En tapetgruppe (eller todimensional rumgruppe eller flykrystallografisk gruppe ) er en matematisk gruppe, der består af sæt symmetrier af et periodisk todimensionelt mønster. Sådanne mønstre, genereret ved den uendelige gentagelse ( oversættelse ) af en form i to retninger af planet, bruges ofte i arkitektur og i den dekorative kunst . Der er 17 typer tapetgrupper, der tillader matematisk klassificering af alle periodiske todimensionale mønstre.
Med hensyn til kompleksitet falder tapetgrupper mellem frisegrupper , enkle og tredimensionelle rumgrupper .
Baggrundsgrupper klassificerer mønstre efter deres symmetri. Subtile forskelle kan placere lignende former i mønstre fra forskellige grupper, og meget forskellige former kan inkluderes i mønstre fra samme gruppe.
Overvej følgende eksempel:
Mønstre A og B har samme tapetgruppe, kaldet p 4 m i International Union of Crystallography notation og * 442 i orbifold notation . Mønster C har en anden tapetgruppe, p 4 g eller 4 * 2. Det faktum, at A og B har den samme tapetgruppe, betyder at de har de samme symmetrier på trods af forskelle i form, mens C har en anden tapetgruppe på trods af overfladiske ligheder.
I bred forstand er symmetrien af et mønster det sæt symmetrioperationer, der omdanner mønsteret, og hvis resultat er identisk med det oprindelige mønster. F.eks. Er translationel symmetri til stede i et mønster, når den kan flyttes en bestemt endelig afstand og vises uændret. Dette er tilfældet, når man flytter et regelmæssigt sæt lodrette stænger i vandret retning med en afstand svarende til afstanden mellem stængerne. Mønsteret (søjlesættet) vises uændret. I virkeligheden eksisterer en sådan symmetri kun i et mønster, der gentager sig nøjagtigt uendeligt. Et sæt lodrette søjler, der kun indeholder fem søjler, har ikke translationel symmetri: når sættet flyttes et mellemrum mellem to søjler, "forsvinder" bjælken på den ene side og en anden bjælke "vises" derfra. 'Anden side. I praksis anvendes klassificeringen i tapetgrupper på færdige mønstre, og små ufuldkommenheder kan ignoreres.
Kun isometrier på det euklidiske plan kan være en del af en tapetgruppe. For eksempel :
Beviset for, at der kun er 17 tapetgrupper, blev først leveret af Evgraf Fedorov i 1891 og derefter uafhængigt demonstreret af George Pólya i 1924.
Givet en flise P af det euklidiske plan , dvs. en kompakt og forbundet del , siges en gruppe G af isometrier at være tapet til denne flise, hvis
hvor cirklen betegner det topologiske indre . Det første punkt udtrykker, at hele planet er dækket af fliser, det andet, at fliserne ikke overlapper hinanden (de mødes på kanten). Det vises blandt andet, at en sådan gruppe har en diskret topologi og indeholder to lineært uafhængige oversættelser .
To sådanne grupper af isometrier (in) er af samme type (af den samme tapetgruppe), hvis de er de samme, bortset fra en affin applikation af planet. For eksempel ændrer en oversættelse af hele planet (og derfor en oversættelse af rotationscentre og refleksionsakser) ikke tapetgruppen. Det er det samme for en ændring af vinklen mellem oversættelsesvektorerne, så længe denne ændring ikke tilføjer eller fjerner symmetri (dette er kun tilfældet i fravær af refleksionsakser eller glidereflektion , og hvis rækkefølgen af rotationer er ikke større end 2). I modsætning til det tredimensionelle tilfælde er det muligt at begrænse disse affine transformationer til dem, der bevarer orienteringen . Ifølge Bieberbachs sætning er alle tapetgrupper således forskellige abstrakte grupper (i modsætning til frisegrupper , hvoraf to er isomorfe ).
To-dimensionelle mønstre med dobbelt translationel symmetri kan kategoriseres efter deres symmetri gruppetype .
De isometrier af den euklidiske plan (i) er opdelt i fire kategorier:
Det faktum, at en tapetgruppe skal indeholde to oversættelser af lineært uafhængige vektorer, betyder, at der er to vektorer v og w af lineært uafhængige, således at gruppen indeholder T v og T w .
Formålet med denne betingelse er at differentiere tapetgrupper fra frisegrupper , der har en oversættelse, men ikke to lineært uafhængige vektorer, og også at differentiere dem fra todimensionale diskrete punktgrupper af symmetri , som slet ikke har oversættelse. Med andre ord klassificerer tapetgrupper mønstre, der gentages i to forskellige retninger, i modsætning til frisegrupper, som kun gælder for mønstre, der kun gentages i en retning.
Betingelsen for diskret karakter betyder, at der eksisterer et positivt reelt tal ε, således at for hver translation T v for gruppen har vektoren v i længden mindst ε (undtagen i det tilfælde hvor v er en nul-vektor ).
Målet med denne tilstand er at sikre, at gruppen har en kompakt fundamental domæne, det vil sige det kun gælder for ikke-nul mesh mønstre (af finite område), som er gentaget i planen.
En vigtig og ikke-triviel konsekvens af den diskrete karaktertilstand kombineret med betingelsen for oversættelser af lineært uafhængige vektorer er, at en tapetgruppe kun kan indeholde rotationsoperationer i rækkefølge 1, 2, 3, 4 og 6: hver rotation i gruppen skal have en vinkel på 360 °, 180 °, 120 °, 90 ° eller 60 °. Dette er den krystallografiske restriktionssætning , som kan generaliseres til andre dimensioner.
Da symmetrioperationer af tapetgrupper også er til stede i rumgrupper , er det muligt at bruge en notation svarende til Hermann-Mauguin-notationen for rumgrupper, udviklet af Carl Hermann og Charles Victor Mauguin . Dette er den vurdering, der anbefales af International Union of Crystallography . Et eksempel på en tapetgruppe i denne notation er p 31 m med fire symboler (bogstaver eller tal); klassificeringen af en tapetgruppe kan dog indeholde færre symboler, såsom cmm eller pg .
For tapetgrupper begynder notationen med et bogstav, der angiver netværkstilstanden : p for et primitivt netværk og c for et centreret netværk. Dette første symbol efterfølges normalt af et tal, n , der angiver den højeste rækkefølge for rotation: 1 ( identitet ), 2, 3, 4 eller 6. De næste to symboler angiver symmetrier med hensyn til en af retningerne for oversættelse af mønster , kaldet "hovedretning"; hvis der er et spejl vinkelret på en oversættelsesretning, er det denne retning, der vælges som hovedretningen (hvis der er flere ækvivalente retninger ved symmetri, vælges en af disse retninger). De mulige symboler er m (refleksionsakse), g (glidende refleksionsakse) eller 1 (identitet, ingen højere symmetri). Refleksionsaksen eller den glidede refleksion er vinkelret på symmetriens hovedretning for det tredje symbol og enten parallel eller skrå i en vinkel på 180 ° / n (hvis n > 2) for det sidste symbol. Flere grupper har yderligere symmetrioperationer end dem, der er til stede i deres symboler, hvilket skyldes kombinationen af alle symmetrioperationer. Af denne grund er det almindeligt at bruge et genvejssymbol til at betegne bestemte tapetgrupper. Forkortelsesnotationen kan udelade det første symbol på rotation eller refleksionsoperationer, så længe der ikke er nogen mulig forveksling med en anden gruppe.
Et primitivt maske er det mindste konvekse område af planet, der tillader, at hele planet brolades uden overlapning eller ugyldighed ved hjælp af gitteroversættelser. Næsten alle undtagen to af tapetgrupperne er beskrevet i forhold til et primitivt net ved hjælp af et koordinatsystem ved hjælp af de mindste lineært uafhængige oversættelsesvektorer i gitteret. I de to ikke-primitive tilfælde foretages beskrivelsen af symmetrien med hensyn til et centreret maske, dobbelt så stort som det primitive maske, og som derfor har interne oversættelser; retningen af siderne af masken er forskellig fra retningen for oversættelsesvektorerne, der definerer det primitive maske. Hermann-Mauguin-notationen for rumgrupper bruger yderligere netværkstilstande.
Eksempler:
Følgende tabel viser tapetgrupperne, hvis forkortede notation adskiller sig fra den fulde notation:
Forkortet notation | s 2 | om eftermiddagen | s | cm | pmm | pmg | pgg | cmm | p 4 m | p 4 g | s 6 m |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Komplet vurdering | s 211 | p 1 m 1 | p 1 g 1 | c 1 m 1 | p 2 mm | p 2 mg | p 2 gg | c 2 mm | p 4 mm | p 4 g | p 6 mm |
De andre grupper er p 1, p 3, p 3 m 1, p 31 m , p 4 og p 6.
Orbifold-notationen for tapetgrupper blev introduceret af John Horton Conway . Det er ikke baseret på krystallografi , men på topologi .
Hver gruppe i dette afsnit har to mesh-strukturdiagrammer, som fortolkes som følger:
et rotationscenter af orden 2 (180 °) | |
et rotationscenter af orden 3 (120 °) | |
et rotationscenter af orden 4 (90 °) | |
et rotationscenter af orden 6 (60 °) | |
en refleksionsakse | |
en glidende refleksionsakse |
I diagrammerne til venstre repræsenterer det gule område det grundlæggende domæne , også kaldet asymmetrisk enhed , dvs. den mindste del af mønsteret, der kan bruges til at rekonstruere hele mønsteret fra alle gruppens symmetrioperationer. Diagrammerne til højre viser det primitive netværk i netværket svarende til de mindste oversættelser; masken i diagrammerne til venstre har undertiden et areal dobbelt så stort.
I den monokliniske krystalfamilie er retikulært system også monoklinisk. De to oversættelsesvektorer, der definerer enhedscellen, kan have forskellige længder, og vinklen mellem de to vektorer er vilkårlig.
Gruppe s 1I den orthorhombiske krystalfamilie er retikulært system også orthorhombisk. De to oversættelsesvektorer, der definerer den elementære celle, kan have forskellige længder; de danner en vinkel på 90 ° mellem dem.
gruppe pmMønstrene i de to første eksempler nedenfor har en lodret symmetriakse; de to sidstnævnte har hver deres forskellige diagonale symmetriakse. I det sidste eksempel er mønstergruppen strengt taget p 1: segmentet, der forbinder to ovaler af samme linje, bryder spejlsymmetrien.
Eksempler på pm- gruppenUden strukturelle detaljer er tæppegruppen nedenfor pmg ; med de strukturelle detaljer, men ignorerer farverne, er gruppen pgg . I eksemplet med den blødgjorte firkantede fliser er de trukkede refleksionsakser diagonale fra øverst til venstre til nederst til højre. Ignorerer farverne, symmetrien er ikke længere pg, men p 4 g .
Eksempler på pg- gruppenDenne gruppe beskriver symmetrien af forskudte linjer for identiske objekter, der har en symmetriakse vinkelret på linjerne (hver linje forskydes i forhold til dens naboer i retningen af længden af en halv oversættelse af den af objekterne, der sammensætter linjen) .
Eksempler på cm- gruppenI det tredje eksempel nedenfor, hvis vi ikke betragter farverne, er tapetgruppen af typen p 4 m .
Eksempler på pmm- gruppenDenne gruppe findes ofte i hverdagen, da den svarer til arrangementet af mursten, der oftest bruges i byggeri (se det andet eksempel nedenfor).
Eksempler på cmm- gruppenI det første eksempel er tapetgruppen kun cmm, hvis farven ignoreres; ellers er det gruppen s . I det tredje eksempel, når vi ignorerer farven, får vi gruppen p 4 g .
Andre eksempler: kompakte stakke af cirkler i forskellige størrelserI den kvadratiske krystalfamilie er retikulært system også kvadratisk. De to oversættelsesvektorer, der definerer enhedscellen, har samme længde og danner en vinkel på 90 ° mellem dem.
Gruppe s 4En nøje gennemgang af det første eksempel nedenfor viser, at på trods af udseendet indeholder mønsteret ikke en refleksionsakse.
Eksempler på gruppe p 4Overvej en tessellation af flyet ved ligesidede trekanter , hvis sider svarer til de mindste oversættelser af mønsteret. Halvdelen af trekanterne har en vis orientering, mens den anden halvdel vender den anden vej. Baggrundsgruppen p 3 svarer til det tilfælde, hvor alle trekanterne med den samme orientering er identiske, men forskellige fra trekanterne, der har den anden retning; skønt de alle har rotationssymmetri af rækkefølge 3, er de to typer trekanter ikke ækvivalente ved refleksion, og selve trekanterne er ikke symmetriske. For et givet mønster af gruppe p 3 er tre fliser mulige, der hver har netværksnoder på forskellige rotationscentre. Med andre ord, for hver flisebelægning er der tre alternative originale valg. I diagrammet til p 3 ovenfor til højre kan netværksknudepunkterne vælges på de røde, blå eller grønne trekanter. Hvis alle trekanterne i mønsteret er ens, er den resulterende gruppe p 6, hvis trekanterne er ækvivalente ved refleksion, er gruppen p 31 m , og hvis trekanterne selv har en refleksionsakse, er gruppen p 3 m 1; hvis mindst to af de foregående betingelser er opfyldt, følger den tredje, og gruppen er derefter p 6 m .
Det er også muligt at overveje en tessellation af flyet med regelmæssige sekskanter , hvis sider svarer til længden af den mindste oversættelse af mønsteret divideret med √3. Gruppen p 3 svarer derefter til det tilfælde, hvor alle sekskanterne er identiske, med samme retning og har en rotationssymmetri af rækkefølge 3 uden refleksionssymmetri. For et sådant mønster er der tre alternative fliser, hvert valg af netværksnode svarende til en tredjedel af hexagonernes centre. Hvis sekskanterne har rotationssymmetri af rækkefølge 6, er den opnåede gruppe p 6, hvis de er symmetriske ved refleksion i forhold til deres hoveddiagonaler, er gruppen p 31 m , hvis de er symmetriske med hensyn til linjer vinkelret på deres sider, gruppen er p 3 m 1; hvis mindst to af de foregående betingelser er opfyldt, følger den tredje, og gruppen er derefter p 6 m .
Eksempler på gruppe p 3I det første eksempel ignoreres farver, tapetgruppen er p 6. I det sidste eksempel er tapetgruppen kun p 3 ved at ignorere farver.
Gruppe p 3 m 1Hvad angår gruppen p 3, lad os overveje en tessellation af flyet ved ligesidede trekanter af samme størrelse, og hvis sider svarer til de mindste oversættelser. Derefter har halvdelen af trekanterne en retning modsat den anden halvdel af trekanterne. Denne tapetgruppe svarer til det tilfælde, hvor alle trekanter med samme retning er ens. To trekanter med forskellig orientering har begge 3 m punktsymmetri , men de er hverken ens eller billedet af hinanden ved refleksion. For en given p 3 m 1 symmetri flisebelægning er tre valg af maske mulige afhængigt af det rotationscenter, der er valgt som oprindelsen. I maskestrukturen til venstre kan oprindelsen vælges enten på et blåt center, på et rødt center eller på et grønt center.
Eksempler på gruppe p 3 m 1I de to første eksempler er baggrundsgruppen p 3 m 1 , idet man ignorerer farverne .
Gruppe s 31 mHvad angår grupperne p 3 og p 3 m 1, lad os overveje en tessellation af flyet ved ligesidede trekanter af samme størrelse, og hvis sider svarer til de mindste oversættelser. Derefter har halvdelen af trekanterne en retning modsat den anden halvdel af trekanterne. Denne gruppe tapet svarer til det tilfælde, hvor alle trekanter med den samme retning er de samme. To trekanter med forskellig retning er begge af punktsymmetri 3 og er billedet af hinanden ved refleksion. Til en sådan fliselægning er der kun et muligt valg for maskenes oprindelse: centrum for rotation af rækkefølge 3 placeret ved skæringspunktet mellem refleksionsakserne (i rødt i maskestrukturen vist til venstre).
Eksempler på gruppe p 31 m Gruppe s 6Denne gruppe svarer til en tessellation af planet med identiske ligesidede trekanter af punktsymmetri 3 eller til en tessellering af planet med sekskanter af punktsymmetri 6 (kanterne af sekskanterne er ikke nødvendigvis en del af mønsteret).
Eksempler på gruppe s 6Denne gruppe svarer til en tessellation af planet med identiske ligesidede trekanter på 3 m punktsymmetri eller til en tessellering af planet med sekskanter på 6 m punktsymmetri (kanterne på sekskanterne er ikke nødvendigvis en del af mønsteret).
Eksempler på gruppe p 6 mFor at bestemme tapetgruppen for et mønster kan du bruge følgende tabel:
Mindste rotationsvinkel |
Indeholder en refleksion? | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
Ja | Ingen | |||||
360 ° / 6 = 60 ° | p 6 m (* 632) | s 6 (632) | ||||
360 ° / 4 = 90 ° | Indeholder et 45 ° spejl? | s 4 (442) | ||||
Ja: p 4 m (* 442) | Nej: p 4 g (4 * 2) | |||||
360 ° / 3 = 120 ° | Indeholder et rotationscenter uden for spejle? |
s 3 (333) | ||||
Ja: s 31 m (3 * 3) | Nej: p 3 m 1 (* 333) | |||||
360 ° / 2 = 180 ° | Indeholder vinkelrette refleksioner? | Indeholder en trukket refleksion? | ||||
Ja | Ingen | |||||
Indeholder et rotationscenter uden for spejle? |
pmg (22 *) | Ja: pgg (22X) | Nej: p 2 (2222) | |||
Ja: cmm (2 * 22) | Nej: pmm (* 2222) | |||||
ingen = 360 ° | Indeholder en refleksionsakse, der glider ud af spejle? |
Indeholder en trukket refleksion? | ||||
Ja: cm (* X) | Nej: pm (**) | Ja: s. (XX) | Nej: p 1 (O) |
Der er 5 typer to-dimensionelt Bravais-gitter . De er betegnet med to små kursive bogstaver. Den første betegner den krystallinske familie: m , o , t og h . Den anden betegner netværkstilstand: p for primitiv og c for centreret. Baggrundsgruppen for et Bravais-gitter uden et mønster repræsenterer den maksimale symmetri, der findes i et mønster af denne type gitter.
Baggrundsgruppen for et mønster er uforanderlig under handlingen af ensartede isometrier og udvidelser ( ligheder ).
Enhver bijektiv affinekortlægning bevarer den translationelle symmetri af et mønster. Det er det samme for rotation af rækkefølge 2; selv orden rotationer (4 og 6) holdes ikke nødvendigvis, men transformeres i det mindste til anden ordens rotation.
Refleksioner og refleksioner trukket omkring en akse bevares, når de trækker sig sammen eller udvider sig langs eller vinkelret på denne akse.
Blandt de to-dimensionelle periodiske mønstre i det gamle Egypten er brugen af tolv af de sytten grupper af tapet blevet demonstreret; den mangler de fem sekskantede grupper, der indeholder rotationssymmetrier i rækkefølge 3 og 6.
De arabesker af Alhambra eksemplificere brugen af todimensionale periodiske mønstre i kunsten i islam . Det er endnu ikke klart, om alle de sytten tapetgrupper er til stede i Alhambra: Edith Müller og Branko Grünbaum synes ikke, i modsætning til José María Montesinos og Marcus du Sautoy .
Med undtagelse af grupperne pm , pg og p 3 er alle tapetgrupperne blevet brugt i kinesisk kunst .