Riesz-Fischer sætning

I matematik , mere præcist i integrationsteori , siger Riesz-Fischer-sætningen :

at en funktion kvadratisk integrable hvis og kun hvis de tilsvarende Fourier serien konvergerer i rummet $L 2$ ;
at rummet $L p$ er komplet .

Disse to udsagn (med $p$ = 2 i det andet) blev demonstreret i 1907 af den ungarske Frigyes Riesz og den østrigske Ernst Sigismund Fischer : Riesz beviste den første erklæring og Fischer den anden, hvorfra han genstartede den første.

Konvergens af Fourier-serien

Den første sætning betyder, at hvis den delvise sum af Fourier-serien, der svarer til funktionen $f,$ er givet af

{\ displaystyle S_ {N} f (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} F_ {n} \, e ^ {\ mathrm {i} nx}}

hvor $F n$ er den $niende$ Fourier-koefficient, givet af

{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) \, e ^ {- \ mathrm {i} nx} ~ \ mathrm {d} x}

så

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left \ Vert S_ {n} ff \ right \ | = 0}

hvor er normen $L$ $2$ , som kan skrives for en funktion $g$ ${\ displaystyle \ left \ Green \ cdot \ right \ |}$

{\ displaystyle \ left \ Green g \ right \ | = {\ sqrt {\ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | g | ^ {2}}}}

Omvendt, hvis $( a n )$ er en sekvens af komplekse tal indekseret af sættet med relative heltal sådan, at

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | a_ {n} \ right \ vert ^ {2} <\ infty}

så eksisterer der en integrerbar firkantfunktion $f,$ således at $a n$ er Fourier-koefficienterne for $f$ .

Denne sætning generaliserer Bessels ulighed og kan bruges til at bevise Parsevals lighed for Fourier-serier .

Rummets fuldstændighed $L p$

For enhver $p > 0$ , det metriske rum $L p$ er færdig. I det sædvanlige tilfælde $1 \leq p \leq \infty$ er det desuden et normaliseret vektorrum , derfor et Banach-rum ; især hvis $p$ = 2, er det et Hilbert-rum .

Vi bevise i forbifarten, at for $p \geq 1$ , hver cauchyfølge i $L p$ - med andre ord, efterfølgende : hver konvergent sekvens i $L p$ - har en delsekvens der konvergerer næsten overalt .

Bevis for

p \geq 1

Sagen $p = \infty$ er øjeblikkelig (det er et spørgsmål om ensartet konvergens uden for et ubetydeligt sæt ), lad os rette $1 \leq p <\infty$ og en Cauchy-sekvens $( f n )$ af elementer af $L p$ .

Det har en undersekvens $( g n ), der$ bekræfter:

{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N}, \ quad \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <2 ^ {- n},}

og det er tilstrækkeligt at bevise, at $( f n )$ konvergerer, at vise at $( g n )$ konvergerer. Lad os stille for det

{\ displaystyle g = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} | g_ {n + 1} -g_ {n} |.}

Denne funktion $g$ er målbar og verificerer (ved monoton konvergens og Minkowski ulighed ):

{\ displaystyle \ | g \ | _ {p} \ leq \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ | g_ {n + 1} -g_ {n} \ | _ {p} <\ infty. }

Det er derfor endeligt næsten overalt, det vil sige at den digitale serie på ethvert tidspunkt $x$ uden for et bestemt ubetydeligt sæt er absolut konvergent , derfor konvergent . Bortset fra dette ubetydelige sæt konvergerer sekvensen $($ $g$ $n$ $)$ derfor simpelthen mod en bestemt funktion $f,$ som derfor er målbar. Vi slutter med at bemærke, at $f$ opfylder: ${\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} (g_ {n + 1} -g_ {n}) (x)}$

{\ displaystyle \ | f-g_ {n} \ | _ {p} \ leq \ sum _ {k \ geq n} \ | g_ {k + 1} -g_ {k} \ | _ {p} \ leq 2 ^ {- n + 1},}

således at den tilhører $L p$ og at sekvensen $( g n )$ konvergerer i dette rum.

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen “ Riesz - Fischer-sætning ” ( se listen over forfattere ) .
(da) Richard Beals Analyse: En introduktion , Cambridge University Press , 2004 ( ISBN 978-0-521-60047-7 )
(en) John Horváth, " Om Riesz-Fischer-sætningen " [PDF]

F. Riesz , “ Om ortogonale systemsystemer ”, CRAS , bind. 144,1907, s. 615–619.
E. Fischer , " I gennemsnit konvergens ", CRAS , bind. 144,1907, s. 1022-1024.
E. Fischer , " Applications of a Theorem on Convergence on Average ", CRAS , bind. 144,1907, s. 1 148-1 151.

Riesz-Fischer sætning

Konvergens af Fourier-serien

Rummets fuldstændighed L p

Noter og referencer

Rummets fuldstændighed $L p$