I euklidisk geometri er summen af vinklerne i en trekant lig med den flade vinkel , dvs. 180 grader eller π radianer . Dette resultat er kendt og demonstreret af Euclid i hans Elements .
Det svarer til Euclids parallelle aksiom :
Gennem et givet punkt kan vi tage en og kun en parallel til en given linje.Men det er muligt lige så strengt at konstruere andre geometrier, kaldet ikke-euklidisk , som ikke respekterer dette aksiom. Summen af vinklerne i en trekant er derefter ikke længere konstant, men det gør det muligt at klassificere disse geometrier, værdien 180 ° bevarer sin betydning: geometrier, for hvilke summen af vinklerne i en trekant er mindre end 180 ° kaldes hyperbolsk , dem, for hvilke den er større end 180 °, kaldes elliptisk (som den sfæriske geometri, der bruges til at modellere geometrien på overfladen af planeter som Jorden ).
I euklidisk geometri (geometrien betragtes ofte som sædvanlig) er summen af vinklerne i en hvilken som helst trekant lig med 180 °. Således er summen af vinklerne en invariant af trekanterne, hvilket gør det muligt at løse mange elementære problemer med at løse en trekant .
Når vi taler om summen af vinklerne i en trekant, er det almindeligt at overveje målingerne af de geometriske vinkler, idet propositionen skrives på en mere streng (men også tungere) måde:
Sætning - Summen af målingerne af geometriske vinkler i en trekant er lig med målet for en flad vinkel.
Den klassiske bevis fra Euclid er baseret på tegningen af den linie parallelt med den ene side af trekanten og passerer gennem toppunktet som ikke hører til denne side. Således er egenskaben på summen af vinklerne i en trekant baseret på aksiomet af paralleller . Forskellige versioner er blevet foreslået gennem århundrederne. Her er den, som blev givet af A. Amiot i 1870. I stedet for at give en flad vinkel som konstant, taler han, efter Euclid selv, om "to rette vinkler" .
Klassisk bevis, skrevet af A. Amiot - Lad trekanten ABC; Jeg forlænger siden AB, og jeg fører gennem toppunktet B den lige linje VÆR parallel med den modsatte side AC.
Vinklerne ACB, CBE er ens som alternerende interne med hensyn til parallellerne AC, BE og sekant BC; vinklerne CAB, EBD er også lige som svarende med hensyn til de samme paralleller og til det secant AB. Så summen af de tre vinkler ABC, ACB, CAB af trekanten er lig med summen af de tre tilstødende vinkler ABC, CBE, EBD dannet på den lige linje AD, det vil sige, det er lig med to vinklerettigheder.
Denne egenskab er et resultat af euklidisk geometri. Det er ikke verificeret generelt i ikke-euklidisk geometri.
Den foregående demonstration er gyldig for en ægte trekant defineret af tre ikke-justerede punkter. Men egenskaben gælder også for en degenereret trekant, der består af tre forskellige punkter, der er justeret: Hvis tre punkter A, B og C er justeret i denne rækkefølge, er vinklerne i trekanten ved A og C nul, og vinklen ved B er flad.
Da målingen af en geometrisk vinkel er et positivt tal, er en første konsekvens af summen af vinkelsætningen, at en trekant ikke kan have mere end en stump vinkel (dvs. en målevinkel større end 90 °). Faktisk, hvis en trekant havde to stumpe vinkler, ville summen af målene for disse to vinkler og den tredje vinkel være større end 180 °.
En ligesidet trekant er en trekant, hvis tre vinkler har samme mål. At bemærke har dette og ved hjælp af summen af vinklerne i en trekant får vi:
3 a = 180 °Derfor
Ligesidet trekant - Vinklerne på en ligesidet trekant er 60 ° (eller π ⁄ 3 radianer).
En lige lige ret trekant ( halv kvadrat ) har en ret vinkel (måling 90 °) og to lige store vinkler. I betragtning af at summen af vinklerne i trekanten kommer det, at summen af de to andre vinkler end den rette vinkel er lig med 180 - 90 = 90 ° . Da de er ens, måler disse to vinkler hver 45 °. Så,
Isosceles Right Triangle - Vinklerne på en ligebenet højre trekant er henholdsvis 90 °, 45 ° og 45 °.
To trekanter siges at være ens, når de har "den samme form", det vil sige når hver vinkel på den ene er lig med den anden. Denne definition synes at indikere, at det for at bevise, at to trekanter er ens, er det nødvendigt at bevise tre lighed. I betragtning af summen af vinklerne i trekanten er to ligestillinger tilstrækkelige: hvis to vinkler a og b i en første trekant er lig med to vinkler af en anden, er disse trekanter ens, fordi den tredje vinkel på de to trekanter et mål, i grader, lig med 180 - (a + b) og vil derfor være lige. Derfor ejendommen:
Lignende trekanter - Hvis to vinkler i en trekant er lig med to vinkler i en anden trekant, så er disse trekanter ens.
Enhver simpel polygon (dvs. hvis kanter ikke krydser hinanden ) med n sider kan betragtes som bestående af n - 2 sammenhængende trekanter , hvis sum af alle vinkler er lig med summen af polygonets indre vinkler . Dette er en af måderne til at vise, at summen af de indre vinkler af en simpel polygon med n sider altid er lig med ( n - 2) × 180 °.
Især sikrer denne egenskab, at summen af vinklerne på en simpel firkant er lig med 360 °. Hvis en enkel firkant har tre rette vinkler, er dens fjerde vinkel også ret. Det faktum, at summen af vinklerne i en trekant er lig med to rettigheder, indebærer således eksistensen af rektangler i den euklidiske geometri.
Egenskaben ved euklidisk geometri skal lyde som følger: summen af vinklerne i en hvilken som helst trekant er lig med to rette vinkler . Det demonstreres ved hjælp af postulatet af paralleller, også kaldet Euclids femte postulat , som er:
Axiom af paralleller - Gennem et punkt passerer det en og én linje parallelt med en given linje.
Hvis vi fjerner dette aksiom fra den euklidiske geometri, opnår vi følgende gensidige resultat på grund af Adrien-Marie Legendre :
Legendres sætning - Hvis der er en trekant, hvis vinkelsum er lig med to rette vinkler, så er denne sum den samme for alle trekanter, og Euclids femte postulat er sandt.
Med andre ord er det muligt at erstatte Euclids femte postulat med et andet aksiom: der findes en trekant, hvis sum af vinklerne er lig med to rette vinkler . Derefter bliver parallellenes aksiom en sætning, der kan bevises. Denne permutation ændrer på ingen måde de andre resultater af euklidisk geometri.
Vi opnår en sammenhængende geometri ved at holde alle aksiomerne i den euklidiske geometri, undtagen aksiomet af paralleller, der bliver:
Axiom af paralleller i sfærisk geometri - Givet en linje og et punkt uden for denne linje, er der ingen linje parallelt med denne linje, der passerer gennem dette punkt.
Med andre ord er to linjer enten forvirrede eller krydser hinanden.
Den sfæriske geometri svarer til disse aksiomer. Det er traditionelt repræsenteret af geometrien af en kugle i den euklidiske geometri, hvor denne sfære svarer til det sfæriske plan . Linjerne (i sfærisk geometri) er så kuglens store cirkler , det vil sige kuglens skæringspunkter med planer (i den euklidiske forstand), der passerer gennem kuglens centrum. En vinkel mellem to sfæriske linjer er lig med vinklen dannet af de to euklidiske plan, der definerer disse linjer.
Resultaterne adskiller sig derefter fra den euklidiske geometri, især er summen af vinklerne i en sfærisk trekant ikke længere konstant, men målingen af en flad vinkel (π radianer eller 180 °) spiller alligevel en stor rolle:
Summen af vinklerne i en trekant i sfærisk geometri - Summen af vinklerne i en trekant er altid større end en flad vinkel.
Summen af vinklerne i en sfærisk trekant kan variere mellem 180 og 540 ° (mellem π og 3π radianer). Forskellen mellem summen af vinklerne i en trekant og målingen af en flad vinkel er proportional med arealet S for trekanten. Det vil sige med vinkler udtrykt i radianer:
hvis kuglen har radius R , får det euklidiske rum, hvori det er nedsænket, den sædvanlige afstand.
En sfærisk trekant kan have to eller tre rette vinkler.
Arealformlen viser, at for en trekant, hvis areal er meget tæt på nul, er summen af vinklerne meget tæt på den flade vinkel. Resultaterne af euklidisk geometri giver derefter gode tilnærmelser til dem med sfærisk geometri. I praksis bruges sfærisk geometri til undersøgelse af planeter som Jorden, især til navigation . Men til målinger eller ræsonnement på "små" dele af planeten (som i en have eller en lille by) giver den euklidiske geometri tilfredsstillende resultater.
Resultatet, der giver summen af vinklerne i en trekant (underforstået i euklidisk geometri) er kendt af de gamle grækere . Ifølge kilderne ville det være blevet opdaget af Thales of Milet (omkring 625 - omkring 550 f.Kr. ) eller Pythagoras (omkring 580 - 495). Ifølge Proclus er Pythagoras eller hans disciple også ry for at have skrevet en demonstration. På tidspunktet for Aristoteles ( IV th århundrede f.Kr.. ), Er to demonstrationer kendte. Det er genstand for proposition 32 i bog I om elementerne i Euclid (ca. 300 f.Kr. ), der giver en demonstration tæt på det, som Aristoteles kender.