I matematik , en handling af en gruppe på et sæt er en ekstern sammensætning lov den gruppe på sættet, der opfylder yderligere betingelser. Mere præcist er det givet for hvert element i gruppen en permutation af sættet på en sådan måde, at alle disse sammenhænge er sammensat på en måde, der er forenelig med gruppens lov .
Givet et sæt E og en gruppe G , hvis lov er betegnet ved multiplikation, og hvis neutrale element er betegnet , er en handling (eller operation ) af G på E en applikation: kontrol af følgende egenskaber: ; .
Det siges også, at G opererer (eller er) på hele E . Det er vigtigt at kontrollere, at den indstillede E er stabil under påvirkning af gruppen G .
En tilsvarende synspunkt består i at sige, at gruppen G opererer på sættet E , hvis vi har en morphism af grupper , siges at være forbundet med den handling ,, fra gruppen G i symmetriske gruppe S E af hele E . Sådan morphism kaldes en repræsentation af gruppen G .
Denne morfisme er knyttet til handlingen for alt .
I det tilfælde, hvor sættet E er forsynet med en ekstra struktur (algebraisk, topologisk, geometrisk), betragter man kun morfismerne som bevarer denne struktur for alle . For eksempel, hvis E er et vektorrum, kræver vi, at det værdiansættes i GL ( E ).
Alle eksemplerne i det foregående afsnit er handlinger til venstre. Men det er nyttigt også at overveje handlingerne til højre. Vi vil have en handling til højre, hvis . En gruppe G opererer således på sig selv til højre ved oversættelser til højre. Det er selvfølgelig naturligt og praktisk at bemærke
en handling til højre.
Den modsatte gruppe af den symmetriske gruppe SE er sæt af permutationer af E forsynet med kompositionsloven . Ved en korrekt handling fra en gruppe G på et sæt E , er der en homomorfisme fra G i modsat SE . Denne homomorfi gælder et element g af G på permutationen x ↦ x⋅g af E .
Kommentar. Den funktionelle rating, der anvendes i dag, fører naturligvis til at favorisere venstreorienterede aktier. Eksponentiel notation (brugt for eksempel af Emil Artin i sin bog om geometriske algebraer ), hvor det, vi bemærker, er skrevet , ville føre til privilegerende handlinger til højre.
Vi definerer kredsløbet for et element x af E ved . Kredsløb om x er mængden af elementer E forbundet med x under virkningen af G . Forholdet " y er i kredsløb af x " er en ækvivalensrelation på E ; ækvivalensklasser er banerne.
Især banerne danner en skillevæg af E .
Den stabilisator (eller isotropi undergruppe ) af et element x af E under påvirkning af G er mængden elementer, der efterlader x uændrede under deres handling. Dette er en undergruppe af G . Stabilisatorerne af to elementer af samme bane er konjugeret via formlen: . I særdeleshed :
Desuden ansøgningen er en sammenkædning af on , så indekset for stabilisatoren for et hvilket som helst punkt i en bane er lig med kardinalen i denne bane (denne egenskab vil blive husket nedenfor under navnet " formel af klasser ".)
Vi kan på samme måde definere sættet Fix g af de punkter, der er fikseret af et element g i gruppen G som sættet med elementer af E invariant under handlingen af g : .
Sættet af g af G således, at g⋅A = A kaldes stabilisator af A under G og bemærkes stak ( A ); er stabilisatoren af elementet A af den andel ( G ) på naturligt associeret med den for E .
Eksempel:En metode til at få Rubiks terning til en succes ( Fridrich-metoden ) består i at fremstille de to første kroner, derefter orientere terningerne i den sidste krone for at have den øverste overflade og til sidst at tillade terningerne (Permute Last Layer). Vi kan således notere P1 stabilisatoren for de første to kroner og det sidste ansigt. En gruppes natur vises naturligt: hvis vi f.eks. Komponerer to algoritmer P1, opnår vi en anden.
Således gør Rubiks terning det muligt at illustrere begrebet gruppehandling på et sæt.
En handling siges at være midlertidig, hvis den har en og kun en bane. En handling fra en gruppe G på et sæt E er derfor transitiv, hvis og kun hvis E ikke er tom, og at et hvilket som helst to element af E kan sendes til hinanden ved hjælp af et element i gruppen:
.Mere generelt siges en handling på et sæt E (af mindst n elementer) at være n-transitiv, hvis den tilsvarende handling på sættet af n- templer med forskellige elementer er transitiv, dvs. hvis for n forskellige punkter x 1 , ... , x n og n forskellige punkter y 1 ,…, y n , vilkårlig i E , der findes altid mindst et element g i gruppen, således at vi begge har g · x 1 = y 1 ,…, g · x n = y n .
Handlingen siges at være strengt n-transitiv, hvis en sådan g desuden altid er unik, med andre ord hvis handlingen på n -uplerne af forskellige elementer simpelthen er transitiv .
En gruppe af permutationer siges at være transitiv (resp. N -transitiv, resp. Strengt n -transitiv), hvis dens naturlige drift er transitiv (resp. N -transitiv, resp. Strengt n- transitiv).
Det følger af klassificeringen af endelige simple grupper, at de eneste grupper med 4-transitive permutationer er de symmetriske og alternerende grupper (henholdsvis grad ≥ 4 og ≥ 6) og Mathieu-grupperne M 24 , M 23 , M 12 og M 11 : desuden er M 24 og M 12 5-transitive.
Jordan havde bevist i 1873, at de eneste strengt 6-transitive permutationsgrupper er de symmetriske grupper af grader 6 og 7 og den vekslende gruppe af grad 8.
Handling kaldes fri, hvis alle stabilisatorer er reduceret til neutral, med andre ord, hvis noget andet neutralt element virker uden fast punkt .
En handling siges at være trofast (vi siger undertiden også effektiv ), hvis skæringspunktet mellem alle stabilisatorer reduceres til neutral, med andre ord hvis kun det neutrale løser alle punkterne.
.Fri handling er trofast.
Tilsvarende er en handling trofast, hvis morfismen
defineret ved er injektionsvæske.
En handling siges at være simpelthen transitiv, hvis den er både transitiv og gratis. Med andre ord sendes ethvert to elementer i rummet oven på hinanden af et og kun et element i gruppen:
.For eksempel er en gruppes handling på sig selv ved oversættelser til venstre (eller til højre) simpelthen midlertidig.
En trofast og forbigående handling fra en abelsk gruppe er simpelthen forbigående. Faktisk, mere generelt, for enhver transitiv handling af en gruppe G , er kredsløbene til en normal undergruppe permeteret af G derfor alle de samme kardinaler (derfor er singletoner, hvis denne undergruppe fikser et punkt).
En transitiv handling af en endelig gruppe G på et sæt X er simpelthen transitiv, hvis og kun hvis G og X har den samme kardinalitet .
Hvis G er en topologisk gruppe, og X er et topologisk rum , siges handlingen at være kontinuerlig, hvis det tilsvarende kort G × X → X , ( g , x ) ↦ g⋅x er kontinuerligt , idet G × X er udstyret med produkttopologien . The X / G plads af baner forsynes derefter med en kvotient topologi og X → X / G kort er åbnet . Hvis X / G er kompakt , siges det at være samkompakt .
Handlingen siges at være ren, hvis kortet G × X → X × X , ( g , x ) ↦ ( g⋅x , x ) er rent . Mellemrummet på banerne adskilles derefter . En kontinuerlig handling, der er korrekt for en diskret gruppe , siges at være korrekt diskontinuerlig (en) . Når G er lokalt kompakt og X adskilt, er handlingen korrekt, hvis og kun hvis to punkter x og y af X altid har kvarterer V x og V y, således at V y kun møder gV x for et relativt kompakt sæt d elementer g af g . Når G adskilles og X er lokalt kompakt, er en kontinuerlig handling korrekt, hvis og kun hvis den kompakte K af X er lukket for elementerne g af G, som gK møder K, er kompakte. Hvis G er en kompakt gruppe , verificeres disse betingelser for (relativ) kompakthed af dele af G automatisk. Hvis G er en adskilt gruppe, svarer de til de betragtede deles finitet.
Gennem begreberne kredsløb og stabilisator er gruppeaktioner et nyttigt værktøj i kombinatorik . På den anden side kan et vist antal egenskaber vedrørende strukturen af bestemte grupper demonstreres ved at tælle argumenter.
To identiteter kommer ofte op, især når gruppe G er færdig.
Lad G en gruppe drift (til venstre) på et sæt X og et sæt Y . Vi vil sige, at disse to operationer er ækvivalente, hvis der findes en sammenhæng f fra X på Y, således at vi for ethvert element g af G og ethvert element x af X har
,hvor punkterne repræsenterer driften af G på X og på Y hhv .
Lad G en gruppe drift (til venstre) på et sæt X eller H en gruppe drift (venstre) på et sæt Y . Vi siger, at disse to handlinger er næsten ækvivalente eller endda isomorfe, hvis der findes en sammenhæng f fra X på Y og en isomorfisme af grupper σ fra G på H, således at vi for ethvert element g af G og ethvert element x af X har
,hvor punkterne repræsenterer driften af G på X og af H på Y hhv .
Dette svarer til at sige, at hvis f * betegner isomorfismen s ↦ f ∘ s ∘ f −1 af S X på S Y , hvis φ betegner homomorfismen af grupper fra G til S X svarende til handlingen af G på X , hvis ψ betegner homomorfismen af grupper fra H til S Y svarende til virkningen af H på Y , derefter
.I det særlige tilfælde, hvor G = H, og hvor σ er identiteten isomorfisme af G, finder vi ækvivalensen af to operationer i samme gruppe.
Hvis to handlinger næsten er ækvivalente, er sæt af kredsløb i den første ækvipotent til alle kredsløb i anden. Mere præcist kan vi placere kredsløbene for den første i en-til-en korrespondance med kredsløbene for den anden, så to tilsvarende kredsløb altid har den samme kardinal (til en kredsløb for den første handling, få dens billede til at svare til ved sammenhængen f overvejet ovenfor). Især to kvasiækvivalente handlinger er begge transitive eller begge ikke-transitive. Det samme gælder egenskaberne ved multipel transitivitet, troskab osv.
Lad G og H være to grupper. Antag at en handling G × H → H : ( g , h ) ↦ g ⋅ h af G på (det underliggende sæt af) H har følgende egenskab:
for ethvert element g af G , for alle elementer h , k af H , g ⋅ ( h * k ) = ( g ⋅ h ) ∗ ( g ⋅ k ),hvor stjernen repræsenterer gruppen H- loven . Det betyder, at for hvert element g af G , permutationen h ↦ g ⋅ h af H er en automorfi af gruppen H . Vi siger derefter, at handlingen af G på H er en handling af automatiseringer . I dette tilfælde er homomorfi af G i S H aktion tilknyttet med værdier i gruppen Aut ( H ) af automorphisms H . En indvirkning af G på H ved automorfismer kan derfor assimileres med en homomorfisme af G i Aut ( H ).
For eksempel er en gruppes indvirkning på sig selv ved konjugation en handling af automatiseringer ( interiør ).
Lad G være en gruppe, der opererer med automorfismer på en gruppe H , eller G 1 en gruppe, der fungerer ved automorfismer på en gruppe H 1 . Vi siger, at disse to handlinger næsten er ækvivalente som handlinger af automatiseringer (og ikke kun som handlinger af grupper på sæt), hvis der findes en isomorfisme (og ikke kun en sammenhæng) f fra H på H 1 og en isomorfisme af grupperne σ af G på g 1 , således at for ethvert element g af g og ethvert element x af X , vi har
,hvor punkterne repræsenterer henholdsvis operationen af G på H og den af G 1 på H 1 .
Handlingerne fra gruppe på gruppe efter automatiseringer gør det muligt at definere det halvdirekte (eksterne) produkt fra en gruppe af en anden.