Decimal udvidelse af enhed

I matematik repræsenterer den periodiske decimaludvikling, der skrives $0,999\dots$ , som yderligere betegnes med eller eller , et reelt tal, der kan vises at være tallet $1$ . Med andre ord er de to notationer $0,999 ...$ og $1$ to forskellige notationer for det samme nummer. De matematiske demonstrationer af denne identitet er formuleret med varierende grad af matematisk strenghed og i henhold til præferencer vedrørende definitionen af reelle tal, de underliggende antagelser, den historiske kontekst og det tilsigtede publikum. $0, {\ bar {9}}$ $0, {\ dot {9}}$ $0, (9)$

Det faktum, at nogle reelle tal kan være repræsenteret af mere end en streng af "decimaler" er ikke begrænset til decimaltallet , dvs. basis ti-systemet. Det samme fænomen finder sted i alle heltal baser , og matematikere har også spottet hvordan man skriver $1$ i ikke-heltallige grundsystemer. Dette fænomen er desuden ikke specifikt for tallet $1$ : ethvert decimaltal, der ikke er nul, har en endelig skrivning og en anden skrift med en uendelighed på 9, såsom $18.32 = 18.31999\dots$ . Skrivning med et endeligt antal decimaler er enklere og er næsten altid den foretrukne, hvilket bidrager til fordomme om, at det er den ”eneste” repræsentation. Imidlertid er den anden form, med en uendelighed af decimaler, undertiden mere nyttig til forståelse af decimaludvidelsen af visse fraktioner eller, i base 3 , til karakterisering af Cantor-sættet . Den "ikke-unikke" form skal tages i betragtning i visse demonstrationer, fordi sættet med reelle tal ikke kan tælles . Mere generelt indeholder ethvert positionelt numerisk repræsentationssystem for reelle tal en uendelighed af tal, der har flere repræsentationer.

Ligestillingen $0,999\dots = 1$ har længe været accepteret af matematikere og undervist i lærebøger. Det er først i de sidste årtier, at forskere inden for matematikuddannelse har undersøgt, hvordan studerende opfatter denne lighed. Nogle afviser det på grund af deres "intuition", at hvert tal har en unik decimaludvidelse , at der skal være uendelige tal uden nul, eller at udvidelsen $0,999 ...$ ender med at ende. Disse intuitioner er forkerte i det rigtige talesystem, men der er andre nummersystemer, der kan tillade nogle.

Algebraiske bevis

Der er flere elementære beviser for ligestillingen $0,999\dots = 1$ .

Brud og opdelinger stillet

En af grundene til behovet for uendelige decimaludvidelser er decimalrepræsentationen af brøker . Indstilling af en division af heltal som $1/9$ giver en decimaludvidelse på $0.111 ...$ hvor decimalerne gentages uendeligt . Denne lighed giver et hurtigt bevis på $0,999\dots = 1$ : ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {9}} & = 0 {,} 111 \ ldots \\ 9 \ times {\ frac {1} {9}} & = 9 \ times 0 { ,} 111 \ ldots \\ 1 & = 0 {,} 999 \ ldots \ end {justeret}}}$

I en anden form kan vi gange de to medlemmer af ligestillingen $1 / 3 = 0,333 ...$ med $3$ , for på den ene side at opnå $3 \times 1 / 3 = 1$ og på den anden side $3 \times 0,333 ... = 0,999\dots$ . Disse to tal er derfor ret ens.

Håndtering af decimaler

Når et tal i decimalnotation multipliceres med $10$ , ændres cifrene ikke, men enhedens separator forskydes et trin til højre. Således er $10 \times 0,999\dots = 9.999\dots$ . Følgende kræver lidt algebra:

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = 0 {,} 999 \ ldots \\ 10x & = 9 {,} 999 \ ldots & {\ text {ved at gange med}} 10 \\ 9x & = 9 & { \ text {da trækker den første ligning fra den anden}} \\ x & = 1 & {\ text {ved at dividere med}} 9 \\ 0 {,} 999 \ ldots & = 1 & {\ text {ved definition af }} x. \ slut {justeret}}}

Diskussion

“Selvom dette bevis fastslår, at $0,999\dots = 1$ , ser det ikke ud til at give noget, der forklarer, hvorfor denne lighed er sand. [… Imidlertid] i elementær aritmetik kan denne form for bevis hjælpe med at forklare, hvorfor $0,33 ... \neq 0,4$ , mens $0,99\dots er$ lig med $1,0$ . Eller i elementær algebra [... skal forklares] en generel metode til at finde den brøk svarende til en periodisk decimaludvidelse ” . Men disse demonstrationer kaster ikke lys over de grundlæggende relationer mellem decimaludvidelser og antallet, de repræsenterer, forhold, der ligger til grund for selve meningen, der skal gives til lighed mellem to decimaludvidelser.

William Byers mener, at en studerende, der indrømmer, at $0,999\dots = 1 på$ grund af de foregående demonstrationer, men som ikke løste tvetydigheden i notationen $0.999\dots$ - som ifølge ham både betegner en summeringsproces og et matematisk objekt - ikke rigtig forstå lighed.

Når et repræsentationssystem er defineret, kan det bruges til at retfærdiggøre de decimale aritmetiske regler, der blev brugt i de foregående demonstrationer. Desuden kan det direkte påvises, at udtrykkene $0.999\dots$ og $1.000\dots begge$ repræsenterer det samme reelle tal, fordi dette er en del af definitionen ( se nedenfor ).

Analytiske demonstrationer

Da undersøgelsen af $0.999\dots$ ikke griber ind i formaliseringen af matematik på nogen måde, kan den udsættes, indtil standardteoremerne for reel analyse er etableret .

Det er frem for alt nødvendigt at give mening til skrivning af reelle tal i decimalnotation i form af et muligt tegn - af en endelig række af figurer, der danner det naturlige tal $b 0$ heltal af den absolutte værdi , en decimalseparator og en muligvis uendelig rækkefølge $( b i ) i \geq 1$ af cifre, der kan tage værdierne fra 0 til 9 og danne den brøkdel af denne samme absolutte værdi. I denne positionstalsystem , er det vigtigt, at i modsætning til heltalsdelen $b 0$ , er brøkdelen ikke begrænset til et endeligt antal cifre.

For at diskutere $0.999\dots bruger$ vi ikke muligheden for et tegn -, så vi begrænser os til en decimaludvidelse af formen $b 0 , b 1 b 2 b 3 \dots$ .

Uendelige serier og suiter

Måske er den mest almindelige præsentation af decimaludvidelser at definere dem som uendelige serier . Generelt:

{\ displaystyle b_ {0} {,} b_ {1} b_ {2} b_ {3} b_ {4} \ ldots = b_ {0} + {\ frac {b_ {1}} {10}} + {\ frac {b_ {2}} {10 ^ {2}}} + {\ frac {b_ {3}} {10 ^ {3}}} + {\ frac {b_ {4}} {10 ^ {4}} } + \ ldots}

For $0,999\dots$ kan vi anvende konvergenssætningen for geometriske serier : hvis $| r | <1$ , derefter:

{\ displaystyle a + ar + ar ^ {2} + ar ^ {3} + \ ldots = {\ frac {a} {1-r}}.}

Siden $0,999 ...$ er sådan en sum, med $r = 1 / 10$ , sætningen løser hurtigt spørgsmålet:

{\ displaystyle 0 {,} 999 \ ldots = 0 + {\ frac {9} {10}} + {\ frac {9} {10 ^ {2}}} + {\ frac {9} {10 ^ {3 }}} + {\ frac {9} {10 ^ {4}}} + \ ldots = {\ frac {9} {10}} + {\ frac {9} {10}} \ gange {\ frac {1 } {10}} + {\ frac {9} {10}} \ times \ left ({\ frac {1} {10}} \ right) ^ {2} + {\ frac {9} {10}} \ gange \ venstre ({\ frac {1} {10}} \ højre) ^ {3} + \ ldots = {\ frac {\ frac {9} {10}} {1 - {\ frac {1} {10} }}} = 1.}

Denne demonstration (faktisk den $9.999 ... = 10$ ) vises fra 1770 i Elements of Algebra of Leonhard Euler , men opsummeringen af en geometrisk serie er i sig selv et tidligere resultat. En typisk demonstration af XVIII th århundrede anvendt en lignende ordret manipulation håndtering decimaler givet ovenfor ; Bonnycastle , i 1811 , bruger denne form for argument for at retfærdiggøre, at $0,999\dots = 1$ .

Reaktion af XIX th århundrede mod sådan cavalier metoder summation resulterede i definitionen stadig dominerende i dag:

summen af a serie er grænsen for den sekvens af dets partielle summer ;
en sekvens $( x 0 , x 1 , x 2 , ...)$ indrømmer en grænse $x,$ hvis afstanden $| x - x n |$ bliver vilkårligt lille, når $n$ stiger.

Med disse definitioner består beviset for ovenstående sætning i at beregne afstanden mellem den forventede grænse, $x = Til / 1 - r$ , og de delvise summer af den geometriske serie , $x n = a + ar +\dots + ar n$ . Vi finder ud af, at denne afstand er en geometrisk sekvens af årsag $r$ , derfor af nulgrænse (siden $| r | <1$ ).

I det særlige tilfælde $0,999 ... = 1$ skrives dette bevis simpelthen:

{\ displaystyle 1-0 {,} \ underbrace {99 \ ldots 99} _ {n} = 0 {,} \ underbrace {00 \ ldots 01} _ {n} = {\ frac {1} {10 ^ {n }}} \ quad {\ rm {et}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}} = 0.}

Før denne formalisering blev den skitseret mere billedligt, men mindre præcis. For eksempel forklarede Davies i 1846 , ” $.999 +$ , fortsat $ad$ infinitum $= 1$ , fordi tilføjelse af hver nye $9$ bringer værdien nærmere $1$ . " ; Smith og Harrington, i 1895 , skrev: “Når du tager et stort antal $9'er,$ bliver forskellen mellem $1$ og $0,999\dots$ ufattelig lille. " Sådanne tilgange heuristikker fortolkes ofte af studerende som antydende, at $0,999 ...$ i sig selv er strengt mindre end $1$ .

Indlejrede segmenter og øvre grænser

Ovenstående repræsentation efter serie er en enkel måde at definere det reelle tal, der er knyttet til en decimaludvidelse. For at sikre, at denne notation ikke misbruger “=” -tegnet, brugte vi grænsernes egenskaber. Men andre konstruktioner bruger ordren.

En af dem er baseret på sætningen med indlejrede segmenter (se tredje konstruktion ), der siger, at for en sekvens af indlejrede segmenter, hvis længder bliver vilkårligt små, indeholder skæringspunktet mellem disse intervaller nøjagtigt et punkt. Antallet $b 0 , b 1 b 2 b 3 \dots$ defineres derfor som den unikke reelle, der hører til alle segmenterne $[ b 0 , b 0 + 1], [ b 0 , b 1 , b 0 , b 1 + 0, 1 ]$ , etc. Således, $0,999 ...$ er den unikke real, der findes i alle segmenter $[0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1], [0,999, 1]$ , etc. det vil sige den virkelige $1$ .

Den omvendte proces er at bestemme for et givet reelt tal alle decimaludvidelser, som det svarer til. Hvis vi ved, at et reelt tal $x$ er i segmentet $[0, 10]$ (dvs. $0 \leq x \leq 10$ ), kan vi dele dette interval i 10 lige store dele, som ikke overlapper hinanden end i deres ender: $[0, 1] , [1, 2], [2, 3],\dots, [9, 10]$ . Antallet $x$ skal tilhøre et af disse intervaller; hvis det hører til $[2, 3]$ , skriver vi tallet $2 ned$ , og vi opdeler intervallet i ti: $[2,0, 2,1], [2,1, 2,2], [2, 2, 2,3],\dots, [2,9, 3]$ . Vi nedskriver decimalseparatoren og antallet svarende til det interval, hvor $x$ er placeret ; ved at fortsætte denne proces opnår vi en uendelig række sekvenser af indlejrede segmenter, som vi identificerer ved en uendelig række af cifre $b 0 , b 1 b 2 b 3 ...$ og vi skriver $x = b 0 , b 1 b 2 b 3 \dots$ . I denne formalisme afspejler identiteterne henholdsvis $0,999\dots = 1$ og $1.000\dots = 1$ , at $1$ begge er i segmentet $[0, 1]$ og $[1, 2]$ , så man kan vælge det ene eller det andet af disse intervaller ved start på søgningen efter decimaler. Resten følger af dette oprindelige valg.

Det nestede segment sætning er normalt baseret på en mere grundlæggende karakter af reelle tal: eksistensen af den mindste øvre grænse, kaldet den øvre grænse (eller supremum ). For direkte at bruge denne form for objekt kan vi definere $b 0 , b 1 b 2 b 3 ...$ som den øvre grænse for sættet af tilnærmelsesmidler $b 0$ , $b 0 , b 1$ , $b 0 , b 1 b 2$ , $b 0 , b 1 b 2 b 3$ , etc. . Vi kan derefter vise, at denne definition (eller den af de indlejrede segmenter) er i overensstemmelse med underinddelingsproceduren, hvilket igen indebærer, at $0,999\dots = 1$ . Tom Apostol konkluderer: ”Det faktum, at et reelt tal kan have to forskellige decimalrepræsentationer, er simpelthen en afspejling af, at to forskellige sæt reelle tal kan have den samme øvre grænse. " .

Beviser fra konstruktionen af reelle tal

Nogle tilgange definerer eksplicit reelle tal som strukturer baseret på rationelle tal ved hjælp af aksiomatisk sætteori . De naturlige tal : 0, 1, 2 osv. start med 0 og fortsæt i stigende rækkefølge, så hvert nummer har en efterfølger. Vi kan udvide de naturlige tal med de negative heltal for at opnå alle heltalene og derefter til deres forhold, som giver de rationelle tal . Disse talsystemer ledsages af aritmetikken af de fire grundlæggende operationer, addition, subtraktion, multiplikation og division. Mere subtilt inkluderer de begrebet orden , så et tal kan sammenlignes med et andet og findes at være større, mindre end eller lig med sidstnævnte.

Skiftet fra rationel til reel er en stor udvidelse. Der er mindst to almindelige måder at opnå dette resultat på, begge udgivet i 1872 : Dedekinds stiklinger og Cauchys suiter . $Beviser$ på $0,999\dots = 1,$ der direkte bruger disse konstruktioner, findes ikke i lærebøger med reel analyse , hvor tendensen i de seneste årtier har været at bruge aksiomatisk analyse. Selv hvis der foreslås en konstruktion, bruges den generelt til at bevise aksiomerne for reelle tal, hvilket igen tillader bevisene ovenfor. Imidlertid udtrykker nogle forfattere tanken om, at det logisk ville være at foretrække at starte med en konstruktion, og at de resulterende demonstrationer vil være mere autonome.

Dedekinds nedskæringer

Dedekinds definition af reelle tal som valører blev først offentliggjort af Richard Dedekind i 1872 . I den nu klassiske omformulering (jf. Detaljeret artikel) er et snit en ordentlig ikke-tom del af sættet af rationaler, stabil ved lavere grænser og ikke besidder et større element . En reel repræsenteres derefter af det uendelige sæt af alle rationaliteter, der er strengt ringere end det. Enhver positiv decimaludvidelse definerer let et Dedekind-snit: sættet af rationelle strengt lavere end en vis trunkering af udvidelsen. For eksempel cutoff svarende til det uendelige ekspansion $0,999 ...$ er det sæt af rationale tal mindre end $0$ , eller $0,9$ eller $0,99$ , etc. , og det svarende til den endelige udvikling $1$ er sættet med rationelle tal strengt mindre end $1$ . Disse to sæt er ens, så de to decimale udvidelser $0,999\dots$ og $1$ repræsenterer den samme virkelige pr. Definition.

Cauchy suiter

En anden tilgang til konstruktion af reelle tal bruger begrebet rationaliseringer mindre direkte. Dette er definitionen fra Cauchys serie af rationelle, første gang offentliggjort i 1872, uafhængigt af Eduard Heine og Georg Cantor .

Vi starter med at definere "afstanden" mellem to rationaler $x$ og $y$ som den absolutte værdi $| x - y |$ , dvs. den største af de to rationaler $x - y$ og $y - x$ (denne afstand er derfor en positiv rationel).

I denne ramme defineres de reelle tal som sekvenserne af rationelle tal $( x 0 , x 1 , x 2 , ...),$ som er " af Cauchy for denne afstand", det vil sige sådan for enhver rationel $δ> 0$ , der findes et heltal $N,$ således at $| x m - x n | \leq δ$ for alle $m$ og $n$ er større end $N$ . Med andre ord bliver afstanden mellem to udtryk mindre end nogen positiv rationel fra en bestemt rang.

Vi definerer også i denne sammenhæng begrebet en sekvens af rationaler, der konvergerer til $0$ , ved kun at bruge rationel $δ> 0$ . Derefter, hvis $($ $x$ $n$ $)$ og $($ $y$ $n$ $)$ er to Cauchy-sekvenser, siger vi, at de er lige som reelle tal, hvis deres forskel $($ $x$ $n$ $- y$ $n$ $)$ konvergerer til $0$ . De trunkeringer af decimal ekspansion $b$ $0$ $,$ $b$ $1$ $b$ $2$ $b$ $3$ $...$ danne en sekvens af decimaltal (derfor rationelt), som er Cauchy. Det tages som værdien af nummeret. I denne formalisme kommer ligestillingen $0,999\dots = 1$ derfor ligesom i den tidligere fremgangsmåde ved serien fra det faktum, at rækkefølgen af rationelle tal

{\ displaystyle \ left (1-0,1- {9 \ over 10}, 1- {99 \ over 100}, \ dots \ right) = \ left (1, {1 \ over 10}, {1 \ over 100}, \ prikker \ højre),}

det vil sige rækkefølgen af kræfterne i $1 / 10$ , konvergerer til $0$ (i den a priori svagere betydning defineret her: for enhver rationel $δ> 0$ har vi $1 / 10 n \leq δ$ for ethvert heltal $n$ stort nok).

Generaliseringer

Resultatet $0,999\dots = 1$ kan let generaliseres i to retninger. For det første har ethvert ikke-nul tal, der har en endelig decimaludvidelse (efterfulgt af en uendelighed af nuller), en anden udvidelse, der slutter med en uendelighed på $9$ . For eksempel er $0,25 (= 0,25000\dots)$ lig med $0,24999\dots$ , ligesom $1 (= 1.000\dots)$ er lig med $0,999\dots$ . Disse tal er decimaler . De udgør, som vi lige har set, en tæt del af sættet af realer.

For det andet forekommer det samme fænomen i alle baser . For eksempel i base to , $0.111\dots = 1$ og i base tre, $0.222\dots = 1$ . Ægte analyse lærebøger har en tendens til at springe over decimalsystemet og starte med at præsentere en eller begge disse generaliseringer.

Nummer $1 har$ også flere repræsentationer i ikke-hele baser . For eksempel i guld-baserede nummereringssystem (den, der indrømmer gyldne nummer $φ$ som basen) de to standard repræsentationer af enhed er $1,000 ...$ og $0,101010 ...$ , og $1 også$ har uendeligt tællelig af ikke-standardiserede repræsentationer, der er , der indeholder tilstødende $1'er$ ; for ethvert $q$ strengt mellem $1$ og $φ$ er situationen endnu værre: udvidelsessættet af $1$ i base $q$ har kontinuumets kraft (er derfor uendelig og utallige ); på den anden side, i intervallet $] φ, 2 [$ , udgør baserne $q$ , hvor $1$ kun har en anden udvidelse end den trivielle udvidelse $1.000 ...$ (som i heltalbaser) et coma sour-sæt (som derfor har kraften til kontinuerlig ). I 1998 bestemte Komornik og Loreti den mindste af disse baser, Komornik-Loreti-konstanten $q = 1.787231650\dots$ . I denne base er $1 = 0.110100110010110\dots$ ; decimalerne er givet af Prouhet-Thue-Morse-sekvensen , som ikke gentages.

En meget dybere generalisering bekymringer de mest generelle positionelle antal systemer . De indrømmer også flere repræsentationer og på en måde med værre vanskeligheder. For eksempel :

i det afbalancerede ternære system , $1/2 = 0.111\dots = 1, 111 \dots$ ;
i faktorsystemet (ved hjælp af baserne 2 !, 3 !, 4!, ... for positionerne efter decimaltegnet), $1 = 1.0000\dots = 0.1234\dots$ .

Marko Petkovšek foreslog en generel definition af positionssystem og viste, at hvis et sådant system repræsenterer alle realer, er det sæt realer, der har flere repræsentationer, tæt. Han kalder sin demonstration "en lærerig øvelse i elementær generel topologi "; det består i at forsyne alle symbolserierne i et sådant system med en passende topologi, og ved at bruge det, at det virkelige rum er Baire .

Dette afsnit kan indeholde upubliceret arbejde eller ureviderede udsagn (april 2016) . Du kan hjælpe ved at tilføje referencer eller fjerne ikke-offentliggjort indhold.

En anden forklaring på umuligheden af en enkelt repræsentation i visse Positionssystemer.

Det faktum, at disse forskellige nummereringssystemer alle lider af flere repræsentationer for bestemte reelle tal, kan tilskrives en grundlæggende forskel mellem det ordnede sæt reelle tal og samlingerne af uendelige, leksikografisk ordnede sekvenser .

Faktisk skyldes vanskelighederne følgende to egenskaber:

hvis et reelt interval er opdelt i to dele L og R således, at ethvert element i L er (strengt taget) mindre end ethvert element i R, så: enten har L et større element , eller R har et mindre element, men ikke de to ved en tid;
samlingen af alle sekvenser af symboler valgt i et hvilket som helst "alfabet", ordnet leksikografisk, kan opdeles i to dele L og R, således at ethvert element i L er mindre end ethvert element i R, og dette, således at L har et større element og R har et mindre element. Faktisk er det tilstrækkeligt at tage to endelige begyndelser i træk, ℓ og r , identiske bortset fra deres sidste symboler, der følger hinanden, og derefter tage for L alle de sekvenser, hvis begyndelse er mindre end eller lig med ℓ og for R alle sekvenserne, hvis begyndelse er større end eller lig med r . Derefter har L et maksimalt element: sekvensen starter med ℓ og fortsætter med altid det størst mulige symbol, og R har et minimumselement: sekvensen starter med r og fortsætter med det mindst mulige symbol på alle positioner.

Den første egenskab følger af to grundlæggende egenskaber af realerne: L har en øvre grænse ℓ og R en nedre grænse r ≥ ℓ, og r kan ikke være strengt større end ℓ, ellers, da realerne danner en tæt rækkefølge , er der ville have mellem de to realer, der hverken tilhører L eller R. Denne virkelige r = ℓ hører pr. definition af en partition enten til L eller til R, men ikke til begge.

Det andet punkt generaliserer den opnåede situation med $0.999\dots$ og $1.000\dots$ . Vi har ingen steder antaget, at alfabetet er det samme for hver symbolposition i en sekvens, og heller ikke at partituret dækker den komplette samling af mulige sekvenser. Begrænsningerne for at opnå det andet punkt findes men er svagere. Når de er færdige, viser ovenstående argument, at der ikke kan være nogen ordensisomorfisme mellem samlingen af symbolsekvenser og et reelt interval.

Ansøgninger

Den Midy teorem er et resultat af elementær aritmetik på forekomsten af 9 i de periodiske decimaltal udvidelser fraktioner , hvis nævnere er nogle primtal . For eksempel : $1 / 7$ = $0, 142857142857142857 \dots$ og $1 + 8 = 4 + 5 = 2 + 7 = 9$ . Étienne Midy demonstrerede sin sætning i 1836, og mange matematikere genopdagede derefter og udvidede den. Et af bevisene er baseret på følgende generalisering af ligestillingen $0.999\dots = 1$ : fra en decimaludvidelse $0, a 1 a 2 a 3 ...$ af en reel $x$ mellem $0$ og $1$ , får vi en ekspansion $0, b 1 b 2 b 3 \dots$ af $1 - x$ ved at tage cifrene 9's komplement til $x$ : $b i = 9 - a i$ .
I virkelige analyser vises basis tre analoge, $0,222\dots = 1$ , i det faktum, at Cantor-sættet er lukket : et punkt i enhedsintervallet $[0, 1]$ er en del af Cantor-sættet s 'det kan skrives i base $3$ kun bruger cifrene $0$ og $2$ . Vi opnår således Cantor-sættet ved at fjerne fra $[0, 1]$ dets centrale tredjedel: intervallet på $0,1 = 1 / 3$ til $0.1222\dots = 2 / 3$ (men at holde disse ender, da de har en anden repræsentation, som ikke indeholder en $1$ : for eksempel, $1 / 3 = 0,0222\dots$ ) derefter på samme måde ved at fjerne fra de to $sidesegmenter$ deres centrale tredjedel (åbent interval) osv.
Basis to-analogen, $0.111\dots = 1$ , vises, når vi tilpasser et andet af Cantors værker - hans diagonale argument fra 1891 - for at vise, at det reelle enhedsinterval ikke kan tælles : hvis vi ræsonnerer i base n = 2 under hensyntagen til den dobbelte ekspansion af dyadiske fraktioner kræver forholdsregler. Men dette problem forsvinder, så snart vi vælger n > 2.

Studenters skepsis

De studerendes matematik afviser ofte ligestillingen $0,999 ...$ og $1$ af grunde der spænder fra deres forskellige udseende til dyb tvivl om begrebet grænse og uenighed om det uendelige minimum . Der er mange faktorer, der bidrager til denne forvirring til fælles:

Studerende er ofte "mentalt knyttet til forestillingen om, at et tal kun kan repræsenteres ved en decimaludvidelse". Synet af to klart forskellige decimale udvidelser af det samme tal fremstår som et paradoks , som forstærkes af udseendet af det tilsyneladende velkendte tal: $1$ .
Nogle elever fortolker $0.999 ...$ eller lignende notationer som en sekvens på $9$ , lang bestemt, men endelig, af variabel længde, ikke specificeret. Så længe de accepterer en uendelig rækkefølge, forventer de ikke desto mindre, at det sidste "uendelige" ciffer er $9$ .
Intuition og tvetydig undervisning får eleverne til at tænke på grænsen for en sekvens som en proces snarere end en fast værdi, da en sekvens ikke behøver at nå sin grænse. Når elever accepterer forskellen mellem en række af tal og dens grænse, kan de læse $0,999 ...$ ligesom selve sekvensen snarere end dens grænse.

Disse ideer er forkerte i sammenhæng med standard teori om reelt tal, skønt nogle kan være gyldige i andre nummersystemer; enten blev disse opfundet for deres generelle anvendelighed i matematik, eller de er modeksempler til en bedre forståelse af arten af $0.999\dots$ .

Mange af disse forklaringer blev fundet af David Tall (as) , der studerede egenskaberne ved uddannelse og viden, hvilket førte til nogle misforståelser, han stødte på hos sine studerende ved universitetet. Da han stillede spørgsmålstegn ved dem for at bestemme, hvorfor langt størstedelen oprindeligt afviser ligestilling, fandt han, at "studerende fortsætter med at tænke på $0,999 ...$ som en række af tal, der altid kommer tættere på $1$ , men ikke som en fast værdi, af den grund at" vi specificerede ikke, hvor mange decimaler der er ", eller at" det er det nærmeste decimaltal under $1$ ". " .

Blandt de elementære bevis er multiplikation af $0,333\dots = 1/3$ med $3$ tilsyneladende en god strategi for at overbevise modvillige studerende om, at $0,999\dots = 1$ . Men når de får dem til at sammenligne deres godkendelse af den første ligning med deres tvivl om den anden, begynder nogle studerende at tvivle på den første, andre bliver irriterede. Mere sofistikerede metoder garanteres ikke længere: studerende, der er i stand til at anvende strenge definitioner, kan falde tilbage på intuitivt sprog, når de er overraskede over et matematisk resultat som $0,999\dots = 1$ . For eksempel var en rigtig analysestudent i stand til at vise, at $0,333 ... = 1/3$ ved hjælp af den øvre grænse definition , men hævdede, at $0,999 ...$ ikke er lig med $1$ , baseret på hendes oprindelige forståelse af $0,333 ... = 1/3$ af den stillede division . Atter andre kan demonstrere, at $0,333 ... = 1/3,$ men når de står over for beviset med brøker , insisterer de på, at "logik" har forrang frem for beregninger.

Joseph Mazur (en) fortæller historien om en af hans elever i numerisk analyse, ellers strålende, som "stillede spørgsmålstegn ved alt, hvad jeg sagde i klassen, men aldrig tvivlede på hans regnemaskine og var færdig med at tro, at ni cifre var alt hvad du behøver for at lave matematik , inklusive beregning af kvadratroden på $23$ . Denne studerende forblev modstandsdygtig over for et $grænseargument$ for $9.999 ... = 10$ og kaldte det en "uendeligt voksende vildt forestillet proces" " .

Ifølge hans APOS ( handlinger, processer, objekter, skemaer ) teori om matematisk læring tilbyder Dubinsky og hans samarbejdspartnere en forklaring: studerende, der opfatter $0,999 ...$ som en endelig, ubestemt rækkefølge, hvis afstand til $1$ er uendelig lille, "har ikke færdig med at opbygge et begreb om uendelig decimaludvikling ”. Andre studerende, der er færdige med at opbygge dette koncept, er sandsynligvis ikke i stand til at indkapsle dette koncept i et objektbegreb, som det, de har for $1$ , og de ser derfor disse to begreber som uforenelige. Dubinsky et al. relaterer også denne mentale kapacitet til indkapsling til at se en brøkdel som $1/3$ som et sandt tal, og så arbejde med sæt med tal.

I populærkulturen

Med udviklingen af den internettet , debatter om $0,999 ...$ er flyttet ud af klasseværelset, og kan findes ofte på diskussion brædder eller meddelelser, herunder mange, der normalt har meget lidt at gøre med matematik..

I sci.math-forummet er diskussionen af $0.999\dots$ blevet en ”grassroots sport”, og dette er et af spørgsmålene, der behandles i dens ofte stillede spørgsmål . Ofte stillede spørgsmål går hurtigt over $1/3$ , multipliceret med $10$ , grænser og henviser endda til Cauchy-sekvenser.
En 2003-udgaven af den Chicago Readers Generel Column The Straight Dope diskuterer $0,999 ...$ gennem $1/3$ og grænser, og taler af indre misforståelser i disse vilkår:

”Den lavere primat i os modstår stadig og siger, at $0,999\dots$ ikke rigtig repræsenterer et tal , men i en knivspids en proces . For at finde et nummer skal du stoppe processen, men så kollapser historien om $0,999\dots = 1$ . Uanset hvad... "

I samme ånd spørgsmålet om $0,999 ...$ har fundet en sådan succes i løbet af de første syv år af forummet Battle.net selskab Blizzard Entertainment som selskabet udsendte en pressemeddelelse den 1. st april 2004 til endeligt sige, at det er $en$ :

”Vi er meget glade for at lukke denne bog en gang for alle. Vi har været vidne til hjertesorg og bekymringer om, hvorvidt $0,999\dots = 1$ , og vi er stolte af at rapportere, at følgende demo i sidste ende og endelig løser for vores kunder. "

To demonstrationer foreslås derefter baseret på grænserne og på multiplikationen med 10.

$0,999 ...$ er også en del af matematisk folklore, og især i følgende vittighed:

"Spørgsmål: Hvor mange matematikere skal der til for at skrue en pære i?
Svar: $0,999999 ...$ ”

I alternative nummersystemer

Selvom reelle tal er et yderst nyttigt nummer -system , at beslutningen om at fortolke notation $0,999 ...$ som repræsentation af et reelt tal er, om balance, kun en konvention, og Timothy Gowers hævder, at identiteten $0,999 ... = 1$ , som følger af det er også en konvention:

“Du kan definere andre nummereringssystemer ved hjælp af nye regler eller nye objekter; i denne slags systemer skulle ovenstående bevis fortolkes igen, og man kunne meget vel finde ud af, at $0.999\dots$ og $1$ i et sådant system ikke er identiske. Imidlertid er mange systemer udvidelser - eller alternativer - til det reelle $talesystem$ , og $0,999\dots = 1$ fortsætter med at være sandt. Men selv i denne slags system er det værd at undersøge adfærden på $0,999 ...$ (for så vidt denne repræsentation har en betydning og derudover unik), men også for opførelsen af relaterede fænomener. Hvis disse fænomener adskiller sig fra det reelle talesystem, er mindst en af de grundlæggende antagelser i dette system forkert. "

Uendelig små tal

Nogle beviser for, at $0,999\dots = 1$ er baseret på den arkimediske egenskab af standard reelle tal: der er ingen uendelige størrelser, der ikke er nul. Der er matematisk sammenhængende algebraiske strukturer , der indeholder forskellige alternativer til reelle standarder, som ikke er arkimediske. Betydningen af $0,999 ...$ afhænger af strukturen, hvori den bruges. For eksempel har de dobbelte tal et nyt element, uendeligt lille , svarende i komplekse tal til den imaginære enhed $i$ , bortset fra at det er tilfældet med dobbelt tal . Den resulterende struktur kan bruges som en algoritmisk afledning . Dobbelttal kan bestilles efter leksikografisk rækkefølge , i hvilket tilfælde multipler af bliver ikke-arkimediske elementer. Bemærk dog, at betragtet som en udvidelse af realerne, dualer stadig tilfredsstiller $0,999\dots = 1$ . Bemærk igen, at da der eksisterer som et dobbelt tal, også eksisterer, så at "det mindste positive dobbelte tal" ikke er, og desuden, som for de virkelige, eksisterer dette tal ikke. $\ varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$ $\ varepsilon$ $\ varepsilon$ $\ varepsilon / 2$ $\ varepsilon$

Ikke-standard analyse giver et nummereringssystem med et helt sæt uendelige størrelser (og deres inverser, som er uendeligt store). AH Lightstone udviklede en decimaludvidelse for hyperreale tal i intervallet . Det viser, hvordan man knytter en række decimaler til et hvilket som helst tal $0,$ $d$ $1$ $d$ $2$ $d$ $3$ $\dots;\dots$ $d$ $\infty - 1$ $d$ $\infty$ $d$ $\infty + 1$ $\dots$ indekseret af hypernaturlige tal . Selvom han ikke direkte diskuterer $0.999\dots$ , viser han, at det reelle tal $1/3$ er repræsenteret af $0,333 ...;\dots 333\dots$ , hvilket er en konsekvens af overførselsaksiomet . Ved at gange med 3 får vi en lignende repræsentation for udvidelser med gentagne 9'ere. Men Lightstone viser, at i dette system svarer udtrykkene $0,333\dots;\dots 000\dots$ - eller $0,999\dots;\dots 000\dots$ - ikke til noget tal. ${\ displaystyle \ left] 0.1 \ right [^ {\ ast}}$

Samtidig tilfredsstiller det hyperrealistiske tal med den sidste decimal 9 ved en uendelig hypernaturlig rang $H$ den strenge ulighed . Faktisk følgende: og . Ifølge denne skrivning foreslog Karin og Mikhail Katz en anden værdiansættelse af $0,999 ...$ : ${\ displaystyle u_ {H} = 0 {,} 999 \ ldots; \ ldots 999000 \ ldots}$ ${\ displaystyle u_ {H} <1}$ ${\ displaystyle u_ {1} = 0,9 \ ,; \ u_ {2} = 0,99 \ ,; \ u_ {3} = 0,9999}$ ${\ displaystyle u_ {H} = 1-10 ^ {- H} <1}$

{\ displaystyle {\ begin {array} {cl} 0 {,} \ underbrace {999 \ ldots} & = \, 1-1 / 10 ^ {[\ \ mathbb {N}]} \\ [- 1ex] [\ mathbb {N}] & \ end {array}}}

hvor er en uendelig hypernatural givet efterfølgende , modulo et bestemt ultrafilter . Ian Stewart karakteriserer denne fortolkning som en "ganske rimelig" måde at nøje retfærdiggøre intuitionen på, at "der mangler lidt noget mellem $.999 ...$ og $1.$ " Ligesom Karin og Mikhail Katz sætter Robert Ely spørgsmålstegn ved antagelsen om, at de studerendes ideer om uligheden $0.999\dots <1$ er misforståelser om reelle tal, og han foretrækker at fortolke dem som ikke-standardiserede fornemmelser , som måske har en vis betydning. Interesse i at lære uendeligt lille beregning . ${\ displaystyle [\ mathbb {N}]}$ ${\ displaystyle 1,2,3, \ ldots}$

Hackenbush

Den kombinatoriske spilteori giver også alternativ til reelle tal, hvor spillet Hackenbush (in) LR uendelig er særligt slående eksempel. I 1974 beskrev Elwyn Berlekamp en korrespondance mellem strengene i Hackenbush-spillet og den binære udvikling af realerne, motiveret af ideen om datakomprimering . For eksempel, at værdien af den Hackenbush LRRLRLRL ... snor er . Imidlertid er værdien af LRLLL… (svarende til uendelig mindre end $1.$ Forskellen mellem de to er det surrealistiske tal , hvor er den første uendelige ordinal ; den tilsvarende repræsentation er LRRRR… , eller . ${\ displaystyle 0 {,} 010101 \ ldots _ {\ mathrm {(base2)}} = 1/3}$ ${\ displaystyle 0 {,} 111 \ ldots _ {\ mathrm {(base \ 2)}}}$ ${\ displaystyle 1 / \ omega}$ $\ omega$ ${\ displaystyle 0 {,} 000 \ ldots _ {\ mathrm {(base \ 2)}}}$

Bryder subtraktionen

En anden måde, hvorpå bevis kan gøres ugyldige, er tilfældet, hvor det simpelthen ikke findes, fordi subtraktion ikke altid er mulig. Matematiske strukturer, hvor der er en tilføjelse operation, men hvor subtraktionen operation er ikke altid defineret indbefatter halve grupper kommutativ , den monoid Kommutativ og halvringene . Fred Richman betragter et sådant system - konstrueret således, at $0,999\dots <1$ - i en artikel med titlen ” $0,999\dots$ er det lig med $1$ ? Fra Mathematics Magazine , en tidsskrift for universitetsundervisningslærere og deres studerende. ${\ displaystyle 1-0 {,} 999 \ ldots}$

På de positive decimaludvidelser definerer Richman den leksikografiske rækkefølge og en additionsoperation, idet han bemærker, at $0,999\dots <1$ , ganske enkelt fordi $0 <1$ i rang af enheder, men for enhver uendelig ekspansion $x$ har vi $0,999\dots + x = 1 + x$ . Så det særlige ved decimale udvidelser er, at de ikke alle er enkle at tilføje. En anden er, at der ikke er nogen decimaludvidelse $x$ svarende til $1/3$ , dvs. verificering af $x + x + x = 1$ . Efter at have defineret multiplikationen, udgør de positive decimaludvidelser en positiv, totalt ordnet og kommutativ halvring. Selvom denne struktur tilfredsstiller nogle interessante egenskaber, er mange af reglerne for sædvanlig aritmetik ikke længere gyldige.

Parallelt hermed foreslår Richman en paradoksal variant af Dedekind-nedskæringer : han innoverer ved at kalde "Dedekind-afskæring" af ringen D med decimaltal som en ikke-uheldig ordentlig del A af D stabil ved nedre grænse , men uden at forbyde, at A har et plus stort element . Til ethvert element $d$ af D kan han således associere to "snit" : sættet , som han betegner $d$ $-$ , og sættet , som han assimilerer med $d$ og kalder "hovedskæring" . Vi minder om, at Dedekind identificerede disse to "nedskæringer" med hinanden ved at sige, at de "kun adskiller sig uafhængigt" - hvilket svarer til at ekskludere det andet, som i den klassiske præsentation af Dedekinds nedskæringer nævnt ovenfor. Ovenfor analyserer Richman imidlertid strukturen, hvor alle hans "Dedekind-nedskæringer" er tilladt, og hvor $d$ $-$ og $d$ ikke betragtes som lige. Dens "udskæringer" indeholdende $0$ er derefter i tilknytning til de positive decimaludvidelser ved at associere med enhver udvidelse det decimaltal, der er lavere i bred forstand, med en vis afkortning af udvidelsen. Sættet, der svarer til den uendelige udvidelse $0.999 ...$ er derfor cutoff $1$ $-$ , mens sættet, der svarer til udviklingen $1,$ er "main cutoff $1$ ". ${\ displaystyle \ {x \ i D \ mid x <d \}}$ ${\ displaystyle \ {x \ i D \ mid x \ leq d \}}$

Der er ingen positive uendelige størrelser i dens "snit" på D , men der er en slags "negativ uendelig" $0 -$ , som ikke har nogen decimaludvidelse. Han konkluderer, at $0,999\dots = 1 + 0 -$ , mens ligningen $0,999\dots + x = 1 ikke$ har nogen løsning.

P-adic tal

Når de bliver spurgt om $0,999\dots$ , mener nybegyndere ofte, at der skal være en "sidste $9$ ", så de synes, det er et positivt tal, skriv $0.000\dots 1$ . Uanset om dette giver mening eller ej, er det intuitive mål klart: hvis vi tilføjer en $1$ til den sidste af $9'erne$ , vil det medføre kaskadeflyttninger, der erstatter alle $9'ere$ med $0'er$ og $0$ af enhederne med en $1$ . Blandt andre grunde mislykkes denne idé, fordi der ikke er nogen "sidste $9$ " i $0.999\dots$ . Der er dog et system, der indeholder en uendelighed på 9'ere inklusive en sidste 9. ${\ displaystyle 1-0 {,} 999 \ ldots}$

Den numre p -adic er et alternativ nummersystem af interesse i talteori . Ligesom reelle tal kan p -adiske tal konstrueres ud fra rationelle tal ved anvendelse af Cauchy-sekvenser ; konstruktionen bruger en anden metrik, hvor $0$ er tættere på $p$ og endnu tættere på $p n$ end $1$ . De p -adiske tal danner et kommutativt felt, hvis p er primær , og en kommutativ ring, hvis ikke, inklusive hvis $p = 10$ . Så vi kan regne med p -adiske tal , og der er ingen uendelige tal .

I 10 adiske tal strækker analoger af decimaludvidelser sig til venstre. Udviklingen $... 999$ har en sidste $9,$ mens den ikke har den første $9$ . Du kan tilføje 1 til cifret, og de kaskadeafdragelser efterlader kun $0s$ :

{\ displaystyle \ ldots 999 + 1 = \ ldots 000 = 0}

derfor $... 999 = -1$ . En anden demonstration bruger en geometrisk serie . Den uendelige serie, der er antydet af notationen $... 999$ konvergerer ikke i de reelle tal, men den konvergerer i 10-adics, og vi kan genbruge den velkendte formel:

{\ displaystyle \ ldots 999 = 9 + 9 (10) +9 (10) ^ {2} +9 (10) ^ {3} + \ cdots = {\ frac {9} {1-10}} = - 1 }

- sammenlign med serien ( se ovenfor ).

En tredje demonstration blev opfundet af en femteklasse, der tvivlede på grænseargumentet fra sin lærer, at $0,999\dots = 1$ , men blev inspireret af demonstrationen ved at gange med 10 ( se ovenfor ), men i det modsatte: hvis så , og følgelig . ${\ displaystyle x = \ ldots 999}$ ${\ displaystyle 10x = \ ldots 9990 = x-9}$ $x = -1$

En endelig udvidelse, siden $0,999\dots = 1$ i virkeligheden og $\dots 999 = -1$ i de 10 adics, “ved blind tro og hensynsløs jonglering med symboler”, kan vi tilføje de to relationer og nå frem til $... 999.999\dots = 0$ . Denne ligning giver ingen mening hverken som en 10-adisk udvidelse eller som en decimaludvidelse, men det viser sig, at man kan give det en mening, hvis man udvikler en teori om "dobbelt decimaler" med periodiske venstre sider for at repræsentere et velkendt system : det af reelle tal.

Relaterede problemer

Se artiklen Intuitionist logik .
De paradokser Zeno , og især beslutningen af Achilles og skildpadden , er tæt på den tilsyneladende paradoks, at $0,999 ... = 1$ . Paradokset kan modelleres matematisk og ligesom $0,999\dots$ , løst af en geometrisk serie. Det er imidlertid ikke klart, at denne matematiske behandling gælder for de metafysiske spørgsmål, som Zeno udforskede.
Den division med nul er en del af nogle af de populære diskussioner af $0,999 ...$ og også oprører kontroverser. Mens de fleste forfattere vælger at definere $0,999 ...$ , efterlader næsten al moderne behandling division med nul udefineret, fordi den ikke kan tildeles en betydning inden for standard reelle tal. Imidlertid kan division med nul defineres i nogle andre systemer, såsom i kompleks analyse , hvor man kan tilføje et punkt ved uendelig til endelige tal for at opnå Riemann-sfæren . I dette tilfælde giver det mening at definere $1/0$ som uendelig; og faktisk er resultaterne dybe og anvendelige på mange problemer inden for teknik og fysik. Nogle fremtrædende matematikere havde argumenteret for denne form for definition længe før nogen af disse nummereringssystemer blev udviklet.
Det negative nul (en) er endnu et eksempel på redundans i at skrive tal. Anvendelsen af numre systemer som reelle tal, hvor $0$ betegner den neutrale element til tilsætning, er det hverken positiv eller negativ, og den sædvanlige fortolkning af $-0$ er, at det er symmetrisk element af $0.$ for tilsætningen hvilke kræfter $-0 = 0$ . Imidlertid bruger nogle videnskabelige applikationer separate positive og negative nuller. Inden for datalogi er der standarder for kodning af heltal, der er gemt i form af tegn og absolut værdi , og dette er også reglen for flydende nummer, specificeret af IEEE 754- standarden for flydende punkter. Man kan også citere komplementet til en , dog i ubrugt tilstand. Pointen er, at hvis de fleste af tidssystemerne ved, at de skal svare "sandt" på spørgsmålet "er $0 = -0$ ?" ”, Dette kan forårsage forskellige resultater, især når de divideres med $0$ .

Noter og referencer

( fr ) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " 0.999 ... " ( se listen over forfattere ) .

Bemærkninger

De forskellige bevis for dette sidste trin bruger uundgåeligt en af de aksiomatiske karakteriseringer af feltet med reelle tal .
Den historiske syntese hævder Griffiths og Hilton 1970 , s. xiv, derefter af Pugh 2002 , s. 10; faktisk foretrækker begge Dedekinds nedskæringer frem for aksiomer. For brug af udklip i lærebøger, se Pugh 2002 , s. 10 eller Rudin 1976 , s. 17. For synspunkter på logik, se Pugh 2002 , s. 10, Rudin 1976 , s. ix eller Munkres 2000 , s. 30.
Richman 1999 bemærker, at de rationelle tal kan erstattes af en hvilken som helst tæt del, der er subring , især decimaltalringen .
Richman 1999 forklarer: ”Hvorfor gør vi det? Præcis for at eliminere muligheden for eksistensen af forskellige tal og $1$ [...] Så vi ser, at i den traditionelle definition af reelle tal er ligningen indarbejdet fra starten. " $0, {\ dot {9}}$ ${\ displaystyle 0 {,} {\ dot {9}} = 1}$
faktisk lig med den teleskopiske serie ${\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {k} {(k + 1)!}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 1} \ left ({\ frac {1} {k!}} - {\ frac {1} {(k + 1)!}} \ right) = {\ frac { 1} {1!}}.}$
Slovensk matematiker født i 1955, elev af Dana Scott , medforfatter af Herbert Wilf og Doron Zeilberger og professor ved universitetet i Ljubljana .
Se § “ Non prime case p ” i artiklen om Midys sætning.
Bunch 1982 , s. 119, Tall and Schwarzenberger 1978 , s. 6. Det sidste forslag skyldes Burrell 1998 , s. 28: ”Måske er den mest betryggende af alle tal $1$ . […] Det er derfor særligt foruroligende at se nogen passere $0,9\dots$ til $1$ . "
Richman i 1999 mener, at dette argument "stammer fra, at folk er blevet betinget af at acceptere den første linje uden at tænke over det" .
For en fuld behandling af ikke-standardnumre, se fx Robinson 1996 .
Berlekamp, Conway og Guy 1982 , s. 79–80, 307–311 drøft $1$ og $1/3$ og adresse . Spillet for følger direkte fra Berlekamps regel og diskuteres af Walker 1999 . ${\ displaystyle 1 / \ omega}$ ${\ displaystyle 0 {,} 111 \ ldots _ {\ mathrm {(base \ 2)}}}$
At han kalder "decimaler" , mens han kalder "decimalfraktioner", hvad der almindeligvis kaldes decimaler .
Richman 1999 . Rudin 1976 , s. 23 giver denne alternative konstruktion (udvidet til alle rationelle) som den sidste øvelse i kapitel I.
Se f.eks. Behandlingen af Möbius-transformationer i Conway 1978 , s. 47–57.

Referencer

Byers 2007 , s. 39-41.
Richman 1999 .
Peressini og Peressini 2007 , s. 186.
(i) Leonhard Euler ( trans. Fra fransk af John Hewlett og Francis Horner), Elementer af Algebra , Elm Longman1822, 3 e ed. ( 1 st ed. 1770) ( ISBN 0387960147 , læse online ) , s. 170.
Grattan-Guinness 1970 , s. 69; (en) John Bonnycastle, En introduktion til algebra ,1811( læs online ) , s. 177.
(i) Charles Davies, The University Aritmetik: Værdsættelse Science of Numbers, og deres talrige applikationer , AS Barnes,1846( læs online ) , s. 175.
Smith og Harrington 1895 , s. 115.
Bartle og Sherbert 1982 , s. 60-62; Pedrick 1994 , s. 29; Sohrab 2003 , s. 46; Stewart og Tall 1977 , s. 34.
Apostol 1974 , s. 9, 11-12; Rosenlicht 1985 , s. 27.
(i) Richard Beals Analyse: An Introduction , Cambridge University Press ,2004, 261 s. ( ISBN 978-0-521-60047-7 , læs online ) , s. 22.
Apostol 1974 , s. 12.
(da) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , “De reelle tal: Stevin til Hilbert” , i MacTutor Mathematics Archive , University of St. Andrews ( læs online ).
Griffiths og Hilton 1970 , §24.2, "Sekvenser", s. 386.
Griffiths og Hilton 1970 , s. 388, 393.
Griffiths og Hilton 1970 , s. 395.
Protter og Morrey 1991 , s. 503; Bartle og Sherbert 1982 , s. 61.
(in) Paul Erdős , Miklos Horváth og István Joó, " Om det unikke ved udvidelserne $1 = Σ q -n i$ " , Acta Math. Hungar. , Vol. 58, nr . 3,1991, s. 333-342 ( DOI 10.1007 / BF01903963 ).
Komornik og Loreti 1998 , s. 636.
Petkovšek 1990 , s. 409-410.
Petkovšek 1990 .
Tall og Schwarzenberger 1978 , s. 6-7.
Tall 2000 , s. 221.
Tall og Schwarzenberger 1978 , s. 6.
(i) David Tall, " Grænser, infinitesimals og uendeligheder " på University of Warwick .
Tall 1976 , s. 10-14.
Edwards og Ward 2004 , s. 416–417. For et lignende eksempel, se Pinto og Tall 2001 , s. 5.
Mazur 2005 , s. 137–141.
(i) Ed Dubinsky, Kirk Weller, Michael McDonald og Anne Brown, " Nogle historiske problemstillinger og paradokser Med hensyn til begrebet uendelighed: en APOS analyse: del 2 " , Uddannelsesforskning i matematik , Vol. 60,2005, s. 253-266 ( DOI 10.1007 / s10649-005-0473-0 )( s. 261-262 ).
fra Vreught 1994 , taget op i Hvorfor 0,9999 ... = 1? på mathforum.org.
Som observeret af Richman 1999 med henvisning til de Vreught 1994 .
Adams 2003 .
(in) " Blizzard Entertainment annoncerer .999 ~ (gentager) = 1 " , Blizzard Entertainment,1 st april 2004.
Renteln og Dundes 2005 , s. 27.
Gowers 2002 .
Berz 1992 , s. 439-442.
Lightstone 1972 , s. 245-247.
Katz og Katz 2010a .
Stewart 2009 , s. 175; diskussionen af $0.999\dots$ udvides på s. 172-175 .
Katz og Katz 2010b ; Ely 2010 .
Gardiner 2003 , s. 98, Gowers 2002 , s. 60.
Fjelstad 1995 , s. 11.
Fjelstad 1995 , s. 14–15.
DeSua 1960 , s. 901.
DeSua 1960 , s. 902–903.
Wallace 2003 , s. 51, Maor 1987 , s. 17.
Maor 1987 , s. 54.
Munkres 2000 , øvelse 1 (c), s. 34.
(i) Herbert Kroemer og Charles Kittel, Thermal Physics , New York, WH Freeman,1980, 2 nd ed. , 473 s. ( ISBN 0-7167-1088-9 ) , s. 462 ; (en) MSDN , " Flydende punkttyper " ,2016.

Citerede bøger og artikler

(en) Cecil Adams, ” Et uendeligt spørgsmål: Hvorfor gør ikke .999 ~ = 1? " , The Straight Dope,11. juli 2003
(en) Tom M. Apostol , matematisk analyse , Addison-Wesley ,1974, 2 nd ed. , 492 s. ( ISBN 0-201-00288-4 )- Overgangen fra elementær analyse til avanceret analyse, denne bog sigter mod at være ”ærlig, streng, opdateret og på samme tid ikke for pedant. ” (Forord). Apostols udvidelser af reelle tal bruger den øvre grænse aksiom og introducerer decimaludvidelser to sider senere (s. 9-11).

(en) RG Bartle og DR Sherbert , Introduktion til reel analyse , Wiley ,1982( ISBN 0-471-05944-7 )- Denne manual sigter mod at være "en tilgængelig manual i et rimeligt tempo, der beskæftiger sig med de grundlæggende begreber og teknikker til reel analyse". Dens udvikling i realerne er baseret på aksiomet for den øvre grænse (s. Vii-viii).

(en) Elwyn R. Berlekamp , JH Conway og RK Guy , vindende måder til dine matematiske skuespil , Academic Press,1982( ISBN 0-12-091101-9 )
(en) Martin Berz, "Automatisk differentiering som nonarkimedeanalyse" , i L. Atanassova og J. Herzberger, Computer Arithmetic and Enclosure Methods , Elsevier ,1992( læs online ) , s. 439-450
(en) Bryan H. Bunch , Matematiske fejl og paradokser , Van Nostrand Reinhold,1982, 216 s. ( ISBN 0-442-24905-5 )- Denne bog præsenterer en analyse af paradokser og falskheder som et redskab til at udforske dets centrale emne "det temmelig tunge forhold mellem matematisk virkelighed og fysisk virkelighed". Han antager, at algebraen til den anden er kendt; yderligere matematik leveres af bogen, inklusive den geometriske serie i kapitel 2. Selvom $0,999 ...$ ikke er et af de paradokser, der er fuldt dækket, nævnes det kort under en udvikling af Cantors metode (s. ix-xi, 119).

(en) Brian Burrell , Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference , Merriam-Webster,1998, 373 s. ( ISBN 0-87779-621-1 , læs online )
(da) William Byers , Hvordan matematikere tænker: Brug tvetydighed, modsigelse og paradoks til at skabe matematik , Princeton University Press ,2007, 415 s. ( ISBN 978-0-691-12738-5 og 0-691-12738-7 , læs online )
(en) John B. Conway (en) , Funktioner af en kompleks variabel I , Springer , koll. " GTM " ( n o 11)1978, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1973), 317 s. ( ISBN 978-0-387-90328-6 , læs online )- Denne tekst antager "en solid kursus i analytisk beregning" som en forudsætning; dets overordnede mål er at præsentere kompleks analyse som "en introduktion til matematik" og at forklare dens emner med klarhed og præcision (s. vii).

(en) Frank C. DeSua , “ Et system er isomorft til virkeligheden ” , American Mathematical Monthly , bind. 67, nr . 9,1960, s. 900-903 ( DOI 10.2307 / 2309468 )
(en) Barbara Edwards og Michael Ward , " Overraskelser fra matematikundervisning: Studenter (mis) brug af matematiske definitioner " , American Mathematical Monthly , bind. 111, nr . 5,2004, s. 411-425 ( læs online )
(en) Robert Ely , " Ikke-standardiserede elevopfattelser om uendelige dyr " , Journal for Research in Mathematics Education , vol. 41, nr . 22010, s. 117-146- Denne artikel er en feltundersøgelse, der vedrører en studerende, der har udviklet en teori om uendelig store a la Leibniz , for at hjælpe hende med at forstå den differentielle beregning og især redegøre for det faktum, at $0,999 ...$ adskiller sig fra $1$ med en uendelig værdi $0,000 ... 1$ .

(en) George B. Thomas, Ross Finney, Maurice D. Weir og Frank R. Giordano, Thomas 'Calculus: Early Transcendentals , New York, Addison-Wesley,2001, 10 th ed.
(en) Paul Fjelstad , “ The repeating integer paradox ” , The College Mathematics Journal , bind. 26, nr . 1,1995, s. 11-15 ( DOI 10.2307 / 2687285 )
(en) Anthony Gardiner , Understanding Infinity: The Mathematics of Infinite Processes , Dover,2003( 1 st ed. 1982), 308 s. ( ISBN 0-486-42538-X , læs online )
(da) Timothy Gowers , Matematik: En meget kort introduktion , Oxford, Oxford University Press ,2002, 143 s. ( ISBN 0-19-285361-9 , læs online )
(en) Ivor Grattan-Guinness , Udviklingen af grundlaget for matematisk analyse fra Euler til Riemann , MIT Press ,1970( ISBN 0-262-07034-0 )
(en) HB Griffiths og PJ Hilton , A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation , London, Van Nostrand Reinhold,1970, 640 s. ( ISBN 978-0-387-90342-2 , læs online )- Denne bog er kulminationen på et kursus for gymnasielærere i Birmingham . Kurset havde til formål at give et akademisk perspektiv på matematikundervisning i skolen, og bogen henvender sig til studerende "der omtrent er på det krævede niveau efter et års specialisering i matematik på universitetet." Reelle tal er konstrueret i kapitel 24, "måske det sværeste kapitel i hele bogen", selv om forfatterne tilskriver meget af vanskelighederne deres brug af idealteorien , som ikke gengives her. (S. Vii, xiv) . Denne bog er specielt skrevet for at give et andet kig på kendte begreber med et nutidigt perspektiv (s. Viii).

(da) K. Katz og M. Katz , “ Hvornår er .999… mindre end 1? ” , The Montana Mathematics Enthusiast , vol. 7, n o 1,2010, s. 3-30 ( læs online )
(en) Karin Usadi Katz og Mikhail G. Katz, “ Zooming in on infinitesimal 1 - .9 .. in a post-triumvirate era ” , Uddannelsesstudier i matematik , bind. 74, nr . 3,2010, s. 259-273 ( DOI 10.1007 / s10649-010-9239-4 , arXiv 1003.1501 )
(en) Vilmos Komornik og Paola Loreti , " Unikke udviklinger i ikke-heltal baser " , American Mathematical Monthly , bind. 105, nr . 7,1998, s. 636-639 ( DOI 10.2307 / 2589246 )
(en) AH Lightstone , " Infinitesimals " , American Mathematical Monthly , bind. 79, nr . 3,1972, s. 242-251 ( DOI 10.2307 / 2316619 )
(en) Eli Maor , To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite , Birkhäuser,1987, 275 s. ( ISBN 3-7643-3325-1 , læs online )- Gennemgang af det uendelige efter temaer snarere end kronologisk, denne bog er "beregnet til den almindelige læser", men "fortalt fra en matematikers synspunkt". Med hensyn til dilemmaet mellem strenghed og læsbarhed håber forfatteren "at have løst dette problem på passende måde" (s. X-xiii).

(en) Joseph Mazur , Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truths in Logic and Math , Pearson: Pi Press ,2005, 334 s. ( ISBN 0-13-147994-6 )
(en) James Munkres , Topologi , Prentice Hall ,2000, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1975), 537 s. ( ISBN 978-0-13-181629-9 , læs online )- Udtænkt som en introduktion til topologi, "på niveau med 2. cyklusuniversitet " uden forudgående viden: "Jeg antager ikke engang, at læseren ved meget om sætteori" ( s. Xi ). Munkres 'behandling af realer er aksiomatisk; han hævder at bygge i hånden: ”Denne måde at nærme sig emnet på kræver meget tid og kræfter, og det har en mere logisk end matematisk værdi. ” ( S. 30 ).

(en) Rafael Núñez , ”Do Rigtige tal virkelig flytte? Sprog, tanke og gestus: matematikkens legemliggjorte kognitive fundamenter ” i Reuben Hersh, 18 ukonventionelle essays om matematikens natur , Springer,2006( ISBN 978-0-387-25717-4 , læs online ) , s. 160-181
(en) George Pedrick , et første kursus i analyse , Springer,1994, 279 s. ( ISBN 0-387-94108-8 , læs online )
( fr ) Anthony Peressini og Dominic Peressini , ”Filosofi om matematik og matematikuddannelse” , i Bart van Kerkhove og Jean Paul van Bendegem, Perspectives on Mathematical Practices , Springer, coll. "Logik, epistemologi og videnskabens enhed" ( nr . 5),2007( ISBN 978-1-4020-5033-6 , læs online ) , s. 175-189
(en) Marko Petkovšek , “ Tvetydige tal er tætte ” , American Mathematical Monthly , bind. 97, nr . 5,1990, s. 408-411 ( DOI 10.2307 / 2324393 )
(en) Márcia Pinto og David Tall , efter studerendes udvikling i et traditionelt universitetsanalysekursus , PME25 ,2001( læs online ) , v4: 57-64
(en) MH Protter og Charles B. Morrey , et første kursus i reel analyse , Springer,1991, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1977), 536 s. ( ISBN 978-0-387-97437-8 , læs online )- Denne bog sigter mod at "præsentere et teoretisk fundament for analyse, der passer til studerende, der har gennemført et standardkursus i analytisk beregning" (s. Vii). I slutningen af kapitel 2 antager forfatterne som et aksiom for realerne, at de afgrænsede stigende sekvenser konvergerer og senere beviser de indlejrede segmenters sætning og den øvre afgrænsede egenskab (s. De decimale udvidelser vises i appendiks 3, "udvidelser af realer i enhver base" (s. 503-507).

(en) Charles Chapman Pugh , Real Mathematical Analysis , Springer,2002, 440 s. ( ISBN 978-0-387-95297-0 , læs online )- Under forudsætning af, at læseren er fortrolig med rationelle, introducerer Pugh Dedekinds nedskæringer så hurtigt som muligt og siger om den aksiomatiske behandling: “Dette er lidt af et trick, da al analyse er baseret på systemet med realer. ”(S. 10). Efter at have demonstreret egenskaberne ved den øvre grænse og nogle relaterede fakta, bruges pauserne ikke længere i resten af bogen.

(en) Paul Renteln og Alan Dundes , “ Foolproof: a sampling of mathematical folk humor ” , Notices of the AMS , vol. 52, n o 1,2005, s. 24-34 ( læs online )
( fr ) Fred Richman , “ Er 0,999… = 1? ” , Mathematics Magazine , bind. 72, nr . 5,1999, s. 396-400 ( læs online )
(en) Abraham Robinson , ikke-standard analyse , Princeton, NJ, Princeton University Press,1996, 293 s. ( ISBN 0-691-04490-2 , læs online )
(en) Maxwell Rosenlicht , Introduktion til analyse , Dover,1985, 254 s. ( ISBN 0-486-65038-3 , læs online )- Denne bog giver en "omhyggelig og streng" introduktion til reel analyse. Han giver realernes aksiomer og konstruerer dem derefter (s. 27-31) som uendelige decimaludvidelser med $0,999\dots = 1$ som en del af definitionen.

(en) Walter Rudin , principper for matematisk analyse , New York / St. Louis / San Francisco osv., McGraw-Hill ,1976, 3 e ed. ( 1 st ed. 1953), 342 s. ( ISBN 0-07-054235-X , læs online )- Lærebog til et avanceret universitetskursus på anden cyklus. ”Erfaringen har overbevist mig om, at det er pædagogisk dårligt anbefalet (selvom det er logisk korrekt) at starte opførelsen af realer ud fra rationaler. I starten ser de fleste studerende bare ikke hvorfor de skal gøre det. Så vi introducerer systemet med reelle tal som et ordnet felt, der opfylder egenskaberne for den øvre grænse, og vi viser hurtigt nogle egenskaber. Opførelsen af Dedekind er dog ikke udeladt. Det er vedføjet kapitel 1, hvor det kan studeres og nydes, når tiden er inde. »(P. Ix).

(da) Charles Smith og Charles Harrington , Arithmetic for Schools , Macmillan,1895( online præsentation )
(da) Houshang Sohrab , Basic Real Analysis , Birkhäuser,2003, 559 s. ( ISBN 0-8176-4211-0 , læs online )
(en) Ian Stewart og David Tall, The Foundations of Mathematics , Oxford University Press,1977( ISBN 0-19-853165-6 , læs online )
(en) Ian Stewart , professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures , profilbøger,2009( ISBN 978-1-84668-292-6 )
(en) Ian Stewart, Calculus: Early Transcendentals , Cengage Learning ,2011, 1344 s. ( ISBN 978-0-538-49790-9 , læs online )- Denne bog sigter mod at "hjælpe eleverne med at opdage analyse" og "fokusere på forståelse af begreber" (s. V). Det udelader demonstrationerne af analysegrundlaget.

(en) DO Tall og RLE Schwarzenberger , " Konflikter i læring af reelle tal og grænser " , Matematikundervisning , bind. 82,1978, s. 44-49 ( læs online )
(en) David Tall , " Konflikter og katastrofer i læring af matematik " , Matematisk uddannelse til undervisning , bind. 2, nr . 4,1976( læs online )
(en) David Tall , " Kognitiv udvikling inden for avanceret matematik ved hjælp af teknologi " , Mathematics Education Research Journal , bind. 12, n o 3,2000, s. 210-230 ( læs online )
(de) Hans von Mangoldt , Einführung in die höhere Mathematik , Leipzig, Verlag von S. Hirzel,1911, 1 st ed. , “Kap. : Reihenzahlen "
(en) Hans de Vreught, “ Ofte stillede spørgsmål om sci.math: Hvorfor er 0,9999… = 1? "
(en) AN Walker, "Hackenstrings and the 0.999…? = 1 FAQ" (version af 20. januar 2007 på internetarkivet )
(en) David Foster Wallace , Everything and More: A Compact History of Infinity , New York, Norton,2003, 319 s. ( ISBN 0-393-00338-8 )

Se også

eksterne links

(da) “ Jeg vil gerne vide, hvorfor .9999 ... = 1? » , På mathcentral.uregina.ca
(da) “ Gentagelse af ni ” , på descmath.com
(en) " Punkt ni tilbagevendende er lig med et " , på qntm.org
( fr ) Timothy Gowers , “ Hvad er der galt med at tænke på reelle tal som uendelige decimaler? " ,2004

Yderligere læsning

(en) Bob Burn , " 81.15 Et tilfælde af konflikt " , The Mathematical Gazette , bind. 81, nr . 490,1997, s. 109-112 ( JSTOR 3618786 )
(da) JB Calvert, ER Tuttle, Michael S. Martin og Peter Warren, " Newtons alder: et intensivt tværfagligt kursus " , The History Teacher , bind. 14, nr . 2nitten og firs, s. 167-190 ( JSTOR 493261 )
(en) Younggi Choi og Jonghoon Do, ” Ligestilling involveret i 0.999… og (-8) $1 / 3$ ” , For Learning of Mathematics , bind. 25, n o 3,2005, s. 13-15, 36 ( JSTOR 40248503 )
(en) Tony Gardiner, ” Uendelige processer i elementær matematik: hvor meget skal vi fortælle børnene? ” , The Mathematical Gazette , bind. 69, nr . 448,1985, s. 77-87 ( JSTOR 3616921 )
(en) Richard Mankiewicz , The Story of Mathematics , London, Cassell ,2000, 192 s. ( ISBN 0-304-35473-2 ) - Mankiewicz søger at præsentere "matematikens historie på en tilgængelig måde" ved at kombinere de visuelle og kvalitative aspekter af matematik, matematikernes skrifter og historiske skitser (s. 8).

(en) John Monaghan, " Ægte matematik: et aspekt af fremtiden for A-niveau " , The Mathematical Gazette , bind. 72, nr . 462,1988, s. 276-281 ( JSTOR 3619940 )
(en) Malgorzata Przenioslo, " Billeder af funktionsgrænsen dannet i løbet af matematiske studier ved universitetet " , Uddannelsesstudier i matematik , bind. 55, nr . 1,2004, s. 103-132 ( DOI 10.1023 / B: EDUC.0000017667.70982.05 )
(da) James T. Sandefur, " Brug af selvlignelighed til at finde længde, areal og dimension " , American Mathematical Monthly , bind. 103, nr . 21996, s. 107-120 ( JSTOR 2975103 )
(en) Anna Sierpińska, " Humanistiske studerende og epistemologiske forhindringer relateret til grænser " , Uddannelsesstudier i matematik , bind. 18, nr . 4,1987, s. 371-396 ( DOI 10.1007 / BF00240986 , JSTOR 3482354 )
(en) Jennifer Earles Szydlik, " Matematisk overbevisning og begrebsmæssig forståelse af grænsen for en funktion " , Journal for Research in Mathematics Education , vol. 31, nr . 3,2000, s. 258-276 ( JSTOR 749807 )
(en) David O. Tall, " Dynamisk matematik og blanding af videnstrukturer i beregningen " , ZDM Mathematics Education , vol. 41, nr . 4,2009, s. 481-492 ( DOI 10.1007 / s11858-009-0192-6 )
(en) David O. Tall, " Intuitions of infinity " , Matematik i skolen ,nitten og firs, s. 30-33