F)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (E, F) \ gange E \ til F, (f, v) \ mapsto f (v)}$
Hvis E er af finite dimension, enhver lineær kortlægning af E i F er kontinuert: . ${\ displaystyle L (E, F) = {\ mathcal {L}} (E, F)}$
hvis K = R eller C , er N også lig med ${\ displaystyle \ sup _ {\ | v \ | _ {1} = 1} \ | f (v) \ | _ {2} = \ sup _ {\ | v \ | _ {1} \ leqslant 1} { \ frac {\ | f (v) \ | _ {2}} {\ | v \ | _ {1}}}.}$ I den uendelige dimension nås denne øvre grænse ikke altid (jf. ” Ekstrem tilfælde af Hölders ulighed ”).

Dyb analyse

En operatørnorm tilfredsstiller aksiomerne i en norm, så rummet for afgrænsede lineære operatorer fra E til F i sig selv er et normeret rum. Det er komplet, hvis F er komplet.

To forskellige regler er involveret her: den ene på E og af F . Selvom E = F , er det muligt at overveje to forskellige normer på disse rum. Især identitetsoperatøren på E for to normer ‖.‖ og |||. ||| på E , har en operatørnorm, der går fra E med ‖.‖ til |||. |||, hvis og kun hvis der findes en konstant C sådan, at for alle v , ||| v ||| < C ‖ v ‖. Når E er finite dimension på K = R eller C , er denne egenskab garanteret: for eksempel i tilfældet E = R 2 , betingelserne ‖ v ‖ = 1 og ||| v ||| = 1 kan henholdsvis definere et rektangel og en ellipse, centreret ved 0. Uanset deres proportioner og retninger kan vi forstørre rektanglet, så ellipsen passer ind i det forstørrede rektangel og omvendt . Dette er imidlertid et fænomen, der er knyttet til den endelige dimension og til fuldstændigheden af K, fordi i en begrænset dimension på et sådant felt er alle standarder ækvivalente . Dette fører blandt andet til deres topologiske ækvivalens: alle standarder definerer den samme topologi , de samme åbninger.

I tilfælde af K = R eller C og E = K n er det muligt at vise direkte, at N er endelig. Faktisk (for enhver norm ‖.‖ 1 ) er funktionen E → R , v ↦ ‖ f ( v ) continuous 2 kontinuerlig, og enhedssfæren (sæt af vektorer v for norm 1) er kompakt , som del lukket og afgrænset. Operatørnormen for f er lig med den øvre grænse for dette kort på denne sfære. I dette tilfælde nås det af kompaktitetshensyn endeligt. Men i uendelig dimension holder dette ikke. Dette kan ses ved for eksempel at overveje derivatoperatoren D for trigonometriske polynomer. Vi kan tage kvadratroden af middelværdien af kvadratet som norm: da D (e i nx ) = i n e i nx , er normerne for D anvendt på rum med en begrænset dimension af Hilbert-rummet H ubegrænsede. En operatør så enkel som D har muligvis ikke en operatørstandard. En grundlæggende sætning bruger Baires sætning for at vise, at hvis A har et Banach-rum som domæne og billede , så er A afgrænset. For det eksempel, der netop er givet, kan D ikke defineres for alle Fourier-serierne af integrerbare firkanter. Vi ved faktisk, at de kan repræsentere kontinuerlige funktioner, men intetsteds differentieres. Intuitionen er, at hvis A øger normerne for nogle vektorer så meget som vi ønsker, er det muligt at kondensere singulariteterne - vælg en vektor v, som er summen af de andre, og som ‖ L ( v ) ‖ ikke kunne være færdig - hvilket viser, at området A ikke kan være H .

Norm for en endomorfisme

I det tilfælde hvor E = F , vælger man normalt (selvom det ikke er obligatorisk) ‖ ‖ 1 = ‖ ‖ 2 .

For de sædvanlige normer har vi praktiske formler: lad os tage E = R n og f ∈ L ( E ). Omfatte en vektor en af R n og den matrix f i kanoniske basis . Vi har derefter: ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ prikker, x_ {n})}$ $A = (a _ {{ij}})$

Hvis (normindeks uendelig eller uendelig norm), så er normen for f værd: ${\ displaystyle \ | x \ | = \ max _ {1 \ leq i \ leq n} | x_ {i} |}$

{\ displaystyle \ max _ {1 \ leq i \ leq n} \ sum _ {1 \ leq j \ leq n} | a_ {ij} |}

;

Hvis (normindeks 1), så er normen for f lig med: ${\ displaystyle \ | x \ | = \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} | x_ {i} |}$

{\ displaystyle \ max _ {1 \ leq j \ leq n} \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} | a_ {ij} |}

;

Hvis (euklidiske norm, der er forbundet med den kanoniske skalarproduktet ), derefter normen af f er kvadratroden af den af f * ∘ f , hvor f * betegner aide af f . For enhver symmetrisk endomorfisme g (især for g = f * ∘ f ) er normen for g lig med dens spektrale radius, hvilket er den største af de absolutte værdier af dens egenværdier. Normen for f er derfor dens største entalværdi . This generaliseres ved at erstatte R n af enhver Hilbert rummet . ${\ displaystyle \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {1 \ leq i \ leq n} x_ {i} ^ {2}}}}$

Enhver norm N på ℒ ( E ) underordnet en norm ‖.‖ på E er en algebra-norm , derudover:

N (id E ) = 1 og
til en hvilken som helst enhedsvektor og til alt , (ifølge Hahn-Banach-sætningen ). $X_ {0}$ $x$ ${\ displaystyle \ | X \ | = \ inf _ {AX_ {0} = X} N (A)}$

Uden denne anden betingelse er det omvendte falsk.

Faktisk, hvis vi spørger

{\ displaystyle N {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} = \ max (| a | + | c |, 2 | b | + | d |) \ quad {\ text {and}} \ quad X_ {0} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} ~,}

vi kontrollerer alle de forventede egenskaber ved , men den foregående proces giver som norm den klassiske norm , som den underordnede norm (jf. ovenfor) ikke er . $IKKE$ ${\ displaystyle \ | X \ | = \ inf _ {AX_ {0} = X} N (A)}$ ${\ displaystyle \ | \ | _ {1}}$ $IKKE$

Dobbelt standard

I det tilfælde hvor F = R normaliseret med den absolutte værdi, hvis E er et reelt vektorrum (eller F = C normaliseret ved modulet, hvis E er et komplekst vektorrum), for hver norm på E , dannes rummet for kontinuerlige lineære E , kaldet topologisk dobbelt , kan således forsynes med en norm.

Relaterede artikler