Omløbshastighed

Den orbital hastighed af et himmellegeme , oftest en planet , en naturlig satellit , en kunstig satellit eller en binær stjerne , er den hastighed, hvormed den kredser omkring barycenter af en to-organ system, som er derfor oftest omkring et mere massiv krop. Udtrykket kan bruges til at betegne kroppens gennemsnitlige orbitale hastighed langs dets bane eller den øjeblikkelige orbitale hastighed på et bestemt punkt. Det udtrykkes i princippet i m / s , men ofte i km / t .

Øjeblikkelig kredsløbshastighed

Den øjeblikkelige omløbshastighed kan bestemmes ved den anden lov af Kepler , nemlig i en fast periode, segmentet højre forbinder centroiden til legemet beskriver en overflade konstant, uanset den del af kredsløbet, at kroppen rejser i dette tidsrum. Som et resultat går kroppen hurtigere nær sin periastron end dens apoastric .

Almindelig sag

Omløbshastigheden er relateret til ligning af den levende kraft .

Omløbshastigheden opnås ved:

v_ {o} = {\ sqrt {2 \ venstre ({\ mu \ over {r}} + {\ varepsilon} \ højre)}}

eller:

$\ mu$ er standard gravitationsparameter ;
$r$ er afstanden mellem kredsløbskroppen og kredsløbets centrum;
$\ varepsilon$ er den specifikke orbitalenergi .

Tilfælde af den elliptiske bane

Når den specifikke orbitalenergi er negativ, er det sekundære legems kredsløb elliptisk, og dets orbitale hastighed opnås ved:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} - {1 \ over {a}} \ right)}}

eller:

$\ mu$ er standard gravitationsparameter ;
$r$ er afstanden mellem sekundærlegemet og hovedlegemet;
$på$ er den halv-store akse i det sekundære legems kredsløb.

Når det sekundære legeme er ved periastronen, opnås værdien af , bemærket , ved , hvor og er den semi-store akse og excentriciteten af det sekundære legems bane. Omkredshastigheden af det sekundære legeme ved periastronen, bemærket , opnås ved: $r$ $r _ {{\ mathrm {per}}}$ $r _ {{\ mathrm {per}}} = a (1-e)$ $på$ $e$ $v _ {{\ mathrm {per}}}$

v _ {{\ mathrm {per}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu (1 + e)} {a (1-e)}}}

Når det sekundære legeme er ved apoastrisk, opnås værdien af , bemærket , ved , hvor og er den semi-store akse og excentriciteten af det sekundære legems bane. Omkredshastigheden af det sekundære legeme ved apoastro, bemærket , opnås ved: $r$ $r _ {{\ mathrm {ap}}}$ $r _ {{\ mathrm {ap}}} = a (1 + e)$ $på$ $e$ $v _ {{\ mathrm {ap}}}$

v _ {{\ mathrm {ap}}} = {\ sqrt {{\ frac {\ mu (1-e)} {a (1 + e)}}}

Cirkelformet kredsløbssag

En cirkulær bane er pr. Definition en bane med nul excentricitet.

Omløbshastigheden for det sekundære legeme i cirkulær bane opnås ved:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ over {r}}}

eller:

$\ mu$ er standard gravitationsparameter;
$r$ er afstanden mellem sekundærlegemet og hovedlegemet.

Tilfælde af den parabolske bane

Når den specifikke orbitalenergi er nul, er sekundærlegemets bane parabolsk, og dens orbitale hastighed opnås ved:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} \ right)}}

eller:

$\ mu$ er standard gravitationsparameter ;
$r$ er afstanden mellem sekundærlegemet og hovedlegemet.

Tilfælde af den hyperbolske bane

Når den specifikke orbitalenergi er positiv, er sekundærlegemets bane hyperbolsk, og dens orbitale hastighed opnås ved:

v_ {o} = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} + {1 \ over {a}} \ right)}}

eller:

$\ mu$ er standard gravitationsparameter;
$r$ er afstanden mellem sekundærlegemet og hovedlegemet;
$på$ er den halv-store akse i det sekundære legems kredsløb.

Øjeblikkelig hastighedsvektor

I tilfælde af en elliptisk bane er vi interesserede i hastighedsvektoren, da den udtrykkes i den (ikke-galileiske) referenceramme fastgjort på det centrale legeme ved at vælge aksen Ox, der peger i retning af periastronen (Ox er derfor parallel med hovedaksen og rettet mod det punkt, der er tættest på kredsløbet).

Vektorpositionen og hastigheden er de indledende betingelser, der er nødvendige for integrationen af dynamikken i det grundlæggende forhold .

Ved at kende på et givet tidspunkt kroppens position i dets bane er det et spørgsmål om at bestemme den tilsvarende hastighedsvektor . ${\ displaystyle {\ vec {r}} = (r_ {x}, r_ {y})}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = (v_ {x}, v_ {y})}$

Ved periapsis eller ved apoastro er løsningen enkel, fordi hastighedsvektoren er vinkelret på placeringsvektoren på disse punkter.

Følgende forhold er mere generelle:

{\ displaystyle v_ {x} = - {\ frac {a} {r}} {\ frac {1} {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} \ r_ {y} \ {\ dot {M }}}

{\ displaystyle v_ {y} = {\ frac {a} {r}} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ (r_ {x} + a \ e) \ {\ dot {M}} }

hvor er afledningen af den gennemsnitlige anomali med hensyn til tid, det vil sige den gennemsnitlige bevægelse : $\ prik M$

{\ displaystyle {\ dot {M}} = {\ sqrt {\ frac {G (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

Bemærk :

Når orbitalmassen ikke er ubetydelig sammenlignet med den centrale masse , skal positions- og hastighedsvektorerne være repræsenteret i den inertiale referenceramme, der er fastgjort til barycenteret. De foregående forhold forbliver dog gyldige: m2{\ displaystyle m_ {2}} $m_ {2}$ m1{\ displaystyle m_ {1}} $m_1$ r→{\ displaystyle {\ vec {r}}} $\ vec r$ v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}} ${\ vec v}$
- Disse vektorer set fra barycenteret (såvel som ) er proportionale med vektorerne set fra den centrale masse med et multiplikationsforhold , og ligningerne er homogene. $på$ ${\ displaystyle m_ {1} / (m_ {1} + m_ {2})}$
- På den anden side, da den gennemsnitlige anomali ikke ændres, forbliver den intervenerende part i sin definition den semi-store akse i ellipsen, hvis fokus er det centrale organ. $M$ $på$

Bevis

I henhold til definitionen af den bemærkede sande anomali kan vi udtrykke positionsvektoren med $\nøgen$

{\ displaystyle r_ {x} = r \ cos (\ nu)}

{\ displaystyle r_ {y} = r \ sin (\ nu)}

På den anden side er den sande anomali relateret til den excentriske anomali, der er bemærket af forholdet $E$

{\ displaystyle \ cos (\ nu) = {\ frac {a} {r}} (\ cos (E) -e)}

{\ displaystyle \ sin (\ nu) = {\ frac {a} {r}} {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin (E)}

hvor og radius er relateret til $E$ $r$

{\ displaystyle r = a \ (1-e \ cos (E))}

Vi kan derefter udtrykke holdningen ved hjælp af den excentriske anomali

{\ displaystyle r_ {x} = a \ (\ cos (E) -e)}

{\ displaystyle r_ {y} = a \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ \ sin (E)}

derefter udlede disse forhold med hensyn til tid for at opnå hastigheden

{\ displaystyle v_ {x} = - a \ \ sin (E) \ {\ dot {E}}}

{\ displaystyle v_ {y} = a \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ cos (E) \ {\ dot {E}}}

Det er nu et spørgsmål om at abstrahere fra, hvem der er relateret til den bemærkede gennemsnitlige anomali , i overensstemmelse med keplers ligning : $E$ $M$

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin (E) = M}

og hvis tidsafledte er skrevet

{\ displaystyle (1-e \ cdot \ cos (E)) \ {\ dot {E}} = {\ dot {M}}}

eller

{\ displaystyle {\ dot {E}} = {\ frac {a} {r}} \ {\ dot {M}}}

Afslutningsvis er det tilstrækkeligt at erstatte og trukket henholdsvis fra relationer på og introducere dem i forholdet på og . ${\ displaystyle \ sin (E)}$ ${\ displaystyle \ cos (E)}$ ${\ displaystyle r_ {x}}$ ${\ displaystyle r_ {y}}$ $v_ {x}$ $v_ {y}$

En lille beregning gør det også muligt at finde udtrykket for modulet for hastigheden angivet ovenfor:

{\ displaystyle v_ {o} = \ | {\ vec {v}} \ | = {\ sqrt {\ mu \ left ({2 \ over {r}} - {1 \ over {a}} \ right)} }}

Gennemsnitlig orbitale hastighed

Tilfælde af en cirkulær bane

Den gennemsnitlige omløbshastighed bestemmes enten ved at kende dens omløbstid og dens halv-hovedakse eller fra masserne af de to legemer og den halv-store akse (som her er cirkelens radius):

v_ {o} = {2 \ pi a \ over T}

v_ {o} = {\ sqrt {MG \ over r}}

hvor v o er den gennemsnitlige orbitale hastighed, a er længden af den semi-store akse, r er radius for kredsløbets kredsløb (= a ), T er kredsløbets periode, M er massen af kroppen omkring hvilken den ene kredser, hvis hastighed vi vil beregne og G er tyngdekonstanten . I det andet forhold genkender vi forholdet mellem omkredsen af kredsløbets cirkel og rejsetiden. Dette er kun en tilnærmelse, der bekræftes, når massen af det kredsende legeme er betydeligt mindre end det centrale legems masse.

Når massen af det kredsende legeme ikke er ubetydelig sammenlignet med det andet legems, er det et spørgsmål om at tage højde for det faktum, at de to kroppe bevæger sig den ene og den anden i deres respektive cirkulære baner. I dette tilfælde er den ønskede gennemsnitshastighed den, der måles fra den galileiske referenceramme fastgjort til barycenteret. Det er givet af forholdet:

{\ displaystyle v_ {o} = {\ sqrt {m_ {1} ^ {2} \ G \ over (m_ {1} + m_ {2}) \ r}}}

hvor m 1 er massen af det centrale legeme, m 2 , at af den betragtede legeme, og r den radius mellem de to organer. Dette er igen det specielle tilfælde, hvor de to organers baner er cirkulære .

Bevis

Lad være afstanden mellem de to kroppe og afstanden mellem den betragtede krop og barycenteret. Det er et spørgsmål om at evaluere den gennemsnitlige hastighed, der er defineret af $r$ $R$

{\ displaystyle v_ {o} = {2 \ pi R \ over T}}

I to-kropsproblemet vises det

{\ displaystyle R = {\ frac {m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} \ r}

Ved hjælp af Keplers 3. lov viste Isaac Newton forholdet

{\ displaystyle T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2} a ^ {3}} {G (m_ {1} + m_ {2})}}}

hvori her er lig med . $på$ $r$

Vi får resultatet ved at erstatte taget fra denne sidste relation. $T$

Tilfælde af en elliptisk bane

I dette tilfælde er det tilstrækkeligt at bestemme omkredsen (eller omkredsen) af ellipsen , men det kan ikke udtrykkes ved enkle funktioner; det tilrådes at udnytte den elliptiske integrale funktion af den anden art. Der er imidlertid tilnærmelser; den første (på grund af Kepler) angiver en standardværdi, og den anden (på grund af Euler) giver en overskydende værdi: $L$

{\ displaystyle 2 \ pi {\ sqrt {ab}} \ leq L \ leq \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}}

a og b er henholdsvis de to halvakser af ellipsen, der er knyttet til excentriciteten e af forholdet . Vi kan udlede $b = en {\ sqrt {1-e ^ {2}}}$

{\ displaystyle {\ frac {m_ {1} ^ {2} \ G \ {\ sqrt {1-e ^ {2}}}} {(m_ {1} + m_ {2}) \ a}} \ leq v_ {o} ^ {2} \ leq {\ frac {m_ {1} ^ {2} \ G (1-e ^ {2} / 2)} {(m_ {1} + m_ {2}) \ a }}}

Bemærkninger:

Disse udtryk vedrører hastigheden målt fra referencerammen fast i barycenteret.
Den relative forskel mellem de respektive grænser forbliver mindre end så længe e er mindre end 0,1. $10 ^ {- 5}$
Et mere præcist skøn opnås ved at tage gennemsnittet af rødderne for de to grænser.

Eksempel på paradoks

En kugle, der smides manuelt mod Jorden fra den internationale rumstation (ISS), vil have næsten samme hastighed som rumstationen, dvs. mere end syv kilometer i sekundet og næsten parallelt med jordens overflade, og vil derfor følge en bane meget tæt til stationens, næppe mere elliptisk. Bolden vil derfor nærme sig Jorden i starten og derefter bevæge sig væk fra den og efter en halv kredsløb krydse ISS's. I slutningen af en hel bane vil bolden i teorien slutte sig til rumstationen. Bolden falder derfor ikke på Jorden.

Noter og referencer

(in) " Hvorfor en bold kastet til jorden fra bane" Boomerang ". Kan astronauter ramme jorden med en kugle, pil eller kugle? | Science 2.0 ” , på www.science20.com ,2. december 2015(adgang til 5. august 2020 ) .