Geometri

Den geometri forårsager branche matematik studerer tallene i plan og rum ( euklidiske geometri ). Siden slutningen af XVIII th århundrede, geometri også undersøgelser tallene tilhører andre typer af mellemrum ( projektiv geometri , ikke-euklidisk geometri , for eksempel).

Siden begyndelsen af det XX th århundrede blev nogle tal i undersøgelsesmetoder disse rum omdannet til selvstændige grene af matematik: topologi , Differentialgeometri og algebraisk geometri , f.eks. Hvis vi vil omfatte alle disse betydninger, er det vanskeligt at definere, hvad geometri er i dag. Dette skyldes, at enheden mellem de forskellige grene af "moderne geometri" ligger mere i historisk oprindelse end i et samfund af metoder eller objekter.

Etymologi

Udtrykket geometri stammer fra græsk af γεωμέτρης ( geômetrês ), som betyder "geometer, landmåler " og kommer fra γῆ ( GE ) "earth" og μέτρον ( metron ) "foranstaltning". Det ville derfor være ”videnskaben om at måle terrænet”.

Større opdelinger af geometri

Klassisk geometri

Uden nogen særlig kvalifikator og uden henvisning til en bestemt kontekst (i modsætning til differentiel geometri eller algebraisk geometri ) omfatter geometri eller endda klassisk geometri hovedsagelig:

Den euklidiske geometri , som er studiet af det almindelige rum med begreberne afstand og vinkel;
Den affine geometri , som er studiet af punkter og linjer, men uden begreberne afstand og vinkel;
Den projicerende geometri , som tilføjer pladserne til affin geometri af punkterne ved uendelig;
Den ikke-euklidiske geometri , som er en variant af den euklidiske geometri, og adskiller sig kun ved ændringen af udsagnet om Euclids femte postulat. Denne geometri er i modstrid med den sædvanlige intuition. Den omfatter den hyperbolske geometri , den elliptiske geometri og sfæriske geometri .

Ovenstående geometrier kan generaliseres ved at variere dimensionen af mellemrumene, ved at ændre skalarens felt (brug linjer, der er forskellige fra den reelle linje) eller ved at give en krumning til rummet. Disse geometrier siges stadig at være klassiske.

Desuden kan klassisk geometri aksiomatiseres eller studeres på forskellige måder.

Incidensgeometri og syntetisk geometri (eller ren geometri), der bruger en aksiomatisk tilgang, der generelt har som rådata punkter , linjer , planer samt de forhold, der styrer dem og de størrelser, der er knyttet til dem.
Den analytiske geometri , som bruger adressen, og som associeres med hvert punkt af tripletter (eller en sekvens med en given længde) af elementerne i en krop .
Den lineære algebra , der generaliserer analytisk geometri ved at erstatte brugen af koordinaterne med den for vektorrum abstrakt.
Gruppernes geometri , der studerer gruppeaktioner og deres invarianter. Dette er Erlangen-programmet fra Felix Klein . Vi er især interesserede i klassiske (abstrakte, algebraiske eller Lie ) grupper, dvs. grupper knyttet til lineære , ortogonale , enheds- eller symplektiske grupper og deres klassiske homogene rum ( for eksempel symmetriske rum , varianter af flag ). Den teori invariants er tæt forbundet med dette aspekt af geometri: den gør det muligt at associere med konfigurationer mængder ( cross-forhold , afstande , vinkler , etc.), der gør det muligt at klassificere de baner. Vi kan også udvide denne tilgang til geometrien i ekstraordinære grupper (algebraisk eller løgn).
Teorien af bryster bygninger , som er knyttet til geometrien af klassiske og exceptionelle grupper (algebraiske eller ikke), og hvilke undersøgelser kombinatoriske strukturer knyttet til Coxeter diagrammer . For eksempel er sættet med alle kæder af vektorunderrum i et endeligt dimensionelt vektorrum på en krop en bygning, og sættet af alle kæder af projicerende underrum i et projektivt rum P med endelig dimension på kommutativt felt, som er inkluderet i det samme projektiv kvadratisk af P er en bygning.

Det er bemærkelsesværdigt, at lineær algebra (vektorrum, kvadratiske former, alternerende bilineære former, hermitiske og antihermitiske former osv.) Gør det muligt at bygge eksplicitte modeller af de fleste af de strukturer, der opstår i disse geometrier. Dette giver klassisk geometri derfor en vis enhed.

Andre typer geometrier

Der er grene af matematik, der er opstået ved studiet af figurerne i euklidiske rum, men som er dannet til autonome grene af matematik, og hvilke studierum, der ikke nødvendigvis er nedsænket i euklidiske rum:

den topologi ;
den differentielle geometri , der bruger analysen , topologien og den lineære algebra , og studerer rum, der lokalt er euklidiske rum, og som kan være af differenceregningen og integralregningen . Differentialgeometri omfatter Riemannian geometri og symplektisk geometri ;
den algebraiske geometri , der bruger algebraabstrakt og topologi og studerer rum, der lokalt er sæt af punkter defineret af algebraiske ligninger , såsom affine underrum, det koniske og kvadriske ;
den ikke-kommutative geometri .

De forskellige rum i klassisk geometri kan studeres ved topologi, differentiel geometri og algebraisk geometri.

Geometri design

Geometri indrømmer mange betydninger ifølge forfatterne. I streng forstand er geometri ”studiet af figurers figurer og størrelser”. Denne definition er i overensstemmelse med fremkomsten af geometri som en videnskab under den græske civilisation i den klassiske periode . Ifølge en rapport af Jean-Pierre Kahane falder denne definition sammen med den idé, folk har om geometri som et emne, der læres: det er "det sted, hvor vi lærer at forstå rummet ".

I 1739 studerede Leonhard Euler problemet med de syv broer i Königsberg ; hans arbejde betragtes som et af de første resultater af geometri, der ikke afhænger af nogen måling, resultater, der vil blive kvalificeret som topologiske. De stillede spørgsmål i løbet af XIX th århundrede førte til at genoverveje begreberne form, og rum , kassere stivhed euklidiske afstande. Muligheden for kontinuerligt at deformere en overflade uden at bevare den inducerede metrik er blevet overvejet, for eksempel for at deformere en kugle til en ellipsoid. At studere disse deformationer førte til fremkomsten af topologi : dets studiemål er sæt , de topologiske rum, hvor forestillingen om nærhed og kontinuitet er defineret sammen af begrebet nabolag . Ifølge nogle matematikere er topologi en integreret del af geometri, endda en grundlæggende gren af den. Denne klassificering kan sættes spørgsmålstegn ved af andre.

Ifølge Felix Klein's synspunkt ( 1849 - 1925 ) syntetiserede analytisk geometri faktisk to efterfølgende dissocierede egenskaber: dens grundlæggende metriske karakter og homogenitet. Det første tegn findes i metrisk geometri , som studerer afstandens geometriske egenskaber. Det andet er grundlaget for Erlangens program , der definerer geometri som studiet af gruppeshandlingsinvariere.

Nuværende arbejde inden for forskningsområder kendt som geometri har tendens til at sætte spørgsmålstegn ved den første definition, der er givet. Ifølge Jean-Jacques Szczeciniarcz er geometri ikke bygget på "den enkle henvisning til rummet, ikke engang [på] figuration eller [på] visualisering", men forstås gennem dens udvikling: "geometri er absorberet, men synes samtidig for os at tilskrive begreberne en mening, samtidig med at man får indtryk af at vende tilbage til den oprindelige betydning ”. Jean-Jacques Sczeciniarcz bemærker to bevægelser i matematisk forskning, som har ført til en ekspansion eller en fragmentering af geometri:

idealiseringsproceduren bestående i at vise vigtigheden af en struktur ved at føje den til de allerede studerede matematiske objekter;
tværtimod, tematiseringsproceduren bestående i at frembringe en ny struktur, der ligger til grund for allerede studerede geometriske objekter.

Som en udvidelse kan geometri ikke længere tilgås som en samlet disciplin, men som en vision om matematik eller en tilgang til objekter. Ifølge Gerhard Heinzmann er geometri karakteriseret ved "brug af geometriske udtryk og indhold, såsom" punkter "," afstand "eller" dimension "som en sprogramme inden for de mest forskellige felter", ledsaget af en balance mellem en empirisk tilgang og en teoretisk tilgang.

Historie

Opfindelsen af geometri går tilbage til det gamle Egypten .

Klassisk geometri

For Henri Poincaré har geometrisk rum følgende egenskaber:

Det er kontinuerligt;
Han er uendelig;
Det har tre dimensioner;
Det er homogent, det vil sige, at alle dets punkter er identiske med hinanden;
Det er isotropisk, det vil sige, at alle linjer, der passerer gennem det samme punkt, er identiske med hinanden.

Euklidiske og ikke-euklidiske geometrier svarer til denne strenge sensu-definition af rum. At konstruere en sådan geometri består i at angive reglerne for arrangement af de fire grundlæggende objekter: punktet , linjen , planet og rummet . Dette arbejde er fortsat privilegiet for ren geometri, som er den eneste, der arbejder ex nihilo .

Plangeometri

Plangeometri hviler først og fremmest på en aksiomatik, der definerer plads; derefter om metoder til skæringspunkter, transformationer og konstruktioner af figurer ( trekant , parallelogram , cirkel , sfære osv.).

Projektiv geometri er den mest minimalistiske, hvilket gør det til en fælles kerne for andre geometrier. Det er baseret på aksiomer:

af forekomst (eller tilhørsforhold), hvor den mest bemærkelsesværdige (og mest entydige) karakteristik er: ”To forskellige coplanar linjer har et enkelt punkt til fælles. ";
Rækkefølge: gør det især muligt at bestille punkter på en linje. Set fra dette synspunkt ligner en projektiv linje en cirkel, fordi to punkter definerer to segmenter;
kontinuitet: således kan man i ethvert geometrisk rum forbinde et punkt til et andet ved en kontinuerlig progression. I euklidisk geometri er dette aksiom Archimedes ' aksiom .

Parallelisme

At skelne i den projektive geometri af de ukorrekte elementer karakteriserer den argumenterende geometri . Derefter fødes affin geometri fra eliminering af disse uegnede elementer. Denne sletning af punkter skaber forestillingen om parallelisme, idet visse par af coplanar linjer fremover ophører med at krydse hinanden. Det ukorrekte fjernede punkt kan sammenlignes med retningen af disse lige linjer. Desuden definerer to punkter kun et segment (det ene af de to, der ikke indeholder det forkerte punkt) og gør begrebet betydning eller orientering bekendt (det vil sige det gør det muligt at skelne fra ). $\ scriptstyle {\ overline {AB}}$ $\ scriptstyle {\ overline {BA}}$

overensstemmelsen Euklidiske og ikke-euklidiske geometrier

Det femte aksiom eller " postulat af paralleller " af den euklidiske geometri er grundlaget for den euklidiske geometri :

Gennem et punkt uden for en linje passerer det altid en parallel til denne linje og kun en.

Se Hilberts aksiomatik eller euklidiske elementer for mere komplette udsagn om euklidisk geometri.

Afvisning af dette postulat førte til udviklingen af to ikke-euklidiske geometrier : hyperbolsk geometri af Gauss , Lobachevsky , Bolyai og elliptisk geometri af Riemann .

Erlangen-programmet

I opfattelsen af Felix Klein (forfatter af Erlangen-programmet ) er geometri studiet af punktrum, hvor grupper af transformationer (også kaldet symmetrier) fungerer, og af størrelser og egenskaber, der er uforanderlige for disse grupper. Planet og sfæren er for eksempel begge to-dimensionelle rum, homogene (intet privilegeret punkt) og isotrop (ingen privilegeret retning), men de adskiller sig i deres symmetri-grupper ( gruppen euklidisk for en, gruppen af rotationer for Andet).

Blandt de mest berømte transformationer finder vi isometrier , ligheder , drejninger , refleksioner , oversættelser og homotety .

Det er derfor ikke en disciplin, men et vigtigt synteseværk, der tillod en klar vision af de enkelte geometriers særegenheder. Dette program karakteriserer derfor geometri mere, end det begrunder det. Han havde en formidlende rolle i debatten om arten af ikke-euklidiske geometrier og kontroversen mellem analytiske og syntetiske geometrier .

Geometri af klassiske grupper

Der i differentiel geometri og algebraisk geometri af Lie-grupper og algebraiske grupper , som selv har homogene rum , og klassisk geometri reduceres ofte til studiet af disse homogene rum. Affine og projektive geometrier er relateret til lineære grupper, og euklidiske, sfæriske, elliptiske og hyperbolske geometrier er relateret til ortogonale grupper.

Når der er eksplicitte klassifikationer af løgn eller algebraiske grupper eller deres homogene rum, der tilfredsstiller visse hypoteser (for eksempel løgnegrupper eller enkle algebraiske, symmetriske rum, generaliserede flagvarianter, rum med konstant krumning), kommer de vigtigste elementer i disse klassifikationer undertiden fra klassisk geometri og de grupper, som disse klassiske geometrier er forbundet med, er knyttet til de såkaldte klassiske grupper (f.eks. lineære, ortogonale, symplektiske grupper).

De fleste klassiske geometrier er relateret til løgengrupper eller simpel algebraisk, kaldet klassisk (de er afledt af lineær algebra). Der er andre løgnegrupper eller enkle algebraer, og de siges at være "usædvanlige", og de giver anledning til den ekstraordinære geometri med visse analogier til klassisk geometri. Denne skelnen skyldes, at enkle grupper (under visse antagelser) klassificeres i flere uendelige serier (ofte fire) og et endeligt antal andre grupper (ofte fem), og det er disse sidstnævnte grupper, der er usædvanlige, og det gør de ikke kommer under lineær algebra (i det mindste ikke på samme måde): de er ofte knyttet til ikke - associerende algebraiske strukturer ( octionalgebraer , ekstraordinære Jordanalgebraer, for eksempel).

At lyve grupper eller simpel algebraisk er tilknyttet Dynkin-diagrammer (slags grafer), og visse egenskaber ved disse geometrier kan læses i disse diagrammer.

Områder med geometrisk forskning

Riemannian geometri

Den Riemanniske geometri kan ses som en udvidelse af den euklidiske geometri. Hans undersøgelse fokuserer på de geometriske egenskaber af rum ( sorter ), der præsenterer en forestilling om tangentvektorer og udstyret med en metrisk ( Riemannian metrisk ), der gør det muligt at måle disse vektorer. De første eksempler, der er stødt på, er overfladerne i det 3-dimensionelle euklidiske rum , hvis metriske egenskaber blev undersøgt af Gauss i 1820'erne. Det euklidiske produkt inducerer en metrik på overfladen undersøgt ved begrænsning til de forskellige tangentplaner. Den iboende definition af metrisk blev formaliseret i højere dimension af Riemann. Begrebet parallel transport tillader sammenligning af tangentrum på to forskellige punkter i manifolden: Det sigter mod at kohærent transportere en vektor langs en kurve trukket på Riemannian-manifolden. Krumningen af en Riemannian manifold måler pr. Definition den mulige afhængighed af parallel transport fra et punkt til et andet af kurven, der forbinder dem.

Metrikken giver anledning til definitionen af kurvens længde, hvorfra definitionen af den Riemanniske afstand stammer. Men de metriske egenskaber for trekanter kan afvige fra den euklidiske trigonometri. Denne forskel undersøges delvist gennem Toponogovs sætning , hvilket gør det muligt at sammenligne i det mindste lokalt den Riemanniske manifold, der er undersøgt med modelrum, i henhold til angiveligt kendte uligheder på tværsnitets krumning. Blandt modelrummene:

det euklidiske rum er en Riemannisk manifold med nul krumning;
den sfære med dimension n er et Riemannske manifold med konstant positiv krumning 1;
det hyperbolske rumhyperbolsk rum i dimension n er en Riemannian manifold med negativ krumning -1.

Kompleks geometri

Den komplekse geometri vedrører feltets egenskaber, der lokalt kan identificeres med . Disse objekter ( kompleks manifold ) præsenterer en vis stivhed, der skyldes det unikke ved en analytisk udvidelse af en funktion med flere variabler. ${\ mathbb C} ^ {n}$

Symplektiske og kontakt geometrier

Den symplektiske geometri er en gren af den differentielle geometri og kan introduceres som en generalisering til højere dimensioner af begrebet arealorienteret stødt på i dimension 2. Det er relateret til alternerende bilineære former. Objekterne med denne geometri er de symplektiske manifolder, som er differentiale manifolds forsynet med et felt med skiftende bilineære former. For eksempel er et affinrum, der er knyttet til et vektorrum udstyret med en alternerende ikke-degenereret bilinær form, en symplektisk manifold.

Den kontaktgeometri er en gren af differentialgeometri studere sorter af kontakt, som er differentieret manifolder forsynet med et felt af hyperplaner tangentrum verificerer visse egenskaber. For eksempel udleder det projicerende rum et vektorrum, der er forsynet med en alternerende ikke-degenereret bilinær form, er en kontaktmanifold.

Diskrete og konvekse geometrier

Algebraiske og aritmetiske geometrier

Ikke-kommutativ geometri

Geometri applikationer

I lang tid har geometri og astronomi været forbundet. På et elementært niveau bruger beregningen af månens, solens og deres respektive afstande fra Jorden størrelsen på Thales . I de første modeller af solsystemet var hver planet forbundet med et platonisk fast stof . Fra Keplers astronomiske observationer , bekræftet af Newtons arbejde , er det bevist, at planeterne følger en elliptisk bane, hvor solen er et af fokuspunkterne. Sådanne overvejelser af geometrisk karakter kan ofte gribe ind i klassisk mekanik for kvalitativt at beskrive banerne .

I denne forstand griber geometri ind i teknik i studiet af stabiliteten i et mekanisk system. Men det griber endnu mere naturligt ind i industrielt design . Den industrielle tegning viser snit eller fremspring på et tredimensionelt objekt og er kommenteret med længder og vinkler. Dette er det første skridt i at oprette et industrielt designprojekt . For nylig har ægteskabet mellem geometri og datalogi muliggjort fremkomsten af computerstøttet design (CAD), endelige elementberegninger og computergrafik .

Euklidisk trigonometri anvendes i optik til behandling af for eksempel diffraktion af lys. Det er også begyndelsen på udviklingen af navigation : maritim navigation med stjerner (med sekstanter ), kartografi, luftfart (pilotering med instrumenter ved hjælp af signaler fra fyrtårne).

Nye fremskridt inden for geometri på XIX th århundrede fundet ekkoer i fysik. Det siges ofte, at Riemannian-geometri oprindeligt var motiveret af Gauss spørgsmål om kortlægningen af Jorden. Det tager især højde for geometri af overflader i rummet. En af dens udvidelser, Lorentzian geometri , tilvejebragte den ideelle formalisme til at formulere lovene om generel relativitet . Den differentielle geometri fandt nye anvendelser i den post-newtonske fysik med teorien om strenge eller membraner .

Den ikke-kommutative geometri , opfundet af Alain Connes , vinder ved at præsentere gode matematiske strukturer, som de kan arbejde med at udvikle nye fysiske teorier med.

Geometriuddannelse

Geometri indtager en privilegeret plads i undervisningen i matematik . Talrige uddannelsesstudier beviser sin interesse : det giver eleverne mulighed for at udvikle en refleksion over problemer, at visualisere figurer af planet og af rummet, til at skrive demonstrationer , til at udlede resultaterne af de anførte hypoteser. Men endnu mere, "den geometriske ræsonnement er meget rigere end det enkle formelle fradrag", fordi det er baseret på den intuition, der er født af "observation af figurerne".

I 1960'erne insisterede matematikundervisning i Frankrig på at omsætte geometri-problemer i hverdagen. Især blev Pythagoras sætning illustreret med reglen i 3, 4, 5 og dens anvendelse i tømrerarbejde. Involveringer, harmoniske opdelinger og tværforhold var en del af gymnasiets læseplan. Men reformen af moderne matematik , født i USA og tilpasset i Europa, førte til en betydelig reduktion i den viden, der undervises i geometri om at indføre lineær algebra i anden grad. I mange lande blev denne reform stærkt kritiseret og udpeget som ansvarlig for skolefejl . En rapport af Jean-Pierre Kahane fordømmer manglen på "en reel foreløbig didaktisk refleksion" om geometriens bidrag: Især forbereder en "praksis med vektorgeometri" eleven til en bedre assimilering af de formelle forestillinger om vektorrum, bilinær ...

Brug af figurer i undervisningen i andre fag giver de studerende bedre forståelse af de fremlagte argumenter. NB I matematikdidaktik gør vi normalt forskellen mellem begreberne "tegning" (udført med instrumenter som linealer, kompasser ...), "diagram" (udført frihånd og tjener som en konkret understøttelse af abstrakt begrundelse for udføre) og "figur" (abstrakt geometrisk objekt, som ræsonnementet i sidste ende vedrører, og som hver har sin egen mentale repræsentation: for eksempel kan vi have en anden mental repræsentation, bortset fra en lighed, af den ligesidige trekant "figur") . Med disse forskelle ville det, der er gengivet grafisk, derfor fremkalde en "figur", men ikke være en. .

Noter og referencer

Fritz Reinhardt og Heinrich Soeder, Atlas of Mathematics , Pocket Book, s. 13 .
Jean-Pierre Kahane (red.), Undervisning i matematiske videnskaber: Kommission til refleksion over undervisningen i matematik [ detaljer i udgaverne ], kap. 3, “Geometri”.
Alain Michel, “Geometrization of physical theory: on the genesis of a problem”, i Kouneiher & al.
Jean-Jacques Szczeciniarz, ”Filosofi og geometri: fremkomsten af geometri, dens filosofiske effekter”, i Kouneiher & al.
Gerhard Heinzmann, ”Geometri og egnethedsprincippet: en genlæsning af Ferdinand Gonseth”, i Kouneiher & al.
Mueller-Jourdan 2007 , s. 73
Henri Poincaré , videnskab og hypotese , Champs Flammarion,1902.
op til en vis grænse, fordi nogle geometrier ikke passer ind i denne ramme.
Dette hjælper i nogen grad og groft med at skelne fra ; indersiden af ydersiden. $\ scriptstyle {\ widehat {AOB}}$ $\ scriptstyle {\ widehat {BOA}}$
Jean-Pierre Provost og Gérard Vallée, Maths in Physics: Physics through the Filter of Mathematics , Paris, Éditions Dunod , coll. "Sup Sciences",Marts 2004, 1 st ed. , 331 s. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , s. 51.
Denis Rolland, landdistrikterne arkitektur i Picardie: Den Soissonnais , Creer, 1998 ( ISBN 978-2-909797-25-0 ) , s. 49 .

Se også

Bibliografi

Charles Mugler, " Om historien om nogle definitioner af græsk geometri og forholdet mellem geometri og optik (første del) ", Klassisk antik , vol. 26, nr . 21957, s. 331-345 ( læs online , hørt den 28. januar 2020 ).
Charles Mugler, " Om historien om nogle definitioner af græsk geometri og forholdet mellem geometri og optik (fortsat) ", Klassisk antikitet , bind. 27, nr . 1,1958, s. 76-91 ( læs online , hørt den 28. januar 2020 )
Pascal Mueller-Jourdan , en indvielse i filosofien for sen antikken: lektioner fra Pseudo-Elias , Fribourg / Paris, Éditions du Cerf ,2007, 143 s. ( ISBN 978-2-204-08571-7 ).
Nikolai I. Lobachevsky, Pangeometry, oversættelse og redigering: A. Papadopoulos, Heritage of European Mathematics Series , Vol. 4, European Mathematical Society, 2010.
Jean-Paul Collette, Matematikhistorie , bind. 2, Vuibert,1979( ISBN 2-7613-0118-8 ) , kapitel 10: Fornyelsen af geometrien XIX th århundrede .
A. Dahan-Dalmedico og J. Peiffer , A History of Mathematics: Roads and Mazes ,1986[ detaljer om udgaver ]
Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand og Jean-Jacques Szczeciniarz ( red. ), Geometri det XX th århundredes historie og baggrunde [[[Reference: Geometri i XX th århundredes historie og baggrund (Joseph Kouneiher Dominique Flament Philippe Nabonnand, Jean-Jacques Szczeciniarz , dir.) | Detalje af udgaver]]]

eksterne links

Myndighedsregistreringer :
Billedkunstressource :
- Panorama over kunst
Meddelelser i generelle ordbøger eller leksikon :