Hyperbolsk bihule
Hyperbolisk sinusfunktion
Graf over den hyperbolske sinusfunktion over et undersæt af ℝ.
Bedømmelse |
sinh(x){\ displaystyle \ sinh (x)}
|
---|
Gensidig |
arsinh(x){\ displaystyle {\ text {arsinh}} (x)} jo da R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
|
---|
Afledte |
koselig(x){\ displaystyle \ cosh (x)}
|
---|
Primitiver |
koselig(x)+VS{\ displaystyle \ cosh (x) + C}
|
---|
Den hyperbolske sinus er i matematik en hyperbolsk funktion .
Definition
Den hyperbolsk sinus funktion , betegnet (eller ) er den følgende kompleks funktion :
sinh{\ displaystyle \ sinh}
sh{\ displaystyle \ operatorname {sh}}![{\ displaystyle \ operatorname {sh}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e006cd182ab99b080ffc693f7c02b1b0f96e8a4)
sinh:z↦ez-e-z2{\ displaystyle \ sinh: z \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {z} - \ mathrm {e} ^ {- z}} {2}}}![{\ displaystyle \ sinh: z \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {z} - \ mathrm {e} ^ {- z}} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af00de933d5f59574ccfa70de14d079eccaed387)
hvor er den komplekse eksponentielle .
z↦ez{\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}![{\ displaystyle z \ mapsto \ mathrm {e} ^ {z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3b509eafc077fafb60447d21114e80d0266793b)
Den hyperbolske sinusfunktion er den ulige del af den komplekse eksponentielle.
I hyperbolsk geometri er den hyperbolske sinusfunktion en analog til sinusfunktionen i euklidisk geometri .
Ejendomme
Generelle egenskaber
Trigonometriske egenskaber
Fra definitionerne af de hyperbolske sinus- og cosinusfunktioner kan vi udlede følgende ligheder:
ez=koseligz+sinhz{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {z} = \ cosh z + \ sinh z}
e-z=koseligz-sinhz{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {- z} = \ cosh z- \ sinh z}
Disse ligheder er analoge med Eulers formler i klassisk trigonometri.
Ligesom koordinater definerer en cirkel , så definer den positive gren af en ligesidet hyperbola . Faktisk har vi for alt :
(cost,syndt){\ displaystyle (\ cos t, \ sin t)}
(koseligt,sinht){\ displaystyle (\ cosh t, \ sinh t)}
t{\ displaystyle t}![t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
koselig2t-sinh2t=1{\ displaystyle \ cosh ^ {2} t- \ sinh ^ {2} t = 1}![{\ displaystyle \ cosh ^ {2} t- \ sinh ^ {2} t = 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61de1d6c952648b4293295a0fbfee1efb416fbb0)
.
På den anden side til :
x∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}![x \ in \ mathbb {R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9c6d458566aec47a7259762034790c8981aefab)
sinh(jegx)=ejegx-e-jegx2=jegsynd(x){\ displaystyle \ sinh (\ mathrm {i} x) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} - \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} x}} { 2}} = \ mathrm {i} \ sin (x)}![{\ displaystyle \ sinh (\ mathrm {i} x) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} - \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} x}} { 2}} = \ mathrm {i} \ sin (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c33dffcf7e76e7921cc714965e3084639d73653)
, hvorfra ;
sinh(x)=-jegsynd(jegx){\ displaystyle \ sinh (x) = - \ mathrm {i} \ sin (\ mathrm {i} x)}
sinh(x+y)=sinh(x)koselig(y)+koselig(x)sinh(y){\ displaystyle \ sinh (x + y) = \ sinh (x) \ cosh (y) + \ cosh (x) \ sinh (y)}![{\ displaystyle \ sinh (x + y) = \ sinh (x) \ cosh (y) + \ cosh (x) \ sinh (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98e3f4681db502f7c635fff04e6e6422fdb4f8e8)
, hvorfra ;
sinhx=2sinh(x2)koselig(x2){\ displaystyle \ sinh x = 2 \ sinh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right)}
sinhx=x∏ikke=1∞koselig(x/2ikke){\ displaystyle \ sinh x = x \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ cosh \ left (x / 2 ^ {n} \ right)}}![{\ displaystyle \ sinh x = x \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ cosh \ left (x / 2 ^ {n} \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab887503a76a68e68270511f31c4812e164b9c78)
(opnået ved gentagelse af den foregående formel);
sinh2(x2)=koselig(x)-12{\ displaystyle \ sinh ^ {2} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {\ cosh (x) -1} {2}}}![{\ displaystyle \ sinh ^ {2} \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {\ cosh (x) -1} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08982e031006d28995e0a3dc7c5a0e78a893c1a1)
.
Brugen af trigonometriske formler som tillader også at opnå flere anekdotiske relationer, såsom (for enhver ikke-nul reel ):
tan(2t)=2tant1-tan2t{\ displaystyle \ tan (2t) = {\ frac {2 \ tan t} {1- \ tan ^ {2} t}}}
x{\ displaystyle x}![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
sinh(x)=-1tan(2arctan(ex)){\ displaystyle \ sinh (x) = {\ frac {-1} {\ tan \ left (2 \ arctan \ left (\ mathrm {e} ^ {x} \ right) \ right)}}![{\ displaystyle \ sinh (x) = {\ frac {-1} {\ tan \ left (2 \ arctan \ left (\ mathrm {e} ^ {x} \ right) \ right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa045346c0af019eae656db7b6bb23eaee5f47d)
;
se også artiklen Gudermann .
Taylor seriel udvikling
Den Taylor serie på 0 funktionstasterne konvergerer på alle ℂ og er givet ved:
sinh{\ displaystyle \ sinh}
sinhz=z+z33!+z55!+⋯=∑ikke=0+∞z2ikke+1(2ikke+1)!{\ displaystyle \ sinh z = z + {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + {\ frac {z ^ {5}} {5!}} + \ dots = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {z ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}![{\ displaystyle \ sinh z = z + {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + {\ frac {z ^ {5}} {5!}} + \ dots = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {z ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc681d825fb11ed8a8cee53c4a40427d7f5f4287)
.
Værdier
Nogle værdier for :
sinh{\ displaystyle \ sinh}![\ sinh](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6649e190c30e91b280cc02b27acdfe00055e58)
-
sinh(0)=0{\ displaystyle \ sinh (0) = 0}
;
-
sinh(1)=e2-12e{\ displaystyle \ sinh (1) = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {2} -1} {2 \ mathrm {e}}}}
;
-
sinh(jeg)=jegsynd(1){\ displaystyle \ sinh (\ mathrm {i}) = \ mathrm {i} \ sin (1)}
.
Nuller
Alle nuller af er ren fantasi: .
sinh{\ displaystyle \ sinh}
∀z∈VSsinh(z)=0⇔z∈jegπZ{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ quad \ sinh (z) = 0 \ Lefttrightarrow z \ in \ mathrm {i} \ pi \ mathbb {Z}}![{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ quad \ sinh (z) = 0 \ Lefttrightarrow z \ in \ mathrm {i} \ pi \ mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd21ead1d1daa337aa6535e2f7eb7280b43a2a4)
Demonstration
Enten med da
z=x+jegy{\ displaystyle z = x + \ mathrm {i} y}
x,y∈R{\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}![{\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e1fd3534163cb031d88b529c837e5747ee40fc)
sinhz=0⇔sinh(x)cos(y)+jegsynd(y)koselig(x)=0⇔synd(y)=0 og sinh(x)=0⇔y∈πZ og x=0{\ displaystyle \ sinh z = 0 \ Venstrehøjden \ sinh (x) \ cos (y) + \ mathrm {i} \ sin (y) \ cosh (x) = 0 \ Venstrehøjden \ sin (y) = 0 {\ text {et}} \ sinh (x) = 0 \ Venstrestrengspil y \ i \ pi \ mathbb {Z} {\ text {et}} x = 0}![{\ displaystyle \ sinh z = 0 \ Venstrehøjden \ sinh (x) \ cos (y) + \ mathrm {i} \ sin (y) \ cosh (x) = 0 \ Venstrehøjden \ sin (y) = 0 {\ text {et}} \ sinh (x) = 0 \ Venstrestrengspil y \ i \ pi \ mathbb {Z} {\ text {et}} x = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f577cd5ac56883b8599789f5733dbcf00ccc4fbc)
.
Gensidig funktion
sinh{\ displaystyle \ sinh}
optager en gensidig funktion , betegnet (eller eller eller undertiden ), og kaldes hyperbolsk sinus argumentet . Det er en kompleks mangesidet funktion. Dens hovedgren vælges generelt ved at indstille halvlinjerne som et snit og :
arsinh{\ displaystyle \ operatorname {arsinh}}
argsinh{\ displaystyle \ operatorname {argsinh}}
argsh{\ displaystyle \ operatorname {argsh}}
sjegikkeh-1{\ displaystyle \ operatorname {sinh ^ {- 1}}}
]-∞jeg,-jeg]{\ displaystyle \ left] - \ infty \ mathrm {i}, - \ mathrm {i} \ right]}
[jeg,+∞jeg[{\ displaystyle \ left [\ mathrm {i}, + \ infty \ mathrm {i} \ right [}![{\ displaystyle \ left [\ mathrm {i}, + \ infty \ mathrm {i} \ right [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b818740cdeba05fdf600c5794b41203827c84c0)
arsinh(z)=log(z+1+z2){\ displaystyle \ operatorname {arsinh} (z) = \ log \ left (z + {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} \ right)}![{\ displaystyle \ operatorname {arsinh} (z) = \ log \ left (z + {\ sqrt {1 + z ^ {2}}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbae09684e9dbc4cb639294a04e80c7eb29c938d)
,
hvor og er de vigtigste bestemmelser for den komplekse logaritme af den komplekse kvadratrod . Faktisk, hvis så , guld .
log{\ displaystyle \ log}
{\ displaystyle {\ sqrt {~}}}
sinhZ=z{\ displaystyle \ sinh Z = z}
koselig2Z=1+z2{\ displaystyle \ cosh ^ {2} Z = 1 + z ^ {2}}
eZ=sinhZ+koseligZ{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {Z} = \ sinh Z + \ cosh Z}![{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {Z} = \ sinh Z + \ cosh Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34db65329dc91942c2192a7d7be31847751ba50b)
Den begrænsning-corestriction af sinh af ℝ i ℝ indrømmer at gensidig:
.
arsinh(x)=ln(x+1+x2){\ displaystyle \ operatorname {arsinh} (x) = \ ln \ left (x + {\ sqrt {1 + x ^ {2}}} \ right)}![{\ displaystyle \ operatorname {arsinh} (x) = \ ln \ left (x + {\ sqrt {1 + x ^ {2}}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/213bb6f47efbbe8d56ebb8cd33088365f9289940)
Denne hovedgren er holomorf på enhedsdisken og indrømmer der udviklingen her i hele serien:
|z|<1{\ displaystyle | z | <1}![{\ displaystyle | z | <1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1c0fa57b899b653a3823f85f43fd666309c09b3)
pårsjegikkeh(z)=z+∑ikke=1+∞(-1)ikke1.3.5...(2ikke-1)2.4.6...(2ikke).(2ikke+1)z2ikke+1{\ displaystyle {\ rm {arsinh}} (z) = z + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {1.3.5 \ dots (2n- 1)} {2.4.6 \ dots (2n). (2n + 1)}} z ^ {2n + 1}}![{\ displaystyle {\ rm {arsinh}} (z) = z + \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {1.3.5 \ dots (2n- 1)} {2.4.6 \ dots (2n). (2n + 1)}} z ^ {2n + 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9486b7b0f3f01119e91e2897e7d7cbc57b35e21a)
.
Se også
Referencer
-
Den internationale standard ISO / IEC 80000-2 : 2009 anbefaler sinh.
-
Den internationale standard ISO / IEC 80000-2 : 2009 anbefaler arsinh.
-
(in) W. Kahan , "Branch cut for elementary complex features or Much ado about nothing's sign bit" i A. Iserles og JD Powell (in) , State of the Art in Numerical Analysis , Clarendon Press,1987( læs online ) , s. 165-210.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">