Den oscillation kvantificerer tendens en funktion eller mere at variere mellem værdier af ekstremum . Der er flere forestillinger om svingning: svingning af en række reelle tal , svingning af en funktion med værdier i et metrisk rum (som ℝ ), på et punkt eller på en del af dets definitionsdomæne .
Oscillationen ω ( a ) af en reel sekvens a = ( a n ) n er forskellen mellem dens øvre og nedre grænse :
Det defineres, medmindre denne forskel har formen (+ ∞) - (+ ∞) eller (–∞) - (–∞) , dvs. hvis sekvensen har en tendens til + ∞ eller mod –∞ . Det er + + værd, når sekvensen er ubegrænset . Det er nul, når sekvensen konvergerer .
Hvis f er en reel værdi, der er defineret på et sæt X , er svingningen ω f ( U ) af f på en ikke-ubetydelig del U af X forskellen mellem de øvre og nedre grænser for f på U :
Mere generelt, hvis f er værdsat i et sæt E med en afstand d , ω f ( U ) er diameteren af billedet af U ved f :
Det er altid sat, og er + ∞ når funktionen ikke er afgrænset på U .
Når domænet X for f har en topologi , definerer vi svingningen ω f ( a ) af f på ethvert punkt a af X som den nedre grænse for dens svingninger ω f ( U ) når U passerer filteret V ( a ) af nærmiljøer af a , eller endda kun basis W ( a ) af V ( a ) :
Hvis f desuden er reelt værdiansat, er denne svingning forskellen mellem øvre og nedre grænse for f ved a :
Vi kan altid vælge W ( a ) det sæt åbninger, der indeholder a . Hvis det topologiske rum X er målbart , kan vi også vælge base af familien af kugler (f.eks. Åben) B ( a , ε) med centrum a og radius ε> 0 og kontrollere, at
som, hvis det målbare mellemrum X er et sæt reelle tal (forsynet med den sædvanlige afstand ), omskrives:
Oscillationen af f ved et punkt a i dets domæne er nul, hvis og kun hvis f er kontinuerlig ved a .
Desuden er alle de ovennævnte uligheder omfatte det tilfælde, hvor f er defineret kun på en del Y af X som en kun klæbende , ved at erstatte filteret V ( a ) af de kvarterer i en af denne, V Y ( a ) , deres kryds med Y . Oscillationen af f ved a er nul, hvis og kun hvis billedfilteret , f ( V Y ( a )) , er Cauchy . Når ankomstmetrisk rum E er komplet , svarer dette igen til eksistensen af en grænse ved a for f .
Når X er metrisk og E komplet, hvis f er kontinuerlig over underområdet Y , strækker det sig kontinuerligt til G δ af de punkter, der klæber til Y , hvor svingningen af f er nul.
Begrebet svingning ved et sammenhængende punkt generaliserer også svingningen fra en sekvens i ℝ til en hvilken som helst sekvens i E , set som en funktion på det diskrete rum Y = ℕ , i betragtning af a = + ∞ , der klæber til ℕ i komprimeret lyd af Alexandrov X = ℕ∪ {+ ∞} .
Anvendelsen a ↦ ω f ( a ) gør det muligt at kvantificere diskontinuiteterne i f og klassificere dem .
Det er også overlegent halvkontinuerlig derfor den indstillede Δ ( f ) af punkterne i diskontinuitet af f er et F σ , som foreningen af den lukkede Δ n ( f ) = { a ∈ X | ω f ( a ) ≥ 1 / n }. Ved at gå til det komplementære er f- kontinuitetspunkterne et G δ , tællbart skæringspunkt mellem de åbne { a ∈ X | ω f ( a ) , 1 / n }.
Dette giver også et meget hurtigt bevis for en af de to retninger af Lebesgue-kriteriet for Riemann-integrerbarhed , nemlig: hvis Δ ( f ) ikke er Lebesgue-ubetydelig , så er f ikke Riemann-integrerbar, da I + ( f ) - I - ( f ) ≥ λ (Δ n ( f )) / n .