I matematik og mere præcist i topologi er en åben applikation en applikation mellem to topologiske rum, der sender åbninger fra den ene til åbningerne fra den anden. Ligeledes sender en lukket ansøgning lukket fra det første mellemrum til lukket fra det andet.
Lad være to topologiske mellemrum X og Y ; vi siger, at et kort f fra X til Y er åben hvis der for enhver åben U af X , den billedet f ( U ) er åben i Y ; Ligeledes siges det, at f er lukket , hvis for alle lukkede U af X , billedet f ( U er) lukket i Y .
I begge tilfælde er det ikke nødvendigt, at f er kontinuerlig ; selvom definitioner kan synes ens, er åbne eller lukkede spille en langt mindre rolle i topologi, at kontinuerte applikationer, hvor det er den omvendte billede af enhver åben fra Y , som skal være en åben X .
Et kort f : X → Y siges at være relativt åbent, hvis dets korestriktion X → f ( X ) er åben.
Et kort f : X → Y er åbent, hvis og kun hvis for alle x af X og for alle kvarter U af x , f ( U ) er et kvarter af f ( x ).
For at vise et program åbnes, skal du blot tjekke det på en baggrund af den oprindelige plads X . Med andre ord er f : X → Y åben, hvis og kun hvis billedet af f af hver åbning på basis af X er åbent.
Åbne og lukkede applikationer kan også karakteriseres med hensyn til interiør og vedhæftning . Et kort f : X → Y er:
Den sammensatte af to åbne ansøgninger er åben, den sammensat af to lukkede ansøgninger er lukket.
Det produkt af to åbne kørsler er åben, men i almindelighed er produktet af to lukkede kørsler ikke lukket.
For enhver sammenhæng f : X → Y er den gensidige sammenhæng f -1 : Y → X er kontinuerlig, hvis og kun hvis f er åben (eller lukket, hvilket svarer til en sammenhæng).
Hvis f : X → Y er et kontinuerligt kort, som enten er åbent eller lukket, så:
I de to første tilfælde er det kun tilstrækkelig at være åben eller lukket; det er også en nødvendig betingelse i sidstnævnte tilfælde.
Det er ofte nyttigt at have vilkår og betingelser, der sikrer, at en applikation er åben eller lukket. Følgende resultater er blandt de mest anvendte.
Enhver kontinuerlig anvendelse fra et kompakt rum til et separat rum lukkes (rengøres derfor).
I funktionel analyse , den Banach-Schauder sætning (også kendt som den åbne kort teorem) siger, at enhver surjektiv kontinuerlig lineær operator mellem Banachrum er et åbent kort.
I kompleks analyse siger det åbne billedssætning , at enhver ikke-konstant holomorf funktion defineret på en tilsluttet åbning af det komplekse plan er et åbent kort.
I differentiel geometri siger en del af den lokale inversionssætning , at en kontinuerligt differentierbar funktion mellem euklidiske rum, hvis Jacobians matrix er inverterbar på et givet punkt, er en åben applikation i et område af dette punkt. Mere generelt, hvis et kort F : U → R m af en åben U ⊂ R n i R m er sådan, at forskellen d F ( x ) er surjektiv på ethvert punkt x ∈ U , derefter F er en åben kort.
Endelig siger domæneinvarians sætningen (på grund af Brouwer og ved hjælp af hans berømte faste punkt sætning ), at et kontinuerligt og lokalt injektivt kort mellem to topologiske manifolder med samme endelige dimension er åbent.
N. Bourbaki , Elements of mathematics, book III: General topology [ detail of editions ], kap. I, § 5