Assistent operatør

I matematik er en assistentoperatør en operator på et præhilbertiansk rum, der defineres, når det er muligt, fra en anden operator A, og som vi betegner med A * . Det siges også, at A * er den adjungerede til operatørens A .

Denne assistent operatør gør det muligt at gøre operatøren En aflevering fra højre del af skalarproduktet definerer prehilbertian plads til den venstre del af skalarproduktet. Det er derfor en generalisering af begrebet matrix transponeret til rum med uendelig dimension.

Hvis den oprindelige operatør er kontinuerlig, og hvis vektorrummet er komplet , defineres tillægget altid. I tilfælde af en begrænset dimension er assistenten til enhver operatør således veldefineret. Den applikation, der forbinder dens tillæg til en operator, er en semi-lineær (en) og involutiv isometri .

Begrebet supplerende gør det muligt at definere et sæt operatører, der har en særlig kompatibilitet med hensyn til det skalære produkt, idet operatørerne pendler med deres supplement. De siges derefter at være normale . Blandt disse operatører er der tre vigtige særlige tilfælde, nemlig en selvassistent operatør (assistent for sig selv), anti-selvassistent (modsat assistent) og enhed (omvendt af hans assistent). På et ægte vektorrum er de anvendte udtryk henholdsvis: symmetrisk , antisymmetrisk og ortogonal . På et komplekst vektorrum siger vi henholdsvis: hermitian (eller hermitisk), antihermitian (eller antihermitic) og unitær .

Begrebet assistent til en operatør har mange applikationer. I en endelig dimension og på feltet med komplekse tal er strukturen af normale endomorfier enkel, de kan diagonaliseres på en ortonormal basis . Tilfældet med den uendelige dimension er mere kompleks. Det er vigtigt i funktionel analyse . Autoadjoint-sagen er specielt undersøgt, den giver den enkleste ramme for spektral teori , som i sig selv er kernen i kvantemekanikken . I operatorteori er en C * -algebra et Banach-rum forsynet med en intern kompositionslov, der ligner sammensætningen af operatorer og en stjerneoperation , der har de samme egenskaber som applikationen, der knytter dets supplement til en operatør.

Definitioner

En operatørs assistent er en forestilling, der svarer til meget forskellige situationer. Det kan anvendes i tilfælde af et euklidisk eller hermitisk rum , det vil sige i en begrænset dimension . Det bruges også i den enkleste sammenhæng med funktionel analyse , det vil sige i et Hilbert-rum eller et prehilbertisk rum . Endelig kan den anvendes i en meget generel ramme til Banach-rum . Af denne grund eksisterer to definitioner sammen.

Prehilbertian

Denne definition dækker i praksis to noget forskellige teoretiske rammer. Den af den endelige dimension, og den, hvor der ikke antages nogen antagelse om dimensionen. Det svarer også til et første tilfælde af funktionel analyse, det enkleste. Generelt er det valgte vektorrum et Hilbert-rum, det vil sige et komplet prehilbertisk rum . Da det er relativt let at færdiggøre et prehilbertiansk rum, og de tilgængelige sætninger er langt flere, anvendes denne ramme i vid udstrækning. En enkelt definition dækker disse to tilfælde:

Lad H være et prehilbertisk rum over et felt K svarende til det ℝ af reelle tal eller ℂ af komplekser. Prikproduktet er betegnet (⋅ | ⋅) i denne artikel. Lad a og a * være to operatorer på H , det vil sige to lineære kort over H i sig selv.

Definition - Operatøren siges at være et supplement til hvis: $a ^ {*}$ $Til$

\ forall x, y \ i H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)).

C * -algebra

Som resten af artiklen viser kortet *, som knytter dets tillæg til en endomorfisme, er et semi-lineært kort over endomorfisk rum. Dette rum har med sammensætningen af endomorfier en algebrastruktur . En applikation *, der har de samme karakteristika som tillægget og defineret på en algebra, er rammen for en struktur kaldet C * -algebra. Billedet af et element a af applikationen * kaldes aide for a .

Banach

I funktionel analyse har ikke alle rum et punktprodukt. Deputternes tilgang forbliver alligevel frugtbar. Operatøren a har dårligere egenskaber end dem i foregående afsnit.

I det generelle tilfælde, er det ikke længere afgrænset, dvs. der ikke nødvendigvis eksisterer en øvre grænse for normen af billedet af en vektor af enheden bolden . Således derivat af en funktion af den reelle variabel i den virkelige sæt med kompakt støtte , uendeligt differentiable og steg i absolut værdi af en ikke forøges med en konstant uafhængig af funktionen. Dette rum forsynet med normen for ensartet konvergens er vigtigt for definitionen af distributioner . Derivatet er en ubegrænset lineær operator, der spiller en stor rolle i funktionel analyse.

En operatør a er ikke nødvendigvis defineret på hele Banach. Operatøren af afledning er således ikke defineret på nogen funktion] –1/2, 1/2 [i ℝ og integrerbar i absolut værdi. Af samme grund som i foregående afsnit er det ikke desto mindre nyttigt at overveje denne operatør.

I dette afsnit, E og F udpege to Banach har en ubegrænset operatør fra E til F , E * og F * betegner de topologiske dualkoder af E og F . I den resterende del af artiklen betyder udtrykket dobbelt topologisk dobbelt. Det er faktisk mere brugt end den algebraiske dual i denne sammenhæng. Udtrykket D ( a ) betegner domænet for a , det vil sige det vektorunderrum, hvorpå a er defineret. Det antages tætte i E . Notationen 〈⋅, ⋅〉E (resp. 〈⋅, ⋅〉F ) betegner dualitetsbeslaget , det svarer til det bilineære kort over E * × E (resp. F * × F ) , der svarer til et par dannet af d ' en lineær form og en vektor af E (resp. F ) associerer en skalar.

Definition - Den domæne betegnet D ( en *), i adjoint operatøren af en er følgende delmængde af F *:

{\ mathcal {D}} (a ^ {*}) = \ {y ^ {*} \ i F ^ {*}, \; \ findes c \ geq 0, \; \ forall x \ i {\ mathcal { D}} (a) \ quad | \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle _ {{F}} | \ leq c \ | x \ | \}

Denne definition tillader følgende:

Definition - Den tilstødende operatør a * af a er operatør for D ( a *) i E *, der bekræfter lighed:

\ forall x \ i {\ mathcal {D}} (a), \; \ forall y ^ {*} \ i {\ mathcal {D}} (a ^ {*}) \ quad \ langle y ^ {*} , en (x) \ rangle _ {{F}} = \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle _ {{E}}

Det er almindeligt, at E og F er forvirrede; assistenten er derefter operatør af E *.

Hilbert plads

Vi antager gennem dette afsnit, at H er et Hilbert-rum , dvs. et komplet prehilbert-rum . I dette tilfælde er de topologiske dobbelte identificerer med rummet H . De opnåede resultater i tilfælde af bilineære former gælder uden meget ændring.

Tilfældet med endelig dimension er lidt enklere, fordi ethvert lineært kort er kontinuerligt, og isomorfismen mellem rummet og dets dobbelte er mere indlysende. En mere didaktisk tilgang er tilgængelig i artiklen Euklidisk plads til den virkelige sag og Hermitian plads til den komplekse sag.

Bemærk: I det tilfælde, hvor kroppen, der ligger til grund for H, er komplekset, er prikproduktet sesquilinear . Konventionen valgt i artiklen er, at formen er lineær for den første variabel og semi-lineær for den anden. Den konjugat af en skalar λ er betegnet med λ . Som standard gives udsagn for komplekse rum. De forbliver sande for det virkelige, og den kombinerede applikation bliver identiteten.

Eksistens (og unikhed)

Enhver afgrænset operatør a på H indrømmer en (unik) medhjælper.
Lad os faktisk være en vektor af H , det kort, som til en vektor x associerer ( a ( x ) | y ) er en kontinuerlig lineær form. Den Riesz repræsentation teorem garanterer derefter eksistensen af en (unik) vektor z , således at de kontinuerlige lineær form falder sammen med ansøgningen til x associerede ( x | z ). Applikationen har *, som den kombinerer z, som assistenten har .
Omvendt, hvis to kort tilfredsstillerTil,Til∗:H→H{\ displaystyle a, a ^ {*}: H \ til H} $a, a ^ {*}: H \ til H$ ∀x,y∈H(Til(x)|y)=(x|Til∗(y)){\ displaystyle \ forall x, y \ i H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))} $\ forall x, y \ i H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y))$ så er a , a * både lineære og kontinuerlige .
Lad os vise det for eksempel for en *.
- Lineæritet er en direkte konsekvens af punktproduktets bilinearitet og ikke-degenerationsegenskaber. Vi bruger det: $\ forall x, y_ {1}, y_ {2} \ i H, \; \ forall \ lambda \ i K \ quad (x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (a (x) | y_ {1} + \ lambda y_ {2}) = (a (x) | y_ {1}) + {\ bar \ lambda} (a (x) | y_ {2})$ Vi kan udlede: $(x | a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = (x | a ^ {*} (y_ {1})) + (x | \ lambda a ^ {*} ( y_ {2})) \ quad {\ text {so}} \ quad (1) \; (x | a ^ {*} (y_ {1}) + \ lambda a ^ {*} (y_ {2}) -a ^ {*} (y_ {1} + \ lambda y_ {2})) = 0.$ Ligestillingen (1) gælder for alle værdierne af x, hvilket viser, at udtrykket til højre er nul. Denne ugyldighed viser den lineære karakter af en *.
- At vise kontinuiteten i en * det tilstrækkeligt, takket være den lukkede graf sætning , at kontrollere, at hvis x n tenderer mod x og hvis a * (x n ) tenderer mod y derefter en * ( x ) = y . Nu antyder disse to hypoteser (ved hjælp af additionsligningen), at for alle z ( z | a * ( x n )) har tendens til både at ( z | a * ( x )) og til ( z | y ), således at en * ( x ) - y er nul (fordi vinkelret på alle z ).

Eksempel For alle vektorer er operatørens assistent operatør .

{\ displaystyle x, y \ i H}

{\ displaystyle x \ otimes y: z \ mapsto \ langle z, y \ rangle x}

{\ displaystyle y \ otimes x}

Elementære egenskaber

På mange måder er assistenten et spejlbillede af operatøren.

Assistent for operatør a er lineær.

Dette resultat (som ikke involverer lineariteten af a ) er blevet demonstreret ovenfor.

I finite dimension, den matrix af supplement af en er supplement af matrixen i en . Faktisk lad A matrix har en ortonormalbasis af H og X (hhv. Y ) matricen af en vektor x (hhv. Y) H .

(x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = {} ^ {t} \! (AX) \ overline Y = ^ {t} \! X (^ {t} A \ overline Y) = ^ {t} \! X \ overline {^ {t} \ overline AY}.

Hvis operatøren a er afgrænset , er assistenten også afgrænset, og dens operatørnorm er lig med a .

Udtrykket afgrænset her betyder, at billedet af enhedskuglen er afgrænset. En operatør er afgrænset, hvis og kun hvis den er kontinuerlig.

Kontinuiteten af supplementet er blevet demonstreret ovenfor uden at antage, at a er afgrænset ved hjælp af den kraftfulde lukkede graf sætning. Forudsat at dette er begrænset, er beviset mere grundlæggende: bemærk bare, at standarden var så godt som assistentens, er den for bilinear eller sesquilinear form i x- og y- associerede ( a ( x ) | y ) = ( x | a * ( y )).

Normen for sammensat af a og dens tillæg er lig med kvadratet for den for a :

\ | a \ circ a ^ {*} \ | = \ | a \ | ^ {2}.

Assistent ansøgning

Isometrien * , af ℒ ( H ) i sig selv, som til operatøren en associerer assistenten a * kaldes assistentkortet .

Sætning - Isometrien a ↦ a *, af ℒ ( H ) i sig selv:

kontrolleret $(a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*} ~;$
er semi-lineær: $(a + \ lambda b) ^ {*} = a ^ {*} + \ overline \ lambda b ^ {*} ~;$
er involutiv : $a ^ {{**}} = a.$

Demonstrationer

Stedfortræder for en forbindelse: $\ forall x, y \ i H \ quad (a \ circ b (x) | y) = (b (x) | a ^ {*} (y)) = (x | b ^ {*} \ circ a ^ {*} (y)).$
Semi-linearitet: $\ forall x, y \ i H \ quad ((a + \ lambda b) (x) | y) = (a (x) | y) + \ lambda (b (x) | y) = (x | (a ^ {*} + {\ bar \ lambda} b ^ {*}) (y)).$
Involutivitet: $\ forall x, y \ i H \ quad (a (x) | y) = (x | a ^ {*} (y)) = \ overline {(a ^ {*} (y) | x)} = \ overline {(y | a ^ {{**}} (x))} = (a ^ {{**}} (x) | y).$

Som en involutiv endomorfisme af det virkelige vektorrum er det derfor en symmetri, det vil sige at den er diagonaliserbar med egenværdierne 1 og –1 (flere detaljer er givet i § “Symmetri” i artiklen om diagonalisering ).

En operatør, der er lig med (resp. Modsat) sin assistent, siges at være Hermitian eller selvassistent (resp. Antihermitian eller anti-self-assistant). En sådan operatør er normal , det vil sige, at han skifter med sin assistent. En anden familie af normale operatører er ortogonale automorfismer .

De normale endomorfier i et hermitisk rum og de selvforbundne endomorfier i et euklidisk rum kan diagoniseres.

Orthogonality

Egenskaber ved ortogonalitet forbundet med bilineære former er til stede i denne sammenhæng:

Den kerne af en * er den ortogonale af billedet af en : ${\ text {Ker}} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {{\ bot}}.$ Ja, $\ forall x \ i H, \; x \ i {\ text {Ker}} \, a ^ {{*}} \ Leftrightarrow \ forall y \ i H \ quad (a ^ {*} (x) | y) = 0 \ Leftrightarrow \ forall y \ i H \ quad (x | a (y)) = 0 \ Leftrightarrow x \ in ({\ text {Im}} \, a) ^ {{\ bot}}.$ En øjeblikkelig følge - også påviselig matricially - er, at i endelig dimension a og a * har samme rang, fordi ethvert vektorunderrum derefter lukkes, så dets ortogonale er en ekstra .

Ved at tage det ortogonale af de to medlemmer udledes man af det:

Den ortogonale af kernen af en * er vedhæftningen af billedet af en : $({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {{\ bot}} = \ overline {{\ text {Im}} \, a}.$ Vedhæftningen af et sæt E , betegnet E , er den mindste lukkede, der indeholder det. For eksempel hvis en * er injektiv , så en har en tæt billede i H , som i uendelig dimension, betyder ikke, at en er surjektiv .
Lad E være et underrum stabilt med a , det ortogonale af E er stabilt med et *.
Lad os være et element i det ortogonale af E , dets billede af a * er retvinklet til E, fordi $\ forall x \ i E \ quad (x | a ^ {*} (y)) = (a (x) | y) = 0.$ I uendelig dimension, hvis E ikke er lukket, er det omvendte falsk (for eksempel hvis E er et ikke- lukket hyperplan , er dets ortogonale altid stabilt med et * - da det reduceres til nulvektoren - mens E n 'ikke er stabilt med a generelt).

Spektrum

Spektret for en operator a er sættet med skalarer λ, således at kortet a - λId ikke er bijektivt (Id betegner identitetskortet). I en begrænset dimension er spektret sæt af egenværdier . I uendelig dimension kan den være bredere (se artiklerne Spectrum for en lineær operator og Spectral-værdi ).

Spektret af operatøren en * er konjugatet af den for en .

Spektrumets egenskaber er specificeret, hvis H har en begrænset dimension:

Hvis H har en begrænset dimension, er determinanten (hhv. Den karakteristiske polynom) af a * konjugatet af den for a .

Hvis H har en begrænset dimension, er det minimale polynom af a * konjugatet af det for a .

Følgelig, hvis λ er egenværdien af multiplikation m af operatøren a (dvs. rod af rækkefølge m af dens karakteristiske polynom), så er konjugatet af λ egenværdien af multiplikation m af operatøren a *, og ligeledes, hvis λ er roden i rækkefølge m af det minimale polynom af a (hvilket svarer til at sige, at m er det mindste heltal, således at kernen af ( a - λId) m er lig med kernen af ( a - λId) m + 1 ), så er konjugat af λ er rod af orden m af det minimale polynom af a *.

Demonstrationer

Spektret for operatøren a * er konjugatet af spektret af a :

En operatør er medvirkende, hvis og kun hvis dens tillæg er (i henhold til ejendommen ). Anvendelse af dette på a - λId, resultatet udledes. $(a \ circ b) ^ {*} = b ^ {*} \ circ a ^ {*}$

Hvis H har en begrænset dimension, er determinanten (hhv. Den karakteristiske polynom) af a * konjugatet af den for a :

Artiklen Determinant (matematik) demonstrerer, at en firkantet matrix har den samme determinant som dens transponering. Desuden er determinanten af en konjugatmatrix konjugatet af determinanten. Det faktum, at determinanten for en endomorfisme er lig med dens matrix, viser, at determinanten for tillægsformen til a er konjugatet af den for a . De samme egenskaber anvendt på endomorfismen a - λId viser lighed mellem de karakteristiske polynomer.

Hvis H har en begrænset dimension, er det minimale polynom af a * konjugatet af det for en :

Lad P ( X ) være det minimale polynom af a . Endomorfismen P ( a ) er nul, og dens konjugat er også nul, hvilket viser, at konjugatpolynomet af P ( X ) annullerer supplementet, dets konjugat er derfor et multiplum af polynomet af a *. Vi viser også, at konjugatpolynomet af det minimale polynom af tillægsstoffet annullerer a . De to polynomer er flere af hinanden, de er begge enhed, hvilket gør det muligt at konkludere, at der er lighed.

Banach plads

Stoffet i denne matematikartikel skal kontrolleres (december 2016).

Forbedre det eller diskuter ting, du skal kontrollere . Hvis du lige har anbragt banneret, bedes du angive de punkter, du skal kontrollere her .

Sammenlign med den engelske artikel i: Ubegrænset operatør

Mange ejendomme, der er gyldige for Hilberts, kan generaliseres. Analysen af en operatørs assistent i Banachs mere generelle rammer har visse analogier med den foregående sag. De anvendte teknikker er ikke desto mindre lidt forskellige. I dette afsnit E og F betegner Banach og har en ubegrænset operatør fra E til F .

Udtrykket "ubegrænset operatør" betegner et lineært kort uden præcision på operatørens kontinuerlige karakter. Matematikeren Haïm Brezis specificerer: Det kan derfor ske, at en ubegrænset operatør er afgrænset. Terminologien er ikke særlig glad, men den bruges i vid udstrækning og forårsager ikke forvirring!

Eksistens og unikhed

Som før, enhver operatør har erkendt en enkelt stedfortræder. Mere præcist :

For enhver ubegrænset operatør a fra D ( a ) i F findes der et unikt supplement, og supplementet er lineært.

Spørgsmålet melder om D ( en *) er tæt på det dobbelte af F .

Hvis en er en lukket operatør, så den svage topologi af den dobbelte af F , D ( en *) er tæt i den dobbelte af F . Hvis F desuden er refleksiv, er D ( a *) tæt på den sædvanlige topologi.

Demonstration

For enhver ubegrænset operatør a fra D ( a ) i F findes der et unikt supplement, og supplementet er lineært.

Bemærk først, at D ( a *) er et vektorrum. Lad y 1 * (resp. Y 2 *) være en vektor af D ( a *), λ et element af K og c 1 (resp. C 2 ) en konstant, der tilfredsstiller følgende egenskab:

\ forall x \ i {\ mathcal D} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {1} \ | x \ | \ quad {\ text {and}} \ quad | \ langle y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq c_ {2} \ | x \ |

Den følgende stigning viser, at y 1 * + λ y 2 * faktisk er et element af D ( a *).

\ forall x \ i {\ mathcal D} (a) \ quad | \ langle y_ {1} ^ {*} + \ lambda .y_ {2} ^ {*}, a (x) \ rangle | \ leq | \ langle y_ {1} ^ {*}, en (x) \ rangle | + \ lambda. | \ langle y_ {2} ^ {*}, en (x) \ rangle | \ leq (c_ {1} + | \ lambda | .c_ {2}). \ | x \ |

Lad y * være et element i D ( a *). Som standard er en * ( y *) en kontinuerlig lineær form over D ( a ). Ankomstsættet K er komplet, formen er kontinuerlig, derfor Cauchy-kontinuerlig og udvides med kontinuitet på en unik måde. Kortet a * ( y *) er således faktisk et element i E *.

Lineariteten af a * kommer direkte fra bilineariteten af 〈⋅, ⋅〉.

Assistentkontinuitet

Den lukkede graf sætning indikerer, at en operatør a er kontinuerlig, hvis og kun hvis dens graf er lukket. Grafen for a er vektordelområdet for E x F dannet af punkterne ( x , a ( x )), når x krydser D ( a ). En operatør, der har en lukket graf, siges at være lukket , hvilket svarer til at sige afgrænset eller kontinuerlig. Af stilistiske årsager er det mere almindeligt at tale om en lukket ubegrænset operatør end om en afgrænset, ikke lukket operatør, selvom betydningen er den samme.

En ubegrænset operatør a med tæt domæne har en lukket medhjælper.

Demonstration

Lad ( v n *) være en sekvens af D ( a *), der konvergerer til v * i dualen af F og således, at sekvensen (a * ( v n *)) også konvergerer, men denne gang mod u * i dual af E . Målet er at vise, at ( v *, u *) er et element i grafen for tillægget til a . Følgende lighed er verificeret:

\ forall x \ i E, \; \ forall n \ i {\ mathbb N} \ quad \ langle v_ {n} ^ {*}, a (x) \ rangle = \ langle a ^ {*} (v_ {n } ^ {*}), x \ rangle

En passage til det yderste viser, at:

\ forall x \ i E \ quad \ langle v ^ {*}, en (x) \ rangle = \ langle u ^ {*}, x \ rangle \ leq \ | u ^ {*} \ |. \ | x \ |

Den sidste stigning viser, at v * er et element af D ( a *), og den sidste ligestilling viser, at u * er billedet af v * med en *. Derfor er punktet ( v *, u *) et element i grafen for en *, som beviser propositionen.

Orthogonality

Hvis a er lukket og har et tæt domæne, forbliver de ortogonalitetsegenskaber, der svarer til Hilbert-situationen, sande:

Kernen til a er lig med den ortogonale af billedet af en * og kernen af en * er lig den ortogonale af billedet af en .

{\ text {Ker}} \, a = ({\ text {Im}} \, a ^ {*}) ^ {{\ bot}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ text {Ker }} \, a ^ {*} = ({\ text {Im}} \, a) ^ {{\ bot}}

Situationen adskiller sig lidt for kernernes ortogonale.

Den ortogonale af kernen i a indeholder vedhæftningen af billedet af stedfortræder for a og den ortogonale af kernen af stedfortræderen for a er adhæsionen af billedet af en .

({\ text {Ker}} \, a) ^ {{\ bot}} \ supset \ overline {{\ text {Im}} \, en ^ {*}} \ quad {\ text {og}} \ quad ({\ text {Ker}} \, a ^ {*}) ^ {{\ bot}} = \ overline {{\ text {Im}} \, a}

Hvis rummet E er refleksivt, er det ortogonale i kernen af a lig med vedhæftningen af billedet af en *; ellers er lighed ikke garanteret.

Med antagelser om lukning og tæthed af domænet for en :

Følgende fire egenskaber er ækvivalente:

(1) Billedet af a er lukket. (2) Stedfortræderens image er lukket. (3) Billedet af a er det ortogonale i den supplerende kerne. (4) Billedet af supplementet er det ortogonale af kernen af en . Demonstrationer

Kernen til a er lig med den ortogonale af billedet af en * og kernen af en * er lig den ortogonale af billedet af en :

Vi bemærker, at da a er kontinuerligt, er domænet for a * det dobbelte af heltal F , derfor:

x \ i {\ text {Ker}} \, en \ Leftrightarrow \ forall y ^ {*} \ i F ^ {*} \; \ langle y ^ {*}, en (x) \ rangle = 0 \ Leftrightarrow \ for alt y ^ {*} \ i {\ mathcal D} (a ^ {*}) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {*}), x \ rangle = 0

Hvilket demonstrerer den første lighed.

Vi bemærker, at da D ( a ) er tæt i E , er en vektor af dualen af E nul, hvis og kun hvis den er vinkelret på D ( a ), derfor:

y ^ {*} \ i {\ text {Ker}} \, en ^ {*} \ Venstre pil \ forall x \ i {\ mathcal D} (a) \; \ langle a ^ {*} (y ^ {* }), x \ rangle = 0 \ Lefttrightarrow \ forall x \ i {\ mathcal D} (a) \; \ langle y ^ {*}, a (x) \ rangle = 0

Hvilket demonstrerer det andet uafgjort.

Den ortogonale af kernen i a indeholder adhæsionen af billedet af stedfortræder for a og den ortogonale af kernen af stedfortræderen for a er vedhæftningen af billedet af en :

Undersøgelsen af kontinuerlige bilineære former viser, at den ortogonale af en ortogonal i et vektorrum indeholder vedhæftningen af det oprindelige rum. Det ortogonale af det ortogonale af billedet af supplementet til a indeholder derfor overholdelsen af billedet af supplementet til a . Det foregående forslag gør det muligt at konkludere for følgende optagelse:

({\ text {Ker}} \, a) ^ {{\ bot}} \ supset \ overline {{\ text {Im}} \, a ^ {*}}

Noter og referencer

Bemærkninger

Se f.eks. S. Lang , Analyse Réelle , InterEditions, Paris, 1977 ( ISBN 978-2-72960059-4 ) , s. 157 .
Jacques Dixmier , Les C * -algebras og deres repræsentationer , Gauthier-Villars, 1964, reed. J. Gabay, 1996 ( ISBN 978-2-87647-013-2 ) .
Se for eksempel Brezis , s. 27.
Dette er en af versionerne af Hellinger-Toeplitz-sætningen (i) : RE Edwards, " The Hellinger-Toeplitz theorem ," J. London Math. Soc. , S. 1, bind. 32, nr . 4, 1957 s. 499-501 .
Brezis , s. 27.

Referencer

Walter Rudin , Real og kompleks analyse: Erfaringer og øvelser , Dunod, 3 rd ed. 1998 ( ISBN 978-210004004-9 )
Serge Lang , Algebra [ detalje af udgaver ]
Haim Brezis , Funktionel analyse: teori og applikationer ,1999 [detaljer om udgaver]
(en) Joram Lindenstrauss og Lior Tzafriri, Classical Banach Spaces Vol I , Springer, 1996 ( ISBN 978-354060628-4 )
(en) Gert Pedersen, C * -algebras og deres automorfisme grupper , Academic Press, London, New-York, 1979 ( ISBN 978-012549450-2 )

Tillæg

Interne links

Aluthge transformation

eksterne links

Suppleringen af en endomorfisme og dens egenskaber af A. Morame fra University of Nantes 2006. Dette kursus behandler den virkelige sag i en begrænset dimension.
Assistent for en endomorfisme af et hermitisk rum på webstedet les-mathematiques.net af C. Antonini & al. Dette kursus beskæftiger sig med den komplekse sag hovedsageligt i en begrænset dimension.
Assistent for et endomorfisme- sted for virksomheden Cabrilog støttet af CNRS og universitetet Joseph Fourier fra Grenoble. Det handler om det euklidiske tilfælde af dimension to.
Funktionel analyse og spektral teori B. Maurey University of PARIS VII. Det svarer til et kandidatkursus og behandler det generelle tilfælde af Banach.
Assistent til en operatør af J.Ch. Gilbert fra Inria. Denne tekst behandler kun sagen om Banach.