Den kvadratroden af to , betegnet √ 2 (eller undertiden 2 1/2 ), er defineret som den eneste positive reelle tal , der, når ganget med sig selv, angiver antallet 2 , med andre ord √2 × √2 = 2 . Det er et irrationelt tal , hvis værdi tilnærmet til 10 –9 er:
.Beregning af en omtrentlig værdi på √2 har været et matematisk problem i århundreder. Denne forskning har gjort det muligt at forbedre algoritmerne til beregning af ekstraktion af kvadratrødder. Inden for datalogi fortsatte denne forskning med henblik på at optimere disse algoritmer ved at reducere beregningstider og hukommelsesforbrug.
Geometrisk er √2 forholdet mellem diagonalen af en firkant på sin side, ellers kendt som forholdet mellem hypotenusen i en ligebenet højre trekant på en af siderne i den rigtige vinkel, hvilket er et specielt tilfælde af Pythagoras sætning .
Antallet √2 har været kendt i lang tid: i Mesopotamien , de skriftkloge allerede vidste hvordan man beregner en meget præcis omtrentlig værdi, i den første tredjedel af det andet årtusinde f.Kr. .
Formentlig til V th århundrede f.Kr.. BC viste græske matematikere , at diagonalen på en firkant og dens side var umålelig , hvilket svarer til at sige, at √2 er en irrationel . Undersøgelsen af inkommensurabilitet spillede en vigtig rolle i udviklingen af græsk matematik. For grækerne er hverken fraktioner eller irrationelle tal. Dette skridt tages af de arabiske matematikere ved algebraens oprindelse .
Dette nummer bruges i daglige applikationer:
Udtrykket " kvadratrod " kommer fra den europæiske geometriske notation, der var fremherskende før algebraisk notation , og især fra en af konstruktionerne af √2, som vil blive præsenteret i det afsnit, der er afsat til historien ; Faktisk er matematiske problemer ofte blevet præsenteret i geometrisk form, før de blev reduceret til algebraiske udtryk. Udtrykket "radikal af to" blev også brugt.
√2 findes undertiden kaldet den pythagoreanske konstant , muligvis på grund af en legende, der tilskriver opdagelsen af irrationaliteten af √2 til den pythagoriske skole .
Papirstørrelserne A, B og C i ISO 216- standarden , til almindelig brug uden for Nordamerika , var designet til at verificere en bemærkelsesværdig egenskab: et ark, der er skåret i to lige store dele efter bredden, producerer to ark, der ligner originalen; det vil sige med det samme længde / bredde forhold. Området reduceres med en faktor 2 , dette er kun muligt, hvis dette forhold er lig med √2; i praksis er dimensionerne afrundede.
Nedenfor er de omtrentlige værdier for størrelserne A0 til A5 som en funktion af √2.
format | længde (m) | bredde (m) | areal (m 2 ) |
---|---|---|---|
A0 | √√2 | √√2 ⁄ √2 | 1 |
A1 | √√2 ⁄ √2 | √√2 ⁄ 2 | 1 ⁄ 2 |
A2 | √√2 ⁄ 2 | √√2 ⁄ (2√2) | 1 ⁄ 4 |
A3 | √√2 ⁄ (2√2) | √√2 ⁄ 4 | 1 ⁄ 8 |
A4 | √√2 ⁄ 4 | √√2 ⁄ (4√2) | 1 ⁄ 16 |
Serie B og C adskiller sig fra henholdsvis serie A med en faktor på √√2 (~ 1,19) og √√√2 (~ 1,09).
Forstørrelsesfaktorerne på 200%, 141%, 71%, 50%, der tilbydes af kopimaskiner, er tilnærmelser til (√2) n, der muliggør ændring til større eller mindre papirstørrelser - enten fysisk eller ved udskrivning af 2 n sider pr. Ark.
Bemærk, at vi i matematik lettere betegner og .
Rækken af ligesvævende konstrueres som følger: den frekvens forholdet mellem de yderste noter af oktav er 2; og skalaen er opdelt i tolv halvtoner med lige frekvensforhold ƒ. Frekvensforholdet mellem den højeste og den laveste tone er derfor ƒ 12 , hvilket er lig som angivet ovenfor til 2. Halvtonen har således et forhold ƒ = 2 1/12 .
gør | gør ♯ | re | d ♯ | midt | fa | fa ♯ | jord | jord ♯ | det | den ♯ | hvis | gør |
1 | 2 1/12 | 2 1/6 | 2 1/4 | 2 1/3 | 2 5/12 | √2 | 2 7/12 | 2 2/3 | 2 3/4 | 2 5/6 | 2 11/12 | 2 |
I dette system er den forstørrede fjerde ( C - F ♯) og den formindskede femte (C-G ♭) ens og er seks halvtoner værd; de har et frekvensforhold på √2. Den gregorianske sang bruger dette interval, tritonen , men i slutningen af middelalderen undgås det systematisk, fordi det betragtes som for dissonant. Han modtog derefter kaldenavnet " Diabolus in Musica ".
I el , den effektive spænding U eff af en enkelt - fase sinusformet vekselstrøm - f.eks 110 V eller 220 V af husstanden strøm - er forbundet med amplituden af spændingen U max ved
U max = U eff √2, også bemærket Û = U√2,eller i de mest almindelige applikationer:
U eff = 0,7 U maks .Dette er mere normalt rms-værdien af de lineære mængder af en sinus bølge . Vi vil også bemærke det
20 log (U / √2) = 20 log U - 20 log √2 = 20 log U - log ((√2) 20 ) = 20 log U - log 1024 ≃ 20 log U - 3 .Vi taler om båndbredde ved -3 decibel.
De åbninger af kameraerne følge standard sekvens f / 1,4, f / 2 f / 2.8 f / 4 f / 5.6 f / 8 f / 11 f / 16 f / 22, f / 32, etc. Forholdet mellem to på hinanden følgende åbninger er en værdi tæt på √2, som er valgt således, at lysstrømsforholdet er i et forhold på 2 (flux = diameter²). Ved at reducere blændeåbningen med et "hak" fordobles den krævede eksponeringstid, eller følsomheden af den krævede film reduceres med en faktor 2 .
I praksis er den angivne åbning en afrunding; den aktuelle åbning kan holde sig tættest på . Der er underinddelinger på moderne enheder, ofte i rapporter eller .
Åbning | f / 1.4 | f / 2 | f / 2.8 | f / 4 | f / 5.6 | f / 8 | f / 11 | f / 16 | f / 22 | f / 32 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Diameter | d | d / √2 | d / 2 | d / 2√2 | d / 4 | d / 4√2 | d / 8 | d / 8√2 | d / 16 | d / 16√2 |
Strøm | jeg | I / 2 | I / 4 | I / 8 | I / 16 | I / 32 | I / 64 | I / 128 | I / 256 | I / 512 |
Spørgsmålet om at duplikere en firkant svarer til opbygningen af en firkant med et areal, der er dobbelt så stort som en given firkant. Vi antager, at vi har et kvadrat af område 1, og vi prøver at konstruere et kvadrat med areal 2. Per definition har kvadratet af område 1 en side af længde 1, og kvadratet af område 2 har samme areal som det for to kvadrater af område 1.
Der er to nemme måder at finde ud af. Det mest direkte er at studere figuren til venstre. Firkanten med side 1 består af to trekanter, den ene med siden bemærket √2 består af nøjagtigt fire trekanter af samme type, så den har dobbelt areal. En anden måde at realisere forholdet to mellem områderne på figurens firkanter er brugen af Pythagoras sætning . En ligebenet højre trekant af kortsiden af længde 1 har en hypotenus med kvadrat svarende til 1 + 1 = 2. Denne hypotenus er diagonalen af et kvadrat af siden af længde 1.
Arealet af en firkant opnås ved at multiplicere længden af siden med sig selv. Længden af siden af firkanten af område 2 ganget med sig selv er derfor lig med 2. Per definition af √2 er længden af denne side √2.
Det er også muligt at bruge en cirkel til at duplikere firkanten uden at ændre dens retning. På figuren overfor har den store firkant et dobbelt areal af den lille firkant. For at være overbevist om dette er det tilstrækkeligt at dreje det lille firkant med en ottendedel omdrejning. Forholdet mellem siderne af de to firkanter er derfor √2. Figuren til venstre illustrerer for fremtidige matematikere tilstedeværelsen af kvadratroden af to i sinus og cosinus i den ottende omgang.
cos (45 °) = sin (45 °) = 1 / √2 = √2 / 2Senere, dette layout forført mange arkitekter som Andrea Palladio i sin Villa Rotonda eller i Rundkirke af Preslav . Det findes i klosteret i Cahors-katedralen, hvor overfladen af den indre gård er lig med overfladen af galleriet, der omgiver den, eller i notesbøgerne til Villard de Honnecourt .
Her er nogle af de mange beviser for, at √ 2 er irrationel . Flere af dem bruger kun meget minimal aritmetisk viden, andre generaliseres ved at erstatte √ 2 med √ n, hvor det naturlige tal n ikke er en perfekt firkant (se artiklen " Kvadratisk irrationel "). Nogle er omformuleringer med nuværende matematiske begreber og sprog af gamle eller formodede beviser ( jf. § Historie ).
De fortsætter ofte med det absurde ved at antage, at √ 2 tværtimod er rationel , det vil sige, at det kan skrives i form p / q for visse heltal q > 0 og p , derefter ved at udlede en modsigelse fra denne hypotese √ 2 = p / q , som også er skrevet p 2 = 2 q 2 .
Lad p være det mindste strengt positive heltal, således at p 2 er det dobbelte af et kvadrat, og lad q være det positive heltal således at p 2 = 2 q 2 . Derefter er p > q (siden p 2 > q 2 ) og p er jævn (da dens firkant er) . Ved at bemærke p = 2 r og forenkle med 2 omskrives ligningen q 2 = 2 r 2 med 0 < q < p , hvilket modsiger minimaliteten i valget af p .
En variant består i at føre en uendelig afstamning fra en (hypotetisk) opløsning p 2 = 2 q 2 : konstruerer vi r som ovenfor, derefter s , t , etc. sådan at p 2 = 2 q 2 , q 2 = 2 r 2 , r 2 = 2 s 2 … og p > q > r > s >… , hvilket er absurd, da der ikke er nogen strengt faldende uendelig rækkefølge af positive heltal.
Lad p og q igen være heltal> 0, således at p / q = √ 2 med pq så lille som muligt, eller som svarer til den samme ting, q så lille som muligt. Vi udleder af p 2 = 2 q 2 at p ( p - q ) = p 2 - pq = 2 q 2 - pq = (2 q - p ) q , derfor ved at indstille
r = p - q og s = 2 q - p :p / q = s / r , som modsiger minimaliteten af q , da 0 < r < q .
Sammenfattende: lad q være det mindste heltal> 0 således at q √ 2 er et heltal, så er q √ 2 - q stadig et sådant heltal, der er strengt mindre end q , derfor en modsigelse.
(Vi kan som før omdanne denne ræsonnement til en uendelig afstamning.)
For at bevise irrationaliteten af √2 svarer det til at demonstrere, at der for en given enhed ikke findes en ret ligebenet trekant, hvis sider hver har længde et helt antal enheder.
Hvis der findes en sådan trekant, eksisterer der nødvendigvis en mindre, hvis sider også er af fuld længde (dens konstruktion er angivet på tegningen modsat og detaljeret nedenfor). Men hvis der findes en sådan trekant, eksisterer der nødvendigvis en minimal med denne egenskab (den, hvis side af den rette vinkel f.eks. Er minimal ), hvorfra en modsigelse.
Lad ABC være en ret ligebenet trekant ved B med hele sider. Derefter skærer cirklen centreret ved A med radius længden af den korte side AB hypotenusen [AC] i et punkt B ', således at B'C stadig er i fuld længde, da AC og AB' er. Den vinkelrette ledede ved B 'til hypotenusen [AC] skærer siden [BC] ved A'. Trekant A'B'C er retvinklede ligebenede ved B ', da vinklen ved B er ret, og vinklen ved C er den oprindelige trekant. Linjerne (A'B) og (A'B ') er tangenterne fra A' til cirklen med centrum A og radius AB = AB ', og derfor A'B = A'B', derfor A'B = A 'B' = B'C, og A'C er fuld længde. Man kan også fortolke konstruktionen som foldningen af trekanten ABC, hvor man bringer siden [AB] tilbage på hypotenusen.
Vi kan ved at forklare beregningerne af trekantens sider give en rent aritmetisk version af dette bevis, som så er det i det foregående afsnit (tag p = AC og q = AB = BC).
Lad q være den mindste heltal> 0, således at antallet p : = q √ 2 er et helt tal, så q er primtal med p , eller den deler s 2 . Det er derfor lig med 1, og p 2 = 2, hvilket er umuligt. Det er specificeret til 2, et generelt argument, der viser, at kvadratroden af et heltal, der ikke er et perfekt kvadrat, er irrationel.
Parret ( p , q ), således at p 2 = 2 q 2 er denne gang vilkårlig (dvs. q ikke nødvendigvis minimum), modsigelsen kommer fra det faktum, at i nedbrydningen til produkt af primfaktorer har p 2 et lige antal faktorer og 2 q 2 et ulige tal. En variation er kun at tælle de faktorer, der er lig med 2. Dette argument passer igen straks til kvadratroden af et heltal, der ikke er et perfekt kvadrat.
Med p og q primer til hinanden som ovenfor, kan derfor ikke begge deles med 3, p 2 - 2 q 2 kan ikke være nul, da modulo 3, det er kongruent til 0 2 - 2 × (± 1) 2 eller (± 1) 2 - 2 × 0 2 eller (± 1) 2 - 2 × (± 1) 2 , dvs. ± 1. (Ved hjælp af begrebet modulært invers kan vi i denne metode erstatte 3 med ethvert primtal P således at 2 ikke er et modulo P- kvadrat , dvs. P kongruent til 3 eller 5 modulo 8 ).
Som alle kvadratrødder af heltal er √2 konstruerbar med en lineal og et kompas ; omvendt er dette f.eks. ikke tilfældet med terningen af 2.
Givet et segment AB med enhedslængde, her er de forskellige trin til at konstruere et segment af længden √2 med en ugraderet lineal og et kompas :
På dette stadium er segmentet [BC] af længden √2 bygget.
Som ethvert tal, der kan bygges med en lineal og et kompas, kan √2 bygges med et kompas alene . Stadierne af en mulig konstruktion er:
På dette trin er segmentet [AC] af længden √2 bygget.
Beviselementer: IC = IG = √3, fordi ifølge Pythagoras sætning , højderne i I og G af de ligesidede trekanter på side 1, IHA og HAG, som bæres af den lodrette halvering af (H, A), har længden √3 / 2. Ved konstruktion (A og C på den vinkelrette bisector af BI) (AC) er vinkelret på (AI), og den pythagoriske sætning i IAC giver AC² = 2 .
Den matematiske kultur i den paleo-babyloniske periode er frem for alt algoritmisk. Det har et system med numerering med positional notation . Nogle tabletter, som den der er bemærket BM 13901 , viser et godt kendskab til kvadratiske spørgsmål , sandsynligvis behandlet ved hjælp af enkle geometriske metoder, ved kopiering og indsætning af rektangulære områder. Ud over at have metoder til løsning ved babylonierne, hvordan man beregner tilnærmelser til kvadratrødder. YBC 7289- tabletten , skrevet i den første tredjedel af andet årtusinde f.Kr., giver en tilnærmelse af √2 fortolket som forholdet mellem kvadratets diagonal og siden i følgende form:
Denne skrivning svarer til den bedst mulige tilnærmelse af √2 med fire signifikante figurer i babylonisk tal ( base 60). Tilnærmelsen er nøjagtig til milliontallet. Det angiver kendskab til en kvadratrods tilnærmelsesalgoritme, men det vides ikke, hvilken. Det kunne være af Heron-metoden , stadig en af de mest effektive i dag.
Den Śulba-Sutraer , indiske rituelle tekster fra vediske periode, der er fastsat geometriske regler for opførelsen af ofringer altre. datoen for deres sammensætning er vanskelig at bestemme, den ældste kunne have været komponeret mellem 800 og 500 f.Kr. AD . De giver en erklæring om, hvad vi nu kalder Pythagoras sætning , herunder det specielle tilfælde af diagonalen på pladsen, som gør det muligt at fordoble dets areal. De giver også en regel til beregning af længden af denne diagonal som en funktion af siden, hvilket svarer til en bemærkelsesværdig præcis rationel tilnærmelse af √2:
,eller omkring 1.4142157 , en værdi nøjagtig til lidt over 2 milliontedele. En af Śulba-sūtra, Kātyāyana, angiver, at dette kun er en omtrentlig værdi. Afhandlingerne giver ingen indikation af, hvordan denne formel blev afledt, selvom historikere har foreslået adskillige metoder.
De matematikere af det antikke Grækenland har opdaget og demonstreret irrationalitet √2 ad gangen er det vanskeligt at afgøre, den seneste i de første årtier af det ved IV th århundrede f.Kr.. AD , og sandsynligvis ikke før V th århundrede f.Kr.. AD . De udtrykte det ikke på denne måde: for dem er det ikke et spørgsmål om et tal √2, men om et forhold (i betydningen af et forhold) mellem diagonalen og siden af firkanten, og de viser, at disse - disse er umålelige , det vil sige, at man ikke kan finde et enhedssegment, uanset hvor lille det er at måle nøjagtigt disse to længder med.
Opdagelsen af irrationalitet, dens dato, omstændighederne, der førte til den, dens konsekvenser, karakteren af de første demonstrationer ... alt dette har givet anledning til et stort arbejde blandt historikere, uden dog at disse når frem til en konsensus.
Vi har ikke arkæologiske beviser, der er analoge med babylonierens lerplader for matematikken i det antikke Grækenland , men tekster transmitteret af tradition, ved kopi og genoptagelse. Den første til at have nået os stammer fra det IV th århundrede f.Kr.. AD , i værker hvor matematik ikke er det primære mål, Platons skrifter , derefter Aristoteles .
Platon og AristotelesI en velkendt passage fra Meno placerer Platon Socrates, der får en ung slave til at opdage duplikationen af pladsen ved at konstruere en firkant på diagonalen. Socrates vil overbevise Meno om, at den unge slave finder en viden, der allerede findes i ham. Men for David Fowler, der daterer teksten fra 385 f.Kr. AD , det er også det første væsentlige direkte vidnesbyrd om udøvelsen af græsk matematik.
Den første kendte omtale af uforlignelighed skyldes også Platon, i et senere værk, The Theaetetus , hvor han beskriver Theodorus af Cyrene, der forklarer, hvad der svarer til irrationaliteten af kvadratrødderne fra tallene 3 til 17, som ikke er perfekte firkanter. Vi udleder denne passage, at irrationalitet √2 er kendt på det tidspunkt, hvor Platon skrev, selv en, hvor Theodore formodes at undervise, være de første årtier af det IV th århundrede f.Kr.. AD .
I Organon tager Aristoteles et eksempel på ræsonnement ved modsigelse mod det, der fører til diagonalens uforlignelighed, og specificerer (to steder), at hypotesen om commensurability fører til, at et lige antal er lig med et. Ulige tal. Indikationen er upræcis, men den er den ældste, vi har af en demonstration. Aristoteles tager også regelmæssigt som et eksempel i sine værker diagonalens målbarhed til siden.
EuclidI Elements of Euclid - den første matematiske afhandling, der har overlevet, skrevet omkring -300 - er behandling af uforlignelighed allerede højt udviklet. Inkommensurabilitet er defineret og behandlet i bog X , og proposition 2 giver en karakterisering af den ved en proces med alternerende subtraktioner, antypherese , analog med det, vi nu kalder Euclids algoritme i aritmetik (en division kan ses som en række subtraktioner) og fortsættes brøkdel for reelle tal (mængderne er umålelige, hvis der altid er en rest, processen fortsætter på ubestemt tid). Forslag 9 tillader forholdet til de aritmetiske egenskaber, der er behandlet i bog VII og bog VIII . Visse gamle udgaver af bog X giver i tillægget en proposition (undertiden nummereret 117), der direkte behandler irrationaliteten af √2 (uforligneligheden af firkantets og dens side) ved et paritetsargument og en uendelig afstamning. Men denne passer ikke ind i resten af teksten, den kunne have været tilføjet for sin historiske interesse og meget muligvis efter Euclid. Hun synes at være efter en anden demonstration, altid baseret på en paritet argument givet i kommentar af en af de passager i Aristoteles citeret ovenfor ved Alexander af Aphrodisias i II th århundrede ( AD. AD. ), Den ældste fuldstændige og virkelig datable, der er kommet ned til os (for målbarheden af firkantets diagonal og dens side).
Hypoteser og rekonstruktionerHvad man kan vide om opdagelsen af irrationalitet afhænger ud over disse elementer af fragmenter af gamle tekster af senere forfattere, især de af en (tabt) historie om en elev af 'Aristoteles, Eudemus fra Rhodos og mere generelt af sene historiske tekster, hvis pålidelighed ikke er indlysende.
Der er også flere teser både for sammenhængen og årsagerne til opdagelsen af uforlignelighed og for de første demonstrationer, hvor historikere reduceres til at rekonstituere disse på en måde, der er i overensstemmelse med den viden (antaget) af tiden. Disse spekulative genopbygning udviklet i slutningen af det XIX th århundrede og XX th århundrede, er langt fra at være konvergent og stadig til debat.
Det lige og det uligeOfte spiller √2 (kvadratets diagonal) den første rolle, især fordi et paritetsbevis (princippet er det første bevis for irrationalitet ovenfor) kun kræver aritmetisk viden dikotomi mellem tal lige og ulige, og kan komme sig aritmetiske viden, som historikere mener kan være til de græske matematikere af den V- th århundrede f.Kr.. AD . Det vil så være dette, som Aristoteles antyder.
AntyphereseEn anden mulighed er at stole på Euclids proposition X, 2 (citeret ovenfor), som kunne vidne om antikke bestemte demonstrationer af irrationalitet af anthyphérèse (alternative subtraktioner som Euclids algoritme). Sådanne demonstrationer vises imidlertid ikke i eukliderne eller i nogen gammel græsk tekst, der er kommet ned til os. Matematisk er princippet det, der er eksponeret ovenfor i den anden (aritmetisk version) og den tredje demonstration (geometrisk version) . At finde den samme figur i den geometriske version viser, at processen med gensidige subtraktioner derfor fortsætter på ubestemt tid til at afslutte med propositionen X, 2. Det må dog indrømmes, at et segment er delbart ved uendelig, og for det baserer Euclid sin proposition X, 2 om proposition X, 1 (som beskæftiger sig med dikotomi ), og bruger det " arkimediske aksiom ", tilskrevet Eudoxus og til stede i elementerne. En sådan gentagelse forekommer for enhver kvadratisk irrationel , det svarer til den periodiske udvikling af dens fortsatte fraktion . Denne periodicitet gør den euklidiske karakterisering operationel for de forhold, der svarer til disse tal. I tilfældet med √2 er det øjeblikkeligt i et trin og illustreres let geometrisk. Dette er også tilfældet for andelen i ekstrem og gennemsnitlig grund (vores gyldne forhold), som er forholdet mellem en diagonal og siden af pentagonen , hvilket har fået nogle historikere til at overveje, at dette forhold snarere end √ 2 førte til opdagelsen af irrationalitet.
Disse muligheder er ikke nødvendigvis modstridende, idet opdagelsen af irrationalitet er blevet gjort med hensyn til kvadratets diagonal og / eller pentagonens ved en proces svarende til antipherese og den første demonstration (er) fortsætter af peer og the odd.
Historien om roden til to fusionerer derefter med kvadratroden og mere generelt af irrationelle i nogle få linjer:
Dedekind kunne således bekræfte i 1872, da han offentliggjorde sin afhandling om opførelsen af realer, at indtil da havde ligestillingen √2 × √3 = √6 aldrig været nøje demonstreret.
Den normalitet er et koncept baseret på fordelingen af cifre i decimal udviklingen af et irrationelt tal, det vil sige, hvis alle cifrene 0 til 9 vises i denne udvikling og med samme frekvens. Med hensyn til √2 vides det ikke, om det er normalt i decimalsystemet eller på noget andet nummereringsgrundlag .
√ 2 er et algebraisk antal grader 2, kaldet et kvadratisk heltal , fordi opløsning af andengrads polynomligning med heltalskoefficienter x ² - 2 = 0 og af dominerende monomial med koefficient lig med 1, men ingen af grad 1 på grund af dens irrationalitet. Vi ved således, at det er vanskeligt at nærme sig en rationel sekvens p n / q n ; fejlen er i bedste fald i
Som med ethvert irrationelt algebraisk tal er dets mål for irrationalitet 2.
Heltalsdelen af √2 er 1, og dens decimaldel er derfor √2 - 1 eller igen11 + √2. Vi kan skrive dette resultat i form:
Ved at erstatte √2 i højre side med 1 +11 + √2, opnår vi successivt
Dette giver den periodiske kontinuerlige fraktionsudvidelse af √2
samt nogle omtrentlige værdier for dette tal: 3/2, 7/5, 17/12
√2 er relateret til et bestemt antal udvidelser i periodiske fortsatte fraktioner efter egenskab af kvadratiske heltal .
For a , b strengt positive heltal, således at a 2 - 2 b 2 = –1, har vi følgende udvidelse
Denne udvikling bemærkes almindeligvis mere kortfattet:
b √ 2 = [ a ; 2 a , 2 a , 2 a ...].Vi får følgende værdier på √ 2 :
√ 2 = 1/5 × [7; 14, 14, 14…], √ 2 = 1/29 × [41; 82, 82, 82 ...].Mere generelt for en , b strengt positive heltal sådan, at en 2 - 2 b 2 = k , vi har den følgende generaliserede kædebrøk :
som vi bemærker i en mere kortfattet form
b √ 2 = [ a ; - k , 2 a ; - k , 2 a ; - k , 2 a ;…]Vi udleder af det følgende udviklinger af √2:
√ 2 = 1/2 × [3; −1, 6; −1, 6; −1, 6;…] √ 2 = 1/12 × [17; −1, 34; −1, 34; −1, 34;…] √ 2 = 1/70 × [90; −1, 180; −1, 180; −1, 180;…]Beviselementer: Lad sekvensen ( u n ) defineres ved gentagelsesrelationen u n +1 = - k / (2 a + u n ) og lad ε n = | u n - ( b √ 2 - a ) |. Derefter kan vi vise, at ε n +1 < Kε n , med 1 / | 1 + 2 a / ( b √ 2 - a ) | < K <1 hvis u n er tilstrækkeligt tæt på b √ 2 - a .
Identiteten cos (π / 4) = sin (π / 4) = 1 / √2 og repræsentationen som et uendeligt produkt af sinus og cosinus fører til følgende udvikling
Det sidste produkt kan skrives på en tilsvarende måde:
SerieNummeret kan også evalueres som en serie ved hjælp af Taylor-udvidelsen af en trigonometrisk funktion i :
Vi kan også bruge funktionen √ 1 + x i 1:
Konvergensen i den sidste serie kan accelereres gennem en Euler-transformation for at give:
√ 2 er cirka 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737. For flere decimaler, se fortsættelse A002193 af OEIS .
Beregning af en omtrentlig værdi på √ 2 har været et matematisk problem i århundreder. Denne forskning har gjort det muligt at forbedre algoritmerne til beregning af ekstraktion af kvadratrødder. Inden for datalogi fortsatte denne forskning for at optimere disse algoritmer ved at reducere beregningstider og hukommelsesforbrug.
Bortset fra stammealgoritmen er de numeriske tilnærmelsesmetoder, der præsenteres nedenfor, beregnet til beregning af et stort antal decimaler. De er generelt baseret på en konvergerende sekvens af rationelle tal ; således frigøres iteration fra beregningsomkostningerne på flydende tal - hvis præcision også burde være kendt på forhånd . De bedste tilnærmelser med en rationel sekvens p n / q n giver en fejl i 1 / q n ², en egenskab ved den diofantiske tilnærmelse af kvadratiske heltal .
Denne gamle metode (det er fundet i Kina i de ni kapitler om den matematiske kunst i III th århundrede og Indien i Aryabhatiya den V th århundrede) bestemmer at aflevere de successive cifre i en kvadratrod, men divisionerne skal udføres hurtigt stigning i størrelse. Nedenfor er galgenalgoritmen til beregning af de første 5 decimaler af √ 2 .
2 | 1.41421 | |||||||||||
- | 1 | 1 × 1 = 1 | ||||||||||
1 | 0 | 0 | ||||||||||
- | 9 | 6 | 2 4 × 4 = 96 | |||||||||
4 | 0 | 0 | ||||||||||
- | 2 | 8 | 1 | 28 1 × 1 = 281 | ||||||||
1 | 1 | 9 | 0 | 0 | ||||||||
- | 1 | 1 | 2 | 9 | 6 | 282 4 × 4 = 11296 | ||||||
6 | 0 | 4 | 0 | 0 | ||||||||
- | 5 | 6 | 5 | 6 | 4 | 2828 2 × 2 = 56564 | ||||||
3 | 8 | 3 | 6 | 0 | 0 | |||||||
- | 2 | 8 | 2 | 8 | 4 | 1 | 28284 1 × 1 = 282841 | |||||
1 | 0 | 0 | 7 | 5 | 9 |
Vi skylder Theon of Smyrna disse to sekvenser ( p n ) og ( q n ) defineret ved induktion:
p n + 1 = p n + 2 q n , p 0 = 1; q n + 1 = p n + q n , q 0 = 1.Disse sekvenser har en strengt positiv heltalværdi, derfor strengt stigende ved induktion og verificering
p n ² - 2 q n ² = (−1) n ( p 0 ² - 2 q 0 ²)således at p n / q n har tendens til √2.
Det vides ikke, om Theon of Smyrna havde til hensigt at beregne en omtrentlig værdi på √2.
Opløsninger af den diofantiske ligning a ²− 2 b ² = kHeltalsopløsningerne i ligningen a ² - 2 b ² = k genereres ved induktion
a m + 1 = 3 a m + 4 b m b m + 1 = 2 a m + 3 b mfra de oprindelige værdier ( a 0 , b 0 ) = (1, 1) for k = −1 og (3, 2) for k = 1.
Denne metode udledes af Théons metode: hver iteration af den nuværende svarer til to iterationer af den ene. Således har en n / b n tendens lineært mod √2.
De første løsninger er:
Vi giver os selv ( a , b ), opnået ved Theons metode, som er løsningen af en af de to foregående diofantiske ligninger 2b 2 = a 2 - k = K, med k = ± 1 og K> 1. Vi kan så skrive
√2 = ( a / b ) √ K / (K + k )Sekvenserne p n og q n defineret af
p n + 1 = (2K + k ) p n + 2K q n , p 0 = 1; q n + 1 = (2K + 2 k ) p n + (2K + k ) q n , q 0 = 1.kontrollere
(K + k ) p n + 1 2 - K q n + 1 2 = (K + k ) p n 2 - K q n 2 =… = k ,og derfor på samme måde som ovenfor konvergerer sekvensen p n / q n til √ K / (K + k ) = ( b / a ) √ 2 . Desuden, hvis k = 1, nærmer denne sekvens sig derfor denne værdi som standard, og hvis k = –1, er den faldende, nærmer sig derfor denne værdi med overskud.
Vi kan bruge denne relation til at estimere fejlen:
ε n + 1 ≃ ε n (4K + 3 k ) −2og det er en stigning, hvis k = 1. Konvergens er derfor lineær : det gemmer et omtrent konstant antal decimaler ved hver iteration.
Denne metode svarer til en generalisering af metoden i det foregående afsnit til radikalen √ K / (K + k ) . For større K vokser sekvensen ( q n ) hurtigere, så konvergensen accelereres.
iteration | brøkværdi | nøjagtige decimaler |
0 | 1 | 1 |
1 | 19 601/13 860 | 1.414 213 56 |
2 | 22 619 537/15 994 428 | 1.414 213 562 373 09 |
3 | 26 102 926 097/18 4575556052 | 1.414 213 562 373 095 048 80 |
4 | 30122 754096 401/21 300 003 689580 | 1.414 213 562 373 095 048 801 688 72 |
En anden metode består i at nærme b √2 - a ved sin generaliserede kontinuerlige fraktion for ( a , b ) opløsning af den diofantiske ligning 2 b 2 = a 2 - k , med k = ± 1:
b √2 - a = [0; - k , 2 a ; - k , 2 a ; - k , 2 a …] tilnærmes ved hjælp af sekvensen ( p n / q n ) bestemt af gentagelsesrelationen p n + 1 = q n q n + 1 = 2 aq n + kp nFejlen kontrolleres asymptotisk
ε n + 1 <| b √2 - a | / (2 a - 1) ε niteration | brøkværdi | nøjagtige decimaler |
0 | 1 | 1 |
1 | 114 243/80 782 | 1.414 213.562 |
2 | 54 608 393/38 613 965 | 1.414 213 562 373 09 |
3 | 26 102 926 097/18 4575556052 | 1.414 213 562 373 095 048 80 |
4 | 12 477 253 282 759/8 822750 406 821 | 1.414 213 562 373 095 048 801 688 7 |
Vi giver os selv ( a , b ) opløsning af den diofantinske ligning 2b 2 = a 2 - k = K, med k = ± 1. Derefter kan vi skrive √ K / (K + k ) som summen af en serie via heltalserieudvidelsen af (1+ z ) -½ (eller den generaliserede binomiale formel , enkel variant af udsættelse).
og brug √2 = ( a / b ) √ K / (K + k ) .
Med a = 7, b = 5 (dvs. K = 50, k = -1) og derfor √2 = (7/5) √ 50/49 , er de første udtryk i serien særligt enkle, som påpeget Leonhard Euler i 1755 :
iteration | brøkværdi | nøjagtige decimaler |
0 | 1 | 1 |
1 | 239/169 | 1.414 2 |
2 | 6 238 763 163 557/4 411 471739 168 | 1.414 213 562 373 09 |
3 | 712 741 258 857 407 103/503 984 177 369 508 992 | 1.414 213 562 373 095 048 |
4 | 325705649507622500 000 000/230 308 673 437 608 750 000 000 | 1.414 213 562 373 095 048 801 688 |
Det er muligt at nærme sig √2 ved halvering . Denne metode har langsom lineær konvergens: man får tre decimaler for hver ti iterationer.
The Newton metode anvendes med kvadratroden funktionen beregner en tilnærmet værdi for √2 iterativt med en kvadratisk konvergens, dvs., at fordoble antallet af decimaler på hver iteration. Gentagelse har formen
u n + 1 = u n / 2 + 1 / u nDenne algoritme kaldes Herons metode eller babylonisk metode, fordi det ser ud til at være den, der bruges af babylonerne til at finde omtrentlige værdier af kvadratrødder.
Hvis vi er interesserede i de på hinanden følgende fraktioner, der starter med en startværdi p 0 og q 0 , er gentagelsen på tælleren og nævneren
p n + 1 = p n ² + 2 q n ² q n + 1 = 2 p n q niteration | brøkværdi | nøjagtige decimaler |
0 | 1 | 1 |
1 | 3/2 | 1 |
2 | 12/17 | 1.41 |
3 | 577/408 | 1.414 21 |
4 | 665 857/470 832 | 1.414 213 562 37 |
5 | 886 731 088 897/627 013 566 048 | 1.414 213 562 373 095 048 801 68 |
Den fremgangsmåde til Halley er et eksempel på kubisk metode. Det søger efter nul på ƒ ( x ) = x ² - 2 ved hjælp af de to første derivater . Den iterative løsning er
x n + 1 = x n × ( x n ² + 6) / (3 x n ² + 2)eller ved at indstille x n = p n / q n :
p n + 1 = p n ( p n ² + 6 q n ²) q n + 1 = q n (3 p n ² + 2 q n ²)Denne metode er af kubisk konvergens: antallet af nøjagtige decimaler tredobles ved hver iteration.
iteration | brøkværdi | nøjagtige decimaler |
0 | 1 | 1 |
1 | 7/5 | 1.4 |
2 | 1393/985 | 1.414.213 |
3 | 10812186007/7 645370 045 | 1.414 213 562 373 095 048 |
4 | - | 1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 100 000 6718 753 769 480 731 000 000 |
Den Householder iteration påføres ƒ ( x ) = 1 / x ² - 1 / √2 giver en sekvens, konvergerende til 1 / √2:
x n + 1 = x n + x n / 8 × (2 x n ² - 1) (6 x n ² - 7)Vi bruger en ændret Newton-metode til at finde nul på ƒ ( x ) = 1 / x ² - 1/2. Dette giver den tilbagevendende sekvens:
x n + 1 = x n + x n / 16 × (8 h n + 6 h n ² + 5 h n ³)med
h n = 1 - x n ² / 2Denne metode er af kvartisk konvergens , det vil sige af rækkefølge 4: antallet af korrekte signifikante cifre firdoblet (asymptotisk) ved hver iteration.
iteration | brøkværdi | nøjagtige decimaler |
0 | 3/2 | 1 |
1 | 23 169/2 14 | 1.414 |
2 | 57 367 317 478 181 000 000 000 000 000 000 000/2 105 | 1.414 213 562 373 09 |
3 | - | 1.414 213562373 09 504880168724209 6980 785 696 718 753 76 948 073 176 679 737 |
Der er højere ordre metoder, især blandt husholderske metoder.
Ludmila Duchêne og Agnès Leblanc, Rationnel mon Q , Hermann ,2009( online præsentation ) (demonstrationer af rodens 2 irrationalitet)