I kvantemekanik er den kanoniske kommuteringsrelation den grundlæggende sammenhæng mellem de kanoniske konjugatmængder ( størrelser der per definition er beslægtede således, at man er Fourier-transformationen af en anden). For eksempel :
mellem positionsoperatoren x og momentoperatoren p x i x- retning af en punktpartikel i en dimension , hvor [ x , p x ] = x p x - p x x er kommutatoren for x og p x , i er imaginær enhed , og ℏ er den reducerede Planck-konstant h / 2π . Generelt er position og momentum vektorer af operatorer, og deres skifteforhold mellem de forskellige komponenter i position og momentum kan udtrykkes som:
hvor er Kronecker Delta .
Dette forhold tilskrives Max Born (1925), der kaldte det en "kvantetilstand", der tjente som et postulat til teorien; bemærket af E. Kennard (1927) at inddrage princippet om usikkerhed på Heisenberg . Den Sten-von Neumann teorem giver et enestående resultat for aktører, der opfylder (en eksponentiel form af) den kanoniske forvandling forhold.
På den anden side, i klassisk fysik , pendler alle de observerbare, og kommutatoren er nul. Imidlertid eksisterer der en analog relation, som opnås ved at erstatte kommutatoren med Poisson-beslaget ganget med i ℏ :
Denne observation fik Dirac til at foreslå, at kvantehomologerne f̂ ĝ til klassikerne f g tilfredsstiller:
I 1946 demonstrerede Hip Groenewold , at en generel systematisk korrespondance mellem kvantekontakter og Poisson-parenteser ikke kunne være konsistent.
Imidlertid forstod han yderligere, at en sådan systematisk korrespondance faktisk eksisterer mellem kvanteomskifteren og en deformation af Poisson-beslaget, i dag kaldet Moyal-beslaget , og generelt kvanteoperatorer og klassiske observerbare og fordelinger i faseområdet . Han belyste således i sidste ende den sammenhængende korrespondancemekanisme, Wigner-Weyl-transformationen , som ligger til grund for en alternativ ækvivalent matematisk repræsentation af kvantemekanik kendt som stammekvantisering .
Ifølge korrespondanceprincippet skal kvanteligningerne for stater inden for visse grænser tilnærme Hamiltons bevægelser . Sidstnævnte angiver følgende forhold mellem den generaliserede koordinat q (for eksempel positionen) og den generaliserede impuls p :
I kvantemekanik er Hamiltonian , koordinat (generaliseret) og momentum (generaliseret) alle lineære operatorer .
Den tid derivat af en kvantetilstand er (ved Schrödingerligningen ). Tilsvarende, da operatørerne ikke eksplicit er tidsafhængige, kan vi se dem udvikle sig over tid (se Heisenbergs billede ) i henhold til deres kommuteringsforhold til Hamiltonian:
For at dette skal være i den klassiske grænse med de Hamiltoniske bevægelsesligninger, skal det afhænge fuldstændigt af udseendet af i Hamilton, og det skal helt afhænge af udseendet af i Hamilton. Da Hamilton-operatøren er afhængig af koordinat- (generaliserede) og impulsoperatorer, kan den desuden betragtes som en funktionel , og vi kan skrive (ved hjælp af funktionelle derivater ):
funktionelFor at få den klassiske grænse skal vi have:
Den gruppe, der genereres ved eksponentiering af den tredimensionelle Lie-algebra , bestemt af kommuteringsrelationen kaldes Heisenberg-gruppen . Denne gruppe kan realiseres som gruppen af øvre trekantede matricer med diagonale.
I henhold til den standard matematiske formulering af kvantemekanik skal kvanteobservationer som og bør repræsenteres som selvtilføjede operatorer over et bestemt Hilbert-rum . Det er relativt let at se, at to operatører, der opfylder ovenstående kanoniske kommuteringsforhold, ikke begge kan begrænses . Bestemt, hvis og var den operatørerne klasse sporet , forholdet giver et forskelligt antal nul højre og nuller.
Alternativt, hvis og var afgrænset operatører, skal du bemærke, at operatørens normer derfor ville tilfredsstille
, så for alle n :Imidlertid kan n være vilkårligt stor, så mindst en operator ikke kan afgrænses, og dimensionen af det underliggende Hilbert-rum ikke kan være endelig. Hvis operatørerne tilfredsstiller Weyls forhold (en eksponentiel version af de kanoniske kommuteringsrelationer, beskrevet nedenfor), skal de to operatører være ubegrænsede som en konsekvens af Stone-von Neumanns sætning .
Alligevel kan disse kanoniske kommuteringsforhold gøres noget "tamer" ved at skrive dem i form af enhedsoperater (afgrænset) og . De resulterende fletningsforhold for disse operatører er de såkaldte Weyl- forhold :
.Disse relationer kan betragtes som en eksponentiel version af de kanoniske kommuteringsforhold; de afspejler, at oversættelser på plads og oversættelser i bevægelse ikke pendler . Vi kan let omformulere Weyls forhold med hensyn til repræsentationer af Heisenberg-gruppen .
Det unikke ved de kanoniske kommuteringsforhold - i form af Weyl-relationer - garanteres derefter af Stone-von Neumann-sætningen.
Det er vigtigt at bemærke, at Weyl-forhold af matematiske årsager ikke er nøjagtigt ækvivalente med det kanoniske kommuteringsforhold . Hvis og var afgrænsede operatører, ville et specielt tilfælde af Baker - Campbell - Hausdorff-formlen gøre det muligt at "eksponentialisere" de kanoniske kommuteringsforhold til Weyl-forhold. Da, som vi har bemærket, enhver operatør, der opfylder de kanoniske kommuteringsforhold, skal være ubegrænset, gælder formlen Baker - Campbell - Hausdorff ikke uden yderligere domæneantagelser . Der findes faktisk modeksempler, der tilfredsstiller de kanoniske kommuteringsforhold, men ikke Weyl-forholdene (de samme operatører giver et modeksempel til den naive form for usikkerhedsprincippet). Disse tekniske problemer er grunden til, at Stone-von Neumann-sætningen er formuleret med hensyn til Weyl-forhold.
En diskret version af Weyl-forholdene, hvor parametrene s og t spænder , kan realiseres på et Hilbert-rum med en begrænset dimension ved hjælp af ur- og skiftmatricerne .
Den enkle formel:
gyldig til kvantificering af det enkleste klassiske system, kan generaliseres til tilfældet med en vilkårlig Lagrangian . Vi identificerer de kanoniske koordinater (som x i eksemplet ovenfor eller et felt Φ ( x ) i tilfælde af kvantefeltteori ) og de kanoniske øjeblikke π x ( p i eksemplet ovenfor eller mere generelt nogle funktioner, der involverer derivatet af kanoniske koordinater med hensyn til tid):
Denne definition af den kanoniske impuls garanterer, at en af ligningerne Euler - Lagrange har formen:
De kanoniske kommuteringsforhold udgør derefter:
hvor δ ij er Kronecker-deltaet .
Derudover kan vi nemt vise, at:
Ved hjælp af kan vi let vise det ved matematisk induktion :
Kanonisk kvantisering anvendes pr. Definition til kanoniske koordinater . I nærvær af et elektromagnetisk felt er den kanoniske puls p imidlertid ikke målestok invariant . Den korrekte målestok invariante hastighed (eller vinkelmoment ) er:
( SI-enheder ) ( cgs-enheder ),hvor q er partikelens elektriske ladning , A er vektorpotentialet og c er lysets hastighed . Selvom mængden p kin er det "fysiske momentum", i og med at det er den mængde, der skal identificeres med momentum i laboratorieeksperimenter, tilfredsstiller den ikke de kanoniske kommuteringsrelationer; kun den kanoniske impuls gør dette. Dette kan ses som følger:
Den hamiltonsk non relativistiske for en ladet partikel kvantificeret masse m i en klassisk elektromagnetisk felt (i egs enheder ):
hvor A er det tre vektorpotentiale og φ er det skalære potentiale . Denne form for Hamilton er sammen med Schrödinger-ligningen Hψ = iħ∂ψ / ,t, Maxwell-ligningerne og Lorentz- kraftloven uforanderlige under målingstransformationen:
eller:
og Λ = Λ (x, t) er målefunktionen.
Den impulsmoment operatør er:
og adlyder de kanoniske kvantiseringsrelationer:
definerer Lie algebra for så (3) , hvor er Levi-Civita symbolet . Under målingstransformationer ændres vinkelmoment til:
Det invariante vinkelmoment (eller vinkelmoment) er givet ved:
som har skifteforholdene:
eller:
er magnetfeltet . Ikke-ækvivalensen af disse to formuleringer vises i Zeeman-effekten og Aharonov-Bohm-effekten .
Alle disse ikke-trivielle koblingsforhold for operatørpar fører til tilsvarende usikkerhedsforhold , der involverer positive halvdefinerede forventningsbidrag fra deres respektive kontakter og antikontakter. Generelt betragtes for to eremitiske operatorer A og B som middelværdier i et system i tilstand ψ , hvor variansen omkring den tilsvarende middelværdi er:
(Δ A ) 2 ≡ ⟨( A - ⟨ A >) 2 >
Derefter:
hvor [ A , B ] ≡ A B - B A er kontakten af A og B , og { A , B } ≡ A B + B A er den anti -kontakten .
Dette følger brugen af Cauchy - Schwarz , da | < A 2 > | | 〈B 2〉 | ≥ | 〈'A B 〉 | 2 ogA B = ([ A , B ] + { A , B }) / 2; og det samme for skiftede operatørerA - < A > ogB - 〈 B 〉 (Jf. Afledninger af usikkerhedsprincippet .)
Ved at erstatte A og B (og tage os af analysen ) opnår vi Heisenberg usikkerhedsforholdet for x og p .
For vinkelmomentoperatorer, således at L x = y p z - z p y , har vi:
hvor er Levi-Civita symbolet og blot vender tegnet på svaret under parvis udveksling af indekserne. En analog relation er gyldig for spin- operatører .
Her for L x og L y har vi i multipletter af vinkelmoment for de tværgående komponenter i Casimir-invariansen L x 2 + L y 2 + L z 2 de symmetriske forhold i z :
,og ⟨ L x ⟩ ⟨= L y ⟩ = 0
Derfor angiver ovenstående ulighed, der er anvendt på dette skifteforhold:
Derfor :
også :
Så dette forhold giver nyttige begrænsninger såsom en nedre grænse for den uforanderlige Casimir : og dermed blandt andre.