I matematik er et Eilenberg-MacLane- rum et topologisk rum med en enkelt ikke-triviel homotopigruppe . Denne type rum spiller en rolle som elementær komponent i homotopiteorien , da den nyder en form for unikhed og griber ind i genopbygningsprocesser af mere komplekse rum (det er således Postnikov-tårnene. ).
Rumene Eilenberg-MacLane er vigtige i mange sammenhænge inden for algebraisk topologi , hvilket giver dig mulighed for at beregne homotopigrupper af sfærer og definere kohomologiske operationer (in) . De er opkaldt efter Samuel Eilenberg og Saunders Mac Lane , der introducerede dem i slutningen af 1940'erne.
Lad G være en gruppe og n et strengt positivt heltal . En tilsluttet space X kaldes en Eilenberg-MacLane rum af typen K ( G , n ), hvis dens n th homotopi gruppe π n ( X ) er isomorf til G , og hvis alle dets øvrige homotopigrupper er triviel . Hvis n > 1, skal G være abelsk . Som et resultat er der altid et CW-kompleks af typen K ( G , n ). Det er unikt op til en svag homotopi af ækvivalens , hvorfor ethvert rum af denne type simpelthen er betegnet med K ( G , n ).
Andre eksempler kan udledes heraf ved hjælp af den elementære egenskab: K ( G , n ) × K ( H , n ) = K ( G × H , n ).
Vi kan bygge et K ( G , n ) et trin efter det andet, som en kompleks CW, ved at starte med en flok n- kugler , en for hver generator i gruppen G , og derefter lime cellerne sammen trin for trin i hver dimension , for at dræbe overskydende homotopi.
Kohomologigrupperne i en K ( G , 1) falder sammen med G- gruppens .
For Abelian gruppe G , den K ( G , n ) er mellemrum (en) repræsentation for cohomology ental koefficienter i G . Faktisk via
elementet u ∈ H n ( K ( G , n ), G ) svarende til identiteten af G giver ved functoriality for nogen CW-kompleks X , en naturlig bijection f ↦ f * u , af sættet [ X , K ( G , n )] konstant anvendelse Homotopiteori klasse X i K ( G , n ) i n th gruppe ental cohomologi H n ( X ; G ) af X .
En anden version af dette resultat etablerer en bijection med n th cohomology gruppe af Čech for X paracompact og G tællelig eller til X paracompact og kompakt genereret og G vilkårlig. Et yderligere resultat etablerer en bijection med n th " numerable " cohomology gruppe af Čech for vilkårlig X og G (abelsk).
Hvert CW-kompleks har et Postnikov-tårn , dvs. det svarer svagt homotopisk til den projicerende grænse for en række fibrationer, hvis fibre er Eilenberg-MacLane-rum.
En metode på grund af Jean-Pierre Serre tillader i teorien at beregne homotopigrupperne i ethvert rum ved hjælp af en spektral sekvens til sådanne fibrationer.
Kohomologigrupperne i Eilenberg-MacLane-rum kan bruges til at klassificere alle kohomologiske operationer.
Moore mellemrum (in) , analog med Eilenberg-MacLane rum i homologi
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">