Hæmikontinuitet

I matematik , de to dobbelte topologiske begreber i øverste hemicontinuity og lavere hemicontinuity gør det muligt at udvide begrebet kontinuitet af en funktion til funktoner . I funktionel analyse defineres en anden type hemikontinuitet for operatørerne af et Banach-rum i dets topologiske dualitet og især for operatørerne af et Hilbert-rum i sig selv.

Definitioner

Lad A og B to topologiske rum , Γ en med flere værdier funktion - eller "fit" - af A i B , det vil sige, en implementering af A i mængden af delmængder af B og har et punkt A .

Korrespondancen Γ siges

hemic fortsætter overlegen i en hvisfor enhver åben V, der indeholder Γ ( a ), findes der et kvarter U af et sådant, at V indeholder Γ ( x ) for alle x af U ;
hemicontinuous underordnet i en hvisfor enhver åben V, der møder Γ ( a ), findes der et kvarter U af et sådant, at V møder Γ ( x ) for alle x af U ;
Kontinuerlig har, hvis det er i hémicontinue har både over og under;
med lukkede værdier (hhv. kompakt, hhv. kvasikompakt), hvis alle Γ ( a ) er lukkede (hhv. kompakte , hhv. kvasikompakte ).

Den graf af Γ er mængden

{\ displaystyle {\ rm {Gr}} (\ Gamma): = \ {(a, b) \ i A \ gange B \ mid b \ i \ Gamma (a) \}.}

Selvfølgelig er Γ sagde hémicontinue overlegent og nedadtil hémicontinue eller fortsætter, når øst på noget tidspunkt A .

Eksempler

Enhver konstant korrespondance er kontinuerlig (så det er let at konstruere kontinuerlige korrespondancer af en kompakt i sig selv og med ikke-lukkede værdier).
Korrespondensen af ℝ i ℝ defineret af Γ ( x ) = {0} hvis x ≤ 0 og Γ ( x ) = [0, 1] hvis x > 0 (en variant heraf er vist modsat) er lavere semikontinuerlig, men ikke højere , da den har lukkede værdier, men dens graf ikke er lukket ( jf. § “Lukket grafteorem” nedenfor ). Mere direkte: det er ikke semikontinuert over punkt 0, fordi det åbne] –1, 1 [indeholder Γ (0), men ikke indeholder Γ ( x ), hvis x > 0.
Det, der er defineret med Γ ( x ) = {0} hvis x <0 og Γ ( x ) = [0, 1] hvis x ≥ 0 (en variant heraf er vist nedenfor ) er øvre halvdel kontinuerlig, men ikke nedre halvdel- kontinuerligt ved punkt 0, fordi det åbne] 0, 1 [møder Γ (0), men ikke opfylder Γ ( x ), hvis x <0.
Hvis alle Γ ( a ) er singletoner , med andre ord hvis Γ ( a ) = { f ( a )} for noget kort f fra A til B :
- Γ er overlegen semikontinuerligt, hvis og kun hvis det er ringere, og denne kontinuitet i korrespondancen Γ svarer til den på kortet f .
- grafen for korrespondancen Γ er lig med den for kortet f (det er derfor let at konstruere korrespondancer af ℝ i ℝ med kompakte værdier og af lukket graf, som ikke er halvkontinuerlige hverken over eller under).

Ejendomme

Karakteriseringer

Γ er overlegen semikontinuerligt, hvis og kun hvisfor enhver åben V af B er sæt af punkter x, således at Γ ( x ) er inkluderet i V , et åbent for Aellerfor alle lukket F til B , det sæt af punkter X , således at Γ ( x ) møder F er et lukket A .
Γ er lavere semikontinuerligt, hvis og kun hvisfor enhver åben V af B er sæt af punkter x således, at Γ ( x ) møder V , et åbning af A.ellerfor alle lukket F til B , det sæt af punkter X , således at Γ ( x ) er inkluderet i F er et lukket A .

I særdeleshed :

sættet med x, for hvilket Γ ( x ) ikke er fritaget, lukkes i det første tilfælde og åbner i det andet;
hvis grafen for Γ er åben, er Γ lavere semikontinuerlig (da for ethvert punkt y af B er sættet med x således at y ∈ Γ ( x ) er åbent). Det omvendte er falsk, men hvis Γ er lavere semikontinuerlig, og hvis d er en kontinuerlig afvigelse på B , er grafen for følgende korrespondance åben for alle r > 0: x ↦ { y ∈ B | d ( y , Γ ( x )) < r } (med, ved konvention, d ( y , ∅) = $+ \infty$ ).

Operationer

Under visse antagelser eller begrænsninger bevares semikontinuiteten ved de sædvanlige operationer.

Den øvre eller nedre hemikontinuitet bevares ved sammensætning , især ved begrænsning .
Γ er hemikontinuerligt under punkt a hvis og kun hvis dens lukning Γ : x ↦ Γ ( x ) er.
Når B er normalt , hvis Γ er halvkontinuerlig over punkt a , er Γ også.
Når B er et lokalt konveks rum :
- hvis Γ er hemikontinu under punkt a, så er dens konvekse kuvert co (Γ): x ↦ co (Γ ( x )) også;
- hvis Γ er halvkontinuerlig over punkt a, og hvis den lukkede konvekse kuvert co (Γ ( a )) er kompakt, så er co (Γ) og co (Γ) også semi-kontinuerlige over punkt a .
Den nedre hemikontinuitet bevares af vilkårlige fagforeninger , og den øvre hemikontinuitet bevares af endelige fagforeninger.
Den øvre hemikontinuitet bevares af endelige kryds , men ikke den nedre hemikontinuitet. Imidlertid bevares den lavere semikontinuitet ved at krydse hinanden med et åbent grafmatch.
Egenskaben ved at være overlegent halvkontinuerlig og med kvasi-kompakte (eller kompakte) værdier bevares af alle produkter , og den lavere semikontinuitet bevares af færdige produkter.

Lukket graf sætning

Grafens kompakthed eller lukningsegenskaber er tæt knyttet til den øvre hemikontinuitet.

Vi kan først generalisere den klassiske sætning på det kontinuerlige billede af en kompakt :

Hvis Γ: A → B er overlegen semikontinuerlig og med kvasikompakte værdier, og hvis A er kvasikompakt, er grafen for Γ kvasikompakt (foreningen af Γ ( a ) også).

Enhver korrespondance, hvor grafen lukkes, er naturligvis med lukkede værdier. Den øvre semikontinuitet sikrer en gensidig - analog af en egenskab ved kontinuerlige funktioner med værdier i et separat rum - og omvendt sikrer lukningen af grafen den øvre hemikontinuitet under en antagelse om kompakthed:

Lad Γ: A → B være en korrespondance.

Hvis Γ er hémicontinue overlegent og lukkede værdier, og hvis B er regelmæssig , så grafen Γ er lukket i A × B .
Hvis grafen for Γ er lukket, og hvis B er næsten kompakt, er then højere semi-kontinuerlig.

Demonstrationer

Antag at Γ er overlegent halvkontinuerlig og med kvasi-kompakte værdier, og at A er kvasi-kompakt.
- Mødet K af Γ ( a ) er næsten kompakt enten ( U i ) i ∈ I en åben overdækning af K . Hver kvasikompakt Γ ( a ) er dækket af en begrænset underfamilie ( U i ) i ∈ I a , hvoraf vi vil betegne O ved foreningen. Kvasi-kompakt A er dækket af åben O har derfor et endeligt underfamilie ( O 's ) har ∈ F . Mødet J af jeg har da en browsing F færdiggøres derefter, og ( U i ) i ∈ J dækker K .
- Grafen for selve Γ er kvasikompakt: det er foreningen af Δ ( a ), hvor Δ er korrespondensen af A i A × B defineret af Δ ( a ) = { a } × Γ ( a ).
Antag at Γ er overlegen halvkontinuerlig og med lukkede værdier, og at B er regelmæssig, og lad os vise, at komplementet af Gr (Γ) er åbent, det vil sige kvarteret med alle dets punkter. Lad ( a , b ) ∉ Gr (Γ); der findes i B to usammenhængende åbninger, V indeholdende den lukkede Γ ( a ) og W indeholdende punkt b . Den åbne V indeholder Γ ( a ) indeholder derfor Γ ( x ) for alle x af en bestemt åben U, der indeholder en . Den åbne U × W , der indeholder ( a , b ), adskiller sig derefter fra Gr (Γ).
Antag at Gr (Γ) er lukket, og at B er næsten kompakt. Derefter Γ er hémicontinue overlegent fordi for hver lukket F til B , sættet G af x , således at Γ ( x ) opfylder F er lukket i A . Faktisk er projektionen af A × B på A et lukket kort, og G er billedet ved denne projektion af det lukkede ( A × F ) ∩Gr (Γ).

Vi kan udlede:

Sætning - Hvis B er kompakt, er grafen for Γ: A → B lukket, hvis og kun hvis Γ er overlegen halvkontinuerlig og med lukkede værdier.

Sekventielle karakteriseringer

Ovenstående definitioner og egenskaber er rent topologiske, men de fleste forfattere begrænser sig til metriske rum (typisk dele af euklidiske rum ).

Vi antager i dette afsnit, at A og B er målbare .

Grafen lukkes derefter, hvis og kun hvis den lukkes sekventielt , dvs. hvis for alle konvergente sekvenser er a n → a i A og b n → b i B, så b n ∈ Γ ( a n ), vi har b ∈ Γ ( a ).

Det samme princip giver en karakterisering af hemikontinuitet med hensyn til sekvenser:

En korrespondance Γ: A → B er

overlegen halvkontinuerlig og med kompakte værdier, hvis og kun hvis, for alle sekvenser a n → a i A og b n ∈ Γ ( a n ), har sekvensen ( b n ) en overholdelsesværdi i Γ ( a );
ringere semikontinuerligt hvis og kun hvis, for enhver sekvens en n → en i A og alle b ∈ Γ ( a ) eksisterer der et undersekvens ( en n k ) af ( en n ) og b k ∈ Γ ( en n k ) sådan at b k → b .

Demonstration

:
- : Antag at Γ er overlegen halvkontinuerlig og med kompakte værdier, og at a n → a og b n ∈ Γ ( a n ). Uden tab af generalitet , de eneste elementer i A er en n og a . I henhold til en egenskab i det foregående § er grafen for then derefter kompakt, derfor i denne graf har sekvensen ( a n , b n ) en værdi af adhæsion ( c , b ), og c = a derfor b ∈ Γ ( a ).
- : Antag, at betingelsen på sekvenserne er verificeret.
  - hemicontinuity: Lad F en lukket B og G sættet af punkter x sådan at Γ ( x ) opfylder F . For at vise at G er lukket, kontrollere, at for enhver sekvens ( en n ) med værdier i G som konvergerer i A , grænsen er op til G . For at gøre dette, vælger for enhver naturligt tal n en b n ∈ Γ ( en n ) ∩ F . Helst værdi af adhæsion ( b n ) og derefter til F , og der er antaget i Γ ( a ), så en ∈ G .
  - kompakte værdier: for ethvert punkt a på A , er Γ ( a ) tælleligt kompakt og derfor kompakt .
:
- ⇒: antag at Γ er lavere semikontinuerlig og en n → a , og fix a b ∈ Γ ( a ). For ethvert heltal k > 0 møder bolden B ( b , 1 / k ) Γ ( x ) for ethvert x tæt nok på a , og derfor møder Γ ( a n ) for ethvert n større end et bestemt n k . Ved at vælge desuden ( n k ) strengt stigende konstruerer vi således en sekvens ( a n k ) af ( a n ) og b k ∈ Γ ( a n k ) ∩ B ( b , 1 / k ).
- ⇐: ved modsætning , antag at Γ ikke er halvkontinuerligt under punkt a, og vi konstruerer en sekvens a n → a, der ikke opfylder betingelsen. Lad V åbner der opfylder Γ ( en ) i en B , men sådan, at enhver bold B ( en , 1 / n ) indeholder en en n hvis billede ikke opfylder V . For enhver efterfølgende ( a n k ) af ( a n ) og al b k ∈ Γ ( a n k ) har sekvensen ( b k ) værdier i komplementet til kvarteret V for b , så ne konvergerer ikke at b .

Topologier på alle dele

Hvis B er metrisk, Γ: A → B med ikke-kompakte kompakte værdier er kontinuerlig som en korrespondance, hvis og kun hvis den er kontinuerlig som en værdsat kortlægning i sættet af ikke-uønskede kompakter af B , udstyret med afstanden fra Hausdorff .

Der er også topologier på sættet af dele af B, som karakteriserer den øvre og nedre hemikontinuitet.

Funktionel analyse

Lad være et Banach-rum og dets topologiske dobbelt . For og vi sætter: $V$ ${\ displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle x \ i V}$ ${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ i V ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ langle x ^ {\ prime}, x \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}

En operatør (ikke nødvendigvis lineær) af in siges at være semikontinuerlig, hvis dens begrænsninger til segmenterne er kontinuerlige i svag- * , det vil sige hvis for alle kortet $PÅ$ $V$ ${\ displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle V ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle (x, y, z) \ i V ^ {3}}$

{\ displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

er kontinuerlig.

Operatør af et Hilbert-rum i sig selv

Især er en operatør af et Hilbert-rum i sig selv (kanonisk identificeret med ) semikontinuerligt, hvis og kun hvis for alle , kortet $PÅ$ $H$ $H '$ ${\ displaystyle (x, y, z) \ i H ^ {3}}$

{\ displaystyle [0,1] \ to \ mathbb {R}: t \ mapsto \ langle A (x + ty), z \ rangle}

er kontinuerlig, hvor 〈·, ·〉 betegner punktproduktet af . $H$

Noter og referencer

Eller for ethvert kvarter V af Γ ( a ) .
Eller en åben U indeholdende a .
(en) Charalambos D. Aliprantis og Kim C. Border, Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2007, 3 e ed. ( 1 st ed. 1994), 703 s. ( ISBN 978-3-540-32696-0 , læs online ) , kap. 17 ("Korrespondancer").
En modeksempel leveres af to kontinuerlige kort fra A til B, således at det sæt af punkter, hvor de falder sammen, ikke er åbent.
(i) George Xian-Zhi Yuan , studiet af Minimax Uligheder og Ansøgninger til økonomi og variational Uligheder , AMS , al. "Memoirs of the American Mathematical Society" ( nr . 625)1998( læs online ) , s. 26, Sætning 1.7.
(i) Anton Badev og Matthew Hoelle, " Korrespondenser " , s. 5 .
(in) Efe A. Ok , Elements of Order Theory ( læs online ) , "Appendix: A Primer on Topological Spaces" , s. 22, rekvisit. 1.7.7.
Eller endda kun T 3 .
vist i (i) Efe A. Ok , Real Analyse med applikationsøkonomi , PUP ,2007, 802 s. ( ISBN 978-0-691-11768-3 , læs online ) , kap. E ("Kontinuitet II") , s. 287-305 i det særlige tilfælde af metriske mellemrum.
Medmindre du nogle gange erstatte begrebet pakken ved at af generaliseret suite , ligesom Aliprantis og Border 2007 .
Det ville være tilstrækkeligt at antage, at de havde talbare baser af kvarterer og adskilt .
(i) Angel de la Fuente , Matematiske metoder og modeller for økonomister , UPC ,2000, 835 s. ( ISBN 978-0-521-58529-3 , læs online ) , s. 108-114.
(i) Erwin Klein og Anthony C. Thompson , Theory of korrespondancer: Herunder Ansøgninger til matematisk økonomi , John Wiley & Sons ,1984.
I det tilfælde, hvor V er et refleksivt Banach- rum (identificerbart ved dets bidual), er de svage og svage- * topologier lige.
Brezis 1966 .

Se også

Relaterede artikler

eksterne links

(en) Guillermo Ordoñez, " Noter om øvre Hemi-kontinuitet " , om Penn Arts & Sciences ,2006.
(en) Tigran A. Melkonyan, " Introduktion til funktioner, sekvenser, metriske og topologiske rum, kontinuitet, semikontinuitet og hemikontinuitet " , om University of Nevada i Reno ,2007.
(en) Chris Shannon, " Economics 204 / Lecture 7 " , på UC Berkeley , Economics Laboratory Software Archive ,august 2011.

Bibliografi

(en) Jean-Pierre Aubin og Arrigo Cellina, Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory , Grundl. der Math. Wiss. , flyvning. 264, Springer, 1984.
(en) Jean-Pierre Aubin og Hélène Frankowska , sætværdianalyse , Basel, Birkhäuser,1990( læs online ).
Claude Berge , Espaces topologiques, functions multivoques , 1959 - (en) Topological Spaces: Inclusief a Treatment of Multi-Valued Functions, Vector Spaces and Convexity , kap. VI på Google Bøger .
Haïm R. Brezis , “ Monotone Operators ”, Choquet Seminar - Initiation to Analysis , t. 5, nr . 2 (1965-1966),1966, artikel nr . 10 ( læs online ).
(en) Klaus Deimling, Multivalued Differential Equations , Walter de Gruyter , 1992 [ læs online ]
(en) Andreu Mas-Colell , Michael D. Whinston og Jerry R. Green, Microeconomic Theory , OUP , 1995, s. 949-951 .
(en) Ernest Michael (en) , "Kontinuerlige valg" , i Klaus P. Hart, Jun-iti Nagata og Jerry E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology , Elsevier,2004( ISBN 978-0-08053086-4 , læs online ) , s. 107-109.
(en) Hôǹg Thái Nguyêñ , M. Juniewicz og J. Ziemińska , ” CM- selektorer til par af modsat halvkontinuerlige multifunktioner og nogle anvendelser til stærkt ikke-lineære indeslutninger ” , Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen , vol. 19, nr . 22000, s. 381-393 ( læs online ).