En geometrisk symmetri er en involutiv geometrisk transformation, der bevarer parallelitet. Almindelige symmetrier inkluderer refleksion og central symmetri .
Geometrisk symmetri er et specielt tilfælde af symmetri . Der er flere slags symmetrier i flyet eller i rummet.
Bemærk : Udtrykket symmetri har også en anden betydning i matematik. I udtrykket symmetrigruppe , en symmetri betegner enhver isometri . Dette udtryk betegner enten en oversættelse eller en ortogonal automorfisme eller kombinationen af begge.
Den symmetri centrum O er transformationen som på noget punkt M, associerer punktet M 'således at O er midtpunktet af [MM'].
Konstruktion: Tegn linjen (d), der passerer gennem A og O. Stræk den ud over O. Med et kompas peget på O og en afstand svarende til OA, skær (d) ved A '.
Det eneste uforanderlige punkt i denne symmetri er punktet O.
En symmetri med centrum O er også en rotation med en flad vinkel og en homotety med centrum O og forholdet -1
Center for symmetriEn figur har et centrum for symmetri C, hvis det er uforanderligt af centrum C's symmetri.
Eksempler på symmetri center:
Forbindelsen af to symmetrier med centre O og O 's O' OS O er en vektor oversættelse
Denne egenskab gør det muligt at definere en første gruppe af transformationer af planet: den for de centrale symmetri-oversættelser. Ved at komponere to centrale symmetrier eller oversættelser opnår man faktisk en central symmetri eller en oversættelse. Og for at opnå det samme kort er det tilstrækkeligt at komponere en oversættelse af vektor u ved oversættelse af vektor - u eller at komponere en central symmetri i sig selv.
Den centrale symmetri bevarer afstandene og de orienterede vinkler. Det er derfor en positiv isometri eller forskydning . Den tidligere definerede gruppe er derfor en undergruppe af fortrængningsgruppen.
Disse kaldes også ( d ) akse refleksioner . Den refleksion af aksen ( d ) er omdannelsen af det plan, der efterlader alle punkter ( d ) invariant, og som, på ethvert punkt M ikke placeret på ( d ), forbinder punktet M 'således at ( d ) er den vinkelrette bisector af [MM ']. Da der er to ækvivalente definitioner af den vinkelrette bisector, kender vi således to ækvivalente konstruktioner af punktet M '.
KonstruktionData: symmetriaksen ( d ), det punkt A .
Formål: at konstruere A 'symmetrisk af A ved den ortogonale symmetri af akse ( d ).
En figur har en symmetriakse ( d ) hvis og kun hvis den er uforanderlig ved refleksionen af aksen ( d )
Eksempler på almindelige figurer:
En figur med to vinkelrette symmetriakser har for symmetriens skæringspunkt mellem de to linjer. For eksempel har bogstaverne H, I, O, X i enkle skrifttyper (ikke-kursiv og ikke-kursiv) ofte to vinkelrette symmetriakser, så også et symmetricenter, ligeledes rektanglet, romben og firkanten.
Refleksion og gruppe af isometrierRefleksion bevarer afstande og vinkler. Det er derfor en isometri . Men det holder ikke orienteringen (se chiralitet ). Det siges at være anti-fortrængning.
Forbindelsen med to refleksioner af parallelle akser er en oversættelse med en afstand lig med det dobbelte af afstanden mellem disse akser. På billedet modsat tillader medievektoregenskaberne os at sige det |
|
Sammensætningen af to refleksioner af sekantakser er en rotation med en vinkel lig med det dobbelte af den vinkel, der dannes mellem de to akser. På det modsatte billede tillader egenskaberne på halveringerne os at sige det |
Vi bemærker derefter, at refleksionssættet genererer hele isometrisk sæt.
Symmetrien i forhold til en linje ( d ) efter en retning (d ') (ikke parallel med ( d )) er den transformation, der efterlader alle punkterne i ( d ) uændrede, og som på ethvert tidspunkt M ikke er placeret på ( d ) ) knytte punktet M ' således, at linjen (MM') er parallel med (d ') og midtpunktet for [MM'] er på ( d )
Denne symmetri er involutive: symmetrisk af M ' er M . Det giver mindre interesse end sine fætre, fordi det ikke holder afstand: det fordrejer tal. Det bevarer dog barycentre og er derfor en del af de affine transformationer.
Vi finder den samme definition og de samme egenskaber som for den centrale symmetri i planet, bortset fra at en central symmetri ikke bevarer orienteringen i rummet.
Manden løfter sin højre hånd, og hans billede løfter sin venstre hånd.
Vi finder den samme definition som i planen. En ortogonal symmetri i forhold til en linje er også en rotation af akse ( d ) og af flad vinkel.
I modsætning til hvad der sker i flyet, opretholder en sådan symmetri i rummet orientering.
Manden løfter sin højre hånd og hans billede løfter sin højre hånd.
Den ortogonale symmetri i forhold til planet ( P ) er den transformation, der efterlader alle punkterne i ( P ) invariante, og som på ethvert tidspunkt M ikke er placeret på ( P ), forbinder punktet M ' således, at ( P ) er flyformidler af [MM ']
En sådan symmetri bevarer afstande og vinkler, men bevarer ikke orientering.
For eksempel når du løfter din højre hånd foran spejlet, hæver dit billede sin venstre hånd.
Vi beviser, at sæt af symmetrier med hensyn til planer genererer ved sammensætning hele rummets isometrier.
Man kan lige så godt definere symmetrier af akse ( d ) i henhold til retningen ( P ) eller symmetrier i forhold til ( P ) i henhold til retningen ( d ), forudsat at ethvert underrum, der er lig med eller parallelt med ( P ), ikke helt indeholder ( d ) heller ikke er helt indeholdt i ( d ), og deres kryds reduceres til et enkelt punkt (ellers er disse transformationer ikke symmetrier, men fremskrivninger ).
Men disse transformationer er ikke isometrier, hvis ( d ) og ( P ) ikke er ortogonale. Disse transformationer (såvel som fremskrivningerne) holder imidlertid barycentre og er særlige tilfælde af affine transformationer af rummet.