Milnes problem
Den Milne problem angår analytisk løsning af radiativ overførsel i en semi-uendelig medium homogen, uden absorption eller emission efter volumen, med kilde placeret langt fra oprindelsen. Det blev stillet og løst af Edward Arthur Milne i 1921 for at forklare fænomenet med mørkfarvning af en stjerne. Derefter blev strenge matematiske løsninger foreslået af Norbert Wiener , Eberhard Hopf og Kenneth Case inden for rammerne af arbejdet med neutronik .
Milnes problem
Problemet med strålingsoverførsel (i bred forstand inklusive neutronoverførsel og mange andre elementære partikler eller ej) er beskrevet af Boltzmann-ligningen . Dette er en lineær integro-differentialligning , der vedrører vinkelfordelingen af antallet af transporterede partikler eller en hvilken som helst mængde dertil (energi for eksempel, i hvilket tilfælde vi taler om total luminans , det vil sige - dvs. integreret over hele det elektromagnetiske spektrum ) . Løsningen af dette problem er mulig i tilfælde af et plan, cylindrisk eller sfærisk endimensionelt problem i det særlige tilfælde af en isotrop diffusion i mediet. Denne opløsning har en historisk oprindelse, idet arbejdet er udført på et tidspunkt, hvor numerisk beregning ikke eksisterede. De bruges nu som et benchmark til at teste numeriske metoder.
Boltzmann-ligningen til et stationært, endimensionelt og semi-uendeligt homogent medium uden emission eller absorption i volumen med isotrop diffusion er skrevet
μdL(τ,μ)dτ+L(τ,μ)=12∫-11L(τ,μ)dμ⏟terme sourvs.e S{\ displaystyle \ mu {\ frac {\ mathrm {d} L (\ tau, \ mu)} {\ mathrm {d} \ tau}} + L (\ tau, \ mu) = \ underbrace {{\ frac { 1} {2}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu} _ {term ~ kilde ~ S}}eller
L(τ,μ){\ displaystyle L (\ tau, \ mu)} |
luminans,
|
μ=cosθ{\ displaystyle \ mu = \ cos {\ theta}} |
med θ udbredelsesvinklen,
|
τ=κtx{\ displaystyle \ tau = \ kappa _ {t} x} |
optisk tykkelse (eller optisk dybde),
|
κt{\ displaystyle \ kappa _ {t}} |
antaget konstant udryddelseskoefficient .
|
Man bruger også den volumen energi defineret af
E(τ)=2πvs.∫-11L(τ,μ)dμ{\ displaystyle E (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mathrm {d} \ mu}hvor c er lysets hastighed . Energi er undertiden forbundet med en udstrålende temperatur T R , som er den af sort legeme fremstilling deraf udstrålede energi, defineret ved E = 4 σ T R 4 / c hvor σ er Stefan-Boltzmanns konstant . Antagelsen κ t konstant indebærer bevarelse af spektret i mediet, hvilket således er kildens. T R er derfor ikke generelt termodynamiske temperatur af mediet, som ikke spiller nogen rolle i problemet.
Grænsebetingelserne er som følger:
- ingen strøm ind i overfladen (oprindelsen af de rumlige koordinater x eller τ, akse rettet mod det indre af mediet)
L(0,μ)=0,0<μ≤1{\ displaystyle L (0, \ mu) = 0 \ ,, \ qquad 0 <\ mu \ leq 1}- plan kilde placeret ved uendeligt, hvilket resulterer i en given flux F 0 <0, hvor energistrømmen defineres af
F(τ)=2π∫-11L(τ,μ)μdμ{\ displaystyle F (\ tau) = 2 \ pi \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu {\ text {d}} \ mu}
Bemærk, at for en isotrop fordeling er strømmen nul, idet energien også formeres i alle retninger.
Problemet består i at beregne den udgående luminans eller i det mindste fasefunktionen ( vinkelfordelingen ) deraf.
L(0,μ),-1≤μ<0{\ displaystyle L (0, \ mu) \ ,, \ qquad -1 \ leq \ mu <0}
Opløsningsegenskaber
Vi kan give for dette problem følgende egenskaber på de første øjeblikke af luminans:
Demonstration
Ved at gange Boltzmann-ligningen med 2 π og ved at integrere på μ ser vi, at fluxgradienten er nul
dFdτ=0⇒F=F0<0{\ displaystyle {\ frac {{\ text {d}} F} {{\ text {d}} \ tau}} = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad F = F_ {0} \, <0}Vi introducerer strålingstrykket, ordensmoment 2 af luminansen
P(τ)=2πvs.∫-11L(τ,μ)μ2dμ{\ displaystyle P (\ tau) = {\ frac {2 \ pi} {c}} \ int _ {- 1} ^ {1} L (\ tau, \ mu) \ mu ^ {2} \ mathrm {d } \ mu}Ved at gange Boltzmann-ligningen med 2 π μ og ved at integrere på μ får vi
vs.dPdτ+F=0⇒P=-F0vs.τ+VSste{\ displaystyle c \, {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} \ tau}} + F = 0 \ qquad \ Rightarrow \ qquad P = - {\ frac {F_ {0}} { c}} \ tau + C ^ {ste}}Strålingstrykket stiger lineært med den optiske dybde.
Vi kan give en formel løsning af ligningen i form
L(τ,μ)={ ∫0τS(t)e-τ-tμdtμ 0<μ≤1-∫τ∞S(t)et-τμdtμ-1<μ≤0{\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = \ left \ {{\ begin {array} {lr} ~~ \ int _ {0} ^ {\ tau} S (t) e ^ {- {\ frac { \ tau -t} {\ mu}}} {\ frac {{\ text {d}} t} {\ mu}} & ~ 0 <\ mu \ leq 1 \\ [0.6em] - \ int _ {\ tau} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t- \ tau} {\ mu}} {\ frac {{{\ text {d}} t} {\ mu}} & - 1 < \ mu \ leq 0 \ end {array}} \ højre.}Ved integration opnår vi integralligningen af Milne
S(τ)=12∫0∞S(t)E1(|t-τ|)dt{\ displaystyle S (\ tau) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) E_ {1} (| t- \ tau |) \ mathrm {d } t}hvor E 1 er den integrerede eksponentielle .
Især ser vi, at løsningen på problemet er givet ved en Laplace-transformation
L(0,μ)=-∫0∞S(t)etμdtμ,-1<μ≤0{\ displaystyle L (0, \ mu) = - \ int _ {0} ^ {\ infty} S (t) e ^ {\ frac {t} {\ mu}} {\ frac {\ mathrm {d} t } {\ mu}} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0}
Omtrentlig løsning
Arthur Schuster (1905) og Karl Schwarzschild (1906) gav en omtrentlig løsning ved at adskille intensiteterne i de to modsatte formeringsretninger, en metode muliggjort af lineariteten af Boltzmann-ligningen. Denne metode er kendt som " to-stream approximation ".
Lad L + være luminansen, der udgøres af en vinkelværdikonstant i det positive halvrum x og lig med 0 i det negative halvrum. L - er dets komplement, så ved at indføre disse udtryk i Boltzmann-ligningen, det kommer
12dL+dτ=-L++12(L++L-)-12dL-dτ=-L-+12(L++L-){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} ~~ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d} L ^ {+}} {\ mathrm {d} \ tau}} & = & - L ^ {+} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \\ [0.6em] - {\ frac {1} {2}} { \ frac {\ mathrm {d} L ^ {-}} {\ mathrm {d} \ tau}} & = & - L ^ {-} + {\ frac {1} {2}} (L ^ {+} + L ^ {-}) \ end {array}}}Betingelsen ved τ = 0 er
L+(0)=0{\ displaystyle L ^ {+} (0) = 0}Med hensyn til energi og flow er løsningen på dette system skrevet
F=F0,E(τ)=-2F0vs.(1+τ){\ displaystyle F = F_ {0} \ ,, \ qquad E (\ tau) = - {\ frac {2F_ {0}} {c}} (1+ \ tau)}
Demonstration
Vi introducerer strømmen ( Lamberts lov ) og volumenenergien
F=π(L+-L-),E=2πvs.(L++L-){\ displaystyle F = \ pi (L ^ {+} - L ^ {-}) \ ,, \ qquad E = {\ frac {2 \ pi} {c}} (L ^ {+} + L ^ {- })}Ved at lave summen og forskellen på ligningerne på L + og L - kommer den
dFdτ=0⇒F=F0dEdτ=-4Fvs.⇒E(τ)=-4F0vs.τ+E(0){\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} {\ frac {\ mathrm {d} F} {\ mathrm {d} \ tau}} = 0 & \ Rightarrow & \ qquad F = F_ {0} \\ [ 0,6 em] {\ frac {\ mathrm {d} E} {\ mathrm {d} \ tau}} = - {\ frac {4F} {c}} & \ Rightarrow & E (\ tau) = - {\ frac {4F_ {0}} {c}} \ tau + E (0) \ end {array}}}Betingelse i τ = 0
vs.E(0)+2F0=4πL+(0)=0{\ displaystyle cE (0) + 2F_ {0} = 4 \ pi L ^ {+} (0) = 0}Hvorfra
E(τ)=-2F0vs.(1+2τ){\ displaystyle E (\ tau) = - {\ frac {2F_ {0}} {c}} (1 + 2 \ tau)}
Ved at glemme hypotesen, der førte til dette resultat, kan man genberegne en generel løsning på problemet ved at bruge det, der blev døbt over "formel løsning" (sag μ <0)
L(τ,μ)=-F0π(1+2τ+2μ){\ displaystyle L (\ tau, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ tau +2 \ mu)}Især er den fremvoksende luminans
L(0,μ)=-F0π(1+2μ){\ displaystyle L (0, \ mu) = - {\ frac {F_ {0}} {\ pi}} (1 + 2 \ mu)}Denne opløsning udgør en god tilnærmelse af den strenge opløsning (se kurve).
Generel løsning
Løsningerne kræver
- enten til SN-metoden (eller metoden med diskrete ordinater), der fører til en semi-analytisk opløsning.
Lange beregninger fører til næste fasefunktion
L(0,μ)=32(1-μ)eksp[-μπ∫0π2log(synd2x1-xkostex)1-(1-μ2)synd2xdx],-1<μ≤0=121-μeksp[1π∫0π2xarctan(-μtanx)1-xkostexdx]{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} L (0, \ mu) & = & {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} (1- \ mu) \ exp {\ left [{\ frac {- \ mu} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {\ log {\ left ({\ frac {\ sin ^ {2} x } {1-x \ cot x}} \ right)}} {1- (1- \ mu ^ {2}) \ sin ^ {2} {x}}} \ mathrm {d} x \ right]} \ ,, \ qquad -1 <\ mu \ leq 0 \\ & = & {\ frac {1} {2 {\ sqrt {1- \ mu}}}} \ exp {\ left [{\ frac {1} { \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {x \ arctan {(- \ mu \ tan {x})}} {1-x \ cot x} } \ mathrm {d} x \ right]} \ end {array}}}Især er græsningsemissionen værd
L(0,0)=32{\ displaystyle L (0,0) = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}}}Figuren viser processen, hvormed den kvasi-isotropiske luminans for τ> 10 deformeres i området nær væggen.
Bemærkninger
-
Udtrykket Boltzmann-ligning gælder først for luftformige medier. I forlængelse bruges dette navn til ethvert system, der adlyder en lignende ligning.
-
Valget af en isotrop diffusion resultater fra vilje til at opnå en analytisk løsning. Dette kan gøres med Thomson-udsendelse, men det tilføjer ikke meget til problemet.
Referencer
-
(i) Edward Arthur Milne , " Radiative ligevægt i ydre lag af en stjerne: temperaturfordeling og lov af Mørkfarvning " , månedlige Meddelelser fra Royal Astronomical Society , Vol. 81,1921, s. 361–375 ( læs online )
-
(de) Norbert Wiener og Eberhard Hopf , “ Über eine klasse singulärer integralgleichungen ” , Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften Berlin , bind. 31,1931, s. 696-706
-
(in) Kenneth Case , " Elementary Solutions of the Transport Equation and their Applications " , Annals of Physics , bind. 9, n o 1,1960, s. 1-23 ( læs online )
-
(en) Subrahmanyan Chandrasekhar , Radiative Transfer , Dover Publications ,1960, 393 s. ( ISBN 0-486-60590-6 , læs online )
-
(da) G. Placzek , " Vinkelfordelingen af neutroner, der kommer ud af en plan overflade " , Physical Review , bind. 72, nr . 7,1948, s. 556-558
-
(i) A. Schuster , " Gennem Stråling har Foggy atmosfære " , The Astrophysical Journal , vol. 21, nr . 1,1905( læs online )
-
(De) K. Schwarzschild , " Ueber das Gleichgewicht der Sonnenatmosphäre " , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse ,1906, s. 41-53 ( læs online )
-
(i) Eberhard Hopf , matematiske problemer af Radiative Ligevægt , Cambridge University Press ,1934
-
(i) G. Placzek og W. Seidel , " Milne problem i Transport Theory " , Physical Review , vol. 72, nr . 7,1947, s. 550-555
Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">