Helmholtz-Hodge sætning

I matematik og fysik , inden for vektoranalyse , den sætning af Helmholtz - Hodge , også kaldet grundlæggende sætning af vektor regning , sikrer, at en vektorfelt er opdelt i en komponent "langsgående" ( hvirvelfri ) og en komponent ”Tværgående” ( solenoid ), dvs. summen af gradueringen af et skalarfelt og rotationen af et vektorfelt.

Dette resultat har vigtige anvendelser inden for elektromagnetisme og fluidmekanik  ; det bruges også i seismologi .

Sætning

Helmholtz-Hodge sætning  -  Enten et klasse vektorfelt, hvor enten er et kompakt og forbundet domæne med angiveligt regelmæssig (eller stykkevis regelmæssig) grænse eller sig selv. Så findes der et vektorfelt og et skalarfelt defineret på sådan, at V→{\ displaystyle {\ vec {V}}} VS1(Ω,R3){\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {3})}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}∂Ω{\ displaystyle \ partial \ Omega}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}PÅ→{\ displaystyle {\ vec {A}}}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

V→=rot→PÅ→-grpåd→ψ.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi.}

Desuden kan disse to felter karakteriseres af følgende udtryk:

• Hvis er kompakt:Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

ψ(r)=14π∫ΩdjegvV→(r′)|r-r′|dω′-14π∫∂ΩV→(r′)⋅dσ→′|r-r′|,{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathrm {div} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ partial \ Omega} {\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}}'} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ højre |}},} PÅ→(r)=14π∫Ωrot→V→(r′)|r-r′|dω′+14π∫∂ΩV→(r′)∧dσ→′|r-r′|.{\ displaystyle {\ vec {A}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ overrightarrow {\ mathrm {rot} }} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '+ {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ partial \ Omega} {\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}}.}

• Hvis og hvis falder til uendelig , forbliver de foregående relationer gyldige og ignorerer overfladeintegralerne. På den anden side, blandt de felter, der falder til uendelig (hvilket er tilfældet, hvis de er defineret af de foregående relationer), er nedbrydningen unik ( defineres kun op til en konstant og ikke er op til en gradient) og de to nedbrydningens vilkår er ortogonale med det skalære produkt fra , det vil sige:Ω=R3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}O(r-2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}PÅ→{\ displaystyle {\ vec {A}}}L2{\ displaystyle L ^ {2}}

∫Ωrot→PÅ→⋅grpåd→ψdV=0.{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \, \ mathrm {d} V = 0.}

Begrundelse

Overvej først situationen, hvor den er kompakt. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

Den Laplacian virker på den variable indebærer r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Δ(1|r-r′|)=-4πδ(r-r′){\ displaystyle \ Delta \ left ({\ frac {1} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ right) = - 4 \ pi \ delta (\ mathbf {r } - \ mathbf {r} ')}

hvor er Diracs “funktion” . δ(r-r′)=δ(x-x′)δ(y-y′)δ(z-z′){\ displaystyle \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') = \ delta (x-x') \ delta (y-y ') \ delta (z-z')}

Således for enhver indeholdende volumen kommer den Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

V→(r)=∫ΩV→(r′)δ(r-r′)dω′=-14πΔ∫ΩV→(r′)|r-r′|dω′.{\ displaystyle {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = \ int _ {\ Omega} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ delta (\ mathbf {r} - \ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega' = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ Delta \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '.}

Fra identiteten følger den følgende relation, hvor hver operatør handler på variablen  : Δ=grpåd→djegv-rot→rot→{\ displaystyle \ Delta = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ mathrm {div} - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

V→(r)=-14πgrpåd→∫Ωdjegv(V→(r′)|r-r′|)dω′+14πrot→∫Ωrot→(V→(r′)|r-r′|)dω′.{\ displaystyle {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ int _ {\ Omega} \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ right ) \ mathrm {d} \ omega '+ {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ int _ {\ Omega} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}} } \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ right) \ mathrm {d} \ omega '.}

De vektor calculus identiteter

djegv(ψV→)=grpåd→ψ⋅V→+ψdjegvV→{\ displaystyle \ mathrm {div} (\ psi {\ vec {V}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \ cdot {\ vec {V}} + \ psi \, \ mathrm {div} {\ vec {V}}} rot→(ψV→)=grpåd→ψ∧V→+ψrot→V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} (\ psi {\ vec {V}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \ wedge {\ vec {V}} + \ psi \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {V}}}

føre til følgende udtryk, hvor operatørerne af de venstre medlemmer handler på variablen, og de af de rigtige medlemmer handler på variablen  : r{\ displaystyle \ mathbf {r}}r′{\ displaystyle \ mathbf {r} '}

djegv(V→(r′)|r-r′|)=djegvV→(r′)|r-r′|-djegv(V→(r′)|r-r′|){\ displaystyle \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ right) = {\ frac {\ mathrm {div} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} - \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ ret)} rot→(V→(r′)|r-r′|)=rot→V→(r′)|r-r′|-rot→(V→(r′)|r-r′|){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf { r} '\ right |}} \ right) = {\ frac {{\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ left ({\ frac {{\ vec {V}} (\ mathbf {r}') } {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ right)}

Konklusionen opnås efter substitution og anvendelse af divergenssætningen til den første sigt og rotationssætningen til den anden sigt.

Hvornår , hvor henfaldshypotesen falder til uendelig som sikrer, at overfladeintegralerne konvergerer mod 0, når integrationsdomænet gradvis strækker sig til hele rummet (fx koncentriske sfærer). Ω=R3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}O(r-2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

For at vise ortogonaliteten af ​​nedbrydningen af identiteten V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

djegv(ψrot→PÅ→)=rot→PÅ→⋅grpåd→ψ{\ displaystyle \ mathrm {div} (\ psi \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec { A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi}

og divergenssætningen antyder:

∫Ωrot→PÅ→⋅grpåd→ψdω=∫∂Ωψrot→PÅ→⋅dσ→.{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi \, \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {\ partial \ Omega} \ psi \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} {\ vec {A}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}}.}

Med antagelsen om de felter, der falder til uendelig, konvergerer overfladeintegralet til 0, hvilket viser komponentenes ortogonalitet, når . Ω=R3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}

Når , ortogonaliteten af ​​dets nedbrydning indebærer dens unikke karakter: de to komponenter er derfor nødvendigvis nul i dette særlige tilfælde. Således svarer forskellene, komponent for komponent, af to nedbrydninger af ethvert felt til en nedbrydning af nulfeltet: disse forskelle er derfor nødvendigvis nul. V→=0→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {0}}}

Bemærkninger  :

• Ligestillingen kaldes Helmholtz-nedbrydningen .V→=rot→PÅ→-grpåd→ψ{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi}
• Når domænet er afgrænset, er det ikke altid muligt at garantere nedbrydningens ortogonalitet, og det er aldrig unikt.
• Forbindelseshypotesen er ikke væsentlig, da sætningen kan anvendes separat på hver tilsluttet del.
• Visse antagelser i udsagnet kan svækkes, især på regelmæssigheden af og formen på eller på faldet til uendelig.V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

Kort bevis ved hjælp af Fourier-transformationen

Demonstration

Vi skriver V som en Fourier-transformation:

V→(r→)=∭G→(ω→)ejegω→⋅r→dω→{\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {V}}} ({\ vec {r}}) = \ iiint {\ vec {\ mathbf {G}}} ({\ vec {\ omega}}) e ^ { i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} d {\ vec {\ omega}}}

Fouriertransformationen af ​​et skalarfelt er i sig selv et skalarfelt, og Fouriertransformationen af ​​et vektorfelt er et vektorfelt med samme dimension.

Nu overvejer vi følgende skalære og vektorfelter:

GΦ(ω→)=jegω→⋅G→(ω→)||ω→||2GPÅ→(ω→)=jegω→×(G→(ω→)+jegGΦ(ω→)ω→)||ω→||2Φ(r→)=∭GΦ(ω→)ejegω→⋅r→dω→PÅ→(r→)=∭GPÅ→(ω→)ejegω→⋅r→dω→{\ displaystyle {\ begin {array} {lll} G _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) = i \, {\ dfrac {{\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec { \ mathbf {G}}} ({\ vec {\ omega}})} {|| {\ vec {\ omega}} || ^ {2}}} & \ quad \ quad & {\ overrightarrow {\ mathbf { G_ {A}}}} ({\ vec {\ omega}}) = i \, {\ dfrac {{\ vec {\ omega}} \ times \ left ({\ vec {\ mathbf {G}}} ( {\ vec {\ omega}}) + iG _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) \, {\ vec {\ omega}} \ højre)} {|| {\ vec {\ omega} } | | ^ {2}}} \\ && \\\ Phi ({\ vec {r}}) = \ displaystyle \ iiint G _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} \, d {\ vec {\ omega}} && {\ vec {\ mathbf {A}}} ({\ vec {r} }) = \ displaystyle \ iiint {\ overrightarrow {\ mathbf {G_ {A}}}} ({\ vec {\ omega}}) e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} d {\ vec {\ omega}} \ end {array}}}

Så

G→(ω→)=-jegω→GΦ(ω→)+jegω→×GPÅ→(ω→){\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {G}}} ({\ vec {\ omega}}) = - i \, {\ vec {\ omega}} \, G _ {\ Phi} ({\ vec { \ omega}}) + i \, {\ vec {\ omega}} \ times {\ overrightarrow {\ mathbf {G_ {A}}}} ({\ vec {\ omega}})}V→(r→)=-∭jegω→GΦ(ω→)ejegω→⋅r→dω→+∭jegω→×GPÅ→(ω→)ejegω→⋅r→dω→=-∇Φ(r→)+∇×PÅ→(r→){\ displaystyle {\ begin {array} {lll} {\ vec {\ mathbf {V}}} ({\ vec {r}}) & = & \ displaystyle - \ iiint i \, {\ vec {\ omega} } \, G _ {\ Phi} ({\ vec {\ omega}}) \, e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} \, d {\ vec {\ omega}} + \ iiint i \, {\ vec {\ omega}} \ times {\ overrightarrow {\ mathbf {G_ {A}}}} ({\ vec {\ omega}}) e ^ {i \, {\ vec {\ omega}} \ cdot {\ vec {r}}} \, d {\ vec {\ omega}} \\ & = & - {\ boldsymbol {\ nabla}} \ Phi ({\ vec {r}}) + {\ boldsymbol {\ nabla}} \ times {\ vec {\ mathbf {A}}} ({\ vec {r}}) \ end {array}}}

Det største problem med denne tilgang er spørgsmålet om konvergens mellem Fourier-transformationer, især i tilfælde hvor domænet er hel. R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Modeksempel til det unikke ved nedbrydning

Lad os overveje en nedbrydning af et felt, der antages at være verificeret på et vilkårligt a priori givet domæne: V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

V→=rot→PÅ1→-grpåd→ψ1.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A_ {1}}} - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi _ {1}.}

Startende med en konstant og ikke-nul vektor valgt vilkårligt og definerer derefter de to felter b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}

B→=12b→∧r→,φ=b→⋅r→{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ frac {1} {2}} {\ vec {b}} \ wedge {\ vec {r}}, \; \ varphi = {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {r}}}

der tjekker

rot→B→=grpåd→φ=b→,{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {B}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \; \ varphi = {\ vec {b}},}

man opnår en anden nedbrydning, der adskiller sig fra den første ved at være baseret på markerne

PÅ2→=PÅ1→+B→,ψ2=ψ1+φ.{\ displaystyle {\ vec {A_ {2}}} = {\ vec {A_ {1}}} + {\ vec {B}}, \, \ psi _ {2} = \ psi _ {1} + \ varphi.}

Desuden er det altid muligt at vælge en af tilstrækkelig høj standard , selv om vilkårene for den første nedbrydning er ortogonale, så dette ikke længere er tilfældet for det andet. b→{\ displaystyle {\ vec {b}}}

Dette enkle eksempel viser, at på et kompakt domæne, selv med en helt regelmæssig grænse (for eksempel en kugle), garanteres nedbrydningens unikke karakter aldrig, selv for et uendeligt regelmæssigt felt og uanset de randbetingelser, som 'han kan opfylde.

På den anden side respekterer et konstant felt, der ikke er nul, ikke antagelsen om sætningen vedrørende faldet til uendelig. R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Anden ordlyd

Mens den forrige sætning hævder en nedbrydning af et felt til en solenoidkomponent og en irrotational komponent, hævder den følgende formulering en rekomposition af et felt fra en divergens og en rotation. Selvom disse to resultater ikke er direkte relaterede, er argumenterne for de respektive bevis baseret på lignende forhold. De kaldes dog Helmholtz's sætning.

Helmholtz's sætning  -  Lad et skalarfelt og et magnetfeltfelt defineres i, og begge antages at falde til uendelig som . Så findes der et vektorfelt sådan ρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}(djegvj→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} {\ vec {j}} = 0)}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}O(r-2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

• djegvV→=ρ,{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {V}} = \ rho,}
• rot→V→=j→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} = {\ vec {j}}.}

Desuden findes der et enkelt felt, der tilfredsstiller disse egenskaber og falder til uendelig . V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}O(r-2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

Begrundelse

Lad os indstille ved hjælp af feltnedfaldshypotesen, som giver forholdet til nedenstående relation

V→(r)=14πrot→∫Ωj→(r′)|r-r′|dω′-14πgrpåd→∫Ωρ(r′)|r-r′|dω′{\ displaystyle {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '- {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {r} '\ højre |}} \ mathrm {d} \ omega'}

hvor og hvor de to operatører handler på variablenΩ=R3{\ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}r.{\ displaystyle \ mathbf {r}.}

Det er et spørgsmål om at vise, at denne kandidat opfylder de forventede egenskaber.

• For uoverensstemmelsen:

djegvV→(r)=-14πΔ∫Ωρ(r′)|r-r′|dω′=ρ(r).{\ displaystyle \ mathrm {div} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ Delta \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '= \ rho (\ mathbf {r} ).}

• Til rotationen:

Ved hjælp af identitet kommer han rot→rot→=grpåd→djegv-Δ{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ mathrm {div} - \ Delta}

rot→V→(r)=14πgrpåd→djegv∫Ωj→(r′)|r-r′|dω′-14πΔ∫Ωj→(r′)|r-r′|dω′{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm { grad}}} \, \ mathrm {div} \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} \ omega' - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ Delta \ int _ {\ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ mathrm {d} \ omega '}

Når det andet udtryk er ens, er det tilstrækkeligt at vise, at det første udtryk er nul. j→(r),{\ displaystyle {\ vec {j}} (\ mathbf {r}),}

Overvej et afgrænset domæne, der gradvist strækker sig til hele rummet. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

Følgende lighed (hvor operatøren af ​​det venstre medlem handler på variablen og det højre medlem handler på variablen ): r{\ displaystyle \ mathbf {r}}r′{\ displaystyle \ mathbf {r} '}

djegv(j→(r′)|r-r′|)=djegvj→(r′)|r-r′|-djegv(j→(r′)|r-r′|){\ displaystyle \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ right) = {\ frac {\ mathrm {div} {\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} - \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | }} \ ret)}

hvor det giver mulighed for at udtrykke det første udtryk i formen djegvj→(r′)=0{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {j}} (\ mathbf {r} ') = 0}

-14πgrpåd→∫Ωdjegv(j→(r′)|r-r′|)dω′=-14πgrpåd→∫∂Ωj→(r′)|r-r′|dσ→′{\ displaystyle - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ int _ {\ Omega} \ mathrm {div} \ left ({\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |}} \ right) \ mathrm {d} \ omega '= - {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ int _ {\ partial \ Omega} {\ frac {{\ vec {j}} (\ mathbf {r} ' )} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}}'}

ved divergenssætningen. Feltreduktionshypotesen gør det muligt at bekræfte, at dette udtryk har en tendens til 0, når feltet strækker sig til hele rummet.

Vi har således fundet et felt, der opfylder de krævede egenskaber. V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

Lad os vise igen, at det er unikt, hvis dette felt falder til uendelig som . Forskellen mellem to sådanne kandidater er stadig et felt, der falder ad infinitum ligesom . Ifølge Helmholtz-Hodge-sætningen er Helmholtz-nedbrydningen af ​​dette felt unik. Da dens afvigelse og dens rotation er nul, er de to nedbrydningsfelter også nul, dette på grund af de forhold, der karakteriserer dem. Feltet er i sidste ende nul, og de to kandidater er nødvendigvis identiske. V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}O(r-2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}O(r-2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

Bemærk  :

Det felt, der er valgt som kandidat i det foregående bevis, er bygget fra Helmholtz-nedbrydning og karakteriserende udtryk og i Helmholtz-Hodge-sætningen. Ja : V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}PÅ→{\ displaystyle {\ vec {A}}}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}

B→=rot→PÅ→,E→=-grpåd→ψ{\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}}, \, {\ vec {E}} = - {\ overrightarrow {\ mathrm { grad}}} \, \ psi}

svarende til nedbrydning

V→=B→+E→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {B}} + {\ vec {E}}}

er skrevet henholdsvis på en kompakt  : Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

E→(r)=14π∫Ωr-r′|r-r′|3djegvV→(r′)dω′-14π∫∂Ωr-r′|r-r′|3V→(r′)⋅dσ→′,{\ displaystyle {\ vec {E}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf { r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \, \ mathrm {div} {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ' ) \ mathrm {d} \ omega '- {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ partial \ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r}'} {\ venstre | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ højre | ^ {3}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r}') \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}} ',} B→(r)=-14π∫Ωr-r′|r-r′|3∧rot→V→(r′)dω′-14π∫∂Ω(r-r′)|r-r′|3∧[V→(r′)∧dσ→′].{\ displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \, \ wedge {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} (\ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega' - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ partial \ Omega} {\ frac {(\ mathbf { r} - \ mathbf {r} ')} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \ wedge [{\ vec {V}} (\ mathbf { r} ') \, \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ sigma}}'].}

Således, når overfladeintegralerne forsvinder, hvilket fører til følgende resultat: Ω=R3{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega = \ mathbb {R} ^ {3}}

Korollar  -  Lad være et skalarfelt og et magnetfeltfelt defineret i og begge med kompakt understøttelse . Så findes der et tilfredsstillende vektorfeltρ{\ displaystyle \ displaystyle \ rho}j→{\ displaystyle {\ vec {j}}}(djegvj→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} {\ vec {j}} = 0)}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

1. djegvV→=ρ,{\ displaystyle \ mathrm {div} {\ vec {V}} = \ rho,}
2. rot→V→=j→,{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {V}} = {\ vec {j}},}

som er defineret af hvor: V→=B→+E→{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ vec {B}} + {\ vec {E}}}

• E→(r)=14π∫Ωr-r′|r-r′|3ρ(r′)dω′,{\ displaystyle {\ vec {E}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf { r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \, \ rho (\ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega', }
• B→(r)=-14π∫Ωr-r′|r-r′|3∧j→(r′)dω′.{\ displaystyle {\ vec {B}} (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \, \ wedge {\ vec {j}} (\ mathbf {r} ') \ mathrm {d} \ omega '.}

Der findes desuden et unikt felt, der tilfredsstiller egenskaberne 1. og 2. og falder til uendelig . V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}O(r-2){\ displaystyle O (r ^ {- 2})}

Anvendelse på potentialer

I hele rummet

I og under de forudsætninger for Helmholtz-Hodge sætning, udtrykkene kendetegner markerne og tillade os at hævde følgende egenskaber: R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}PÅ→{\ displaystyle {\ vec {A}}}ψ{\ displaystyle \ displaystyle \ psi}

• Hvis feltet er hvirvelfri , så den følger af en skalar potentiale  : der findes et skalarfelt således atV→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(rot→ V→=0){\ displaystyle ({\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \ {\ vec {V}} = 0)}ψ{\ displaystyle \ psi}

V→=-grpåd→ψ.{\ displaystyle {\ vec {V}} = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi.}

• Hvis feltet er solenoid , stammer det fra et vektorpotentiale  : der eksisterer et vektorfelt sådan, atV→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(djegvV→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} \, {\ vec {V}} = 0)}PÅ→{\ displaystyle {\ vec {A}}}

V→=rot→PÅ→.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}}.}

I en del af rummet

På et domæne, der kun er en del af , er eksistensen af ​​potentialer mere kompleks: især er det på ingen måde garanteret, når domænet indrømmer et ”hul”. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}

Skalarpotentiale

Hvis er forbundet med buer og simpelthen forbundet (uden "huller"), indrømmer et kontinuerligt og irrotationsfelt et skalarpotentiale. Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}

Dette vises ved at vælge et vilkårligt punkt i og derefter definere "eksplicit" for alt i  : r0{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega}

ψ(r)=-∫Γ[r0,r]V→(r′)⋅dl→{\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = - \ int _ {\ Gamma _ {[\ mathbf {r} _ {0}, \ mathbf {r}]}} {\ vec {V}} (\ mathbf {r '}) \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {l}}}hvor er en orienteret kurve, der forbinder til .Γ[r0,r]{\ displaystyle \ Gamma _ {[\ mathbf {r} _ {0}, \ mathbf {r}]}}r0{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}r{\ displaystyle \ mathbf {r}}

Forholdet fører godt til, og konsistensen af ​​denne definition følger af rotationssætningen (den, der identificerer strømmen af ​​rotationen af ​​et felt gennem en overflade og strømmen af ​​feltet på dets grænse), fordi det sikrer, at værdien er uafhængig af valg af sti: for to forbindelsesstier er deres forening en lukket kurve, hvorpå en kantoverflade kan bygges (det er netop her, at den enkle tilslutningshypotese kommer i spil). V→=-grpåd→ψ,{\ displaystyle {\ vec {V}} = - {\ overrightarrow {\ mathrm {grad}}} \, \ psi,}ψ(r){\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r})}[r0,r]{\ displaystyle [\ mathbf {r} _ {0}, \ mathbf {r}]}Γ{\ displaystyle \ displaystyle \ Gamma}S{\ displaystyle \ displaystyle S}∂S=Γ{\ displaystyle \ partial S = \ Gamma}

Vector potentiale

Hvis en stjerne er åben, og feltet er solenoid og af klasse , stammer det fra et vektorpotentiale: der findes et vektorfelt, således at Ω{\ displaystyle \ displaystyle \ Omega} V→{\ displaystyle {\ vec {V}}}(djegvV→=0){\ displaystyle (\ mathrm {div} \, {\ vec {V}} = 0)}VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}PÅ→{\ displaystyle {\ vec {A}}}

V→=rot→PÅ→.{\ displaystyle {\ vec {V}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {rot}}} \, {\ vec {A}}.}

Efter korrekt formuleret i form af differentialformer , denne egenskab er en direkte anvendelse af lemma Poincarés påstår, at en én-formen , klasse på en åben stjerne er eksakt hvis og kun hvis den er lukket . VS1{\ displaystyle C ^ {1}}

Reference

1. YF Gui og WB Dou: “ET STIGT OG FÆRDIGT UDTALELSE OM HELMHOLTZ TEOREM” , Fremskridt inden for elektromagnetisk forskning, PIER 69, 287–304, 2007

Se også

• Vektoranalyse og relaterede artikler.