I den euklidiske geometri er en regelmæssig polygon en polygon, der både er ligesidig (alle dens sider har samme længde) og ligevægt (alle dens vinkler har samme mål). En regelmæssig polygon er enten konveks eller stjerne .
Alle regelmæssige konvekse polygoner med det samme antal sider er ens . Enhver stjernemærket regelmæssig polygon af n sider har en konveks konvolut af n sider, hvilket er en regelmæssig polygon. Et heltal n større end eller lig med 3, da der er en konveks regelmæssig polygon af n sider.
I nogle sammenhænge vil alle polygoner, der betragtes, være konvekse og regelmæssige. Det er derefter almindeligt at antyde de to epiteter "almindelig konveks". For eksempel skal alle ansigter af ensartet polyhedra være konveks og regelmæssig, og ansigterne vil blive beskrevet som en trekant , firkant , femkant ...
De mange egenskaber ved regelmæssige polygoner har ført til deres matematiske undersøgelse siden oldtiden og til forskellige symbolske , religiøse eller magiske fortolkninger .
En polygon er regelmæssig, hvis og kun hvis den er både ligesidig og skrivbar (i en cirkel ).Cirkelens centrum og radius kaldes derefter polygonens centrum og radius .
En polygon er regelmæssig hvis, og kun hvis der er en rotation, der sender hvert toppunkt til det næste.Denne (unikke) rotation sender derefter også hver side til den næste.
Enhver regelmæssig polygon er derfor ikke kun både ligesidig og ligevægt (pr. Definition), men selv begge er isotoksale og isogonale .
En polygon med n sider er regelmæssig, hvis og kun hvis dens symmetri-gruppe er "så stor som muligt": af orden 2 n .Denne gruppe er så den dihedrale gruppe D n , består af rotationer af C n (den rotationssymmetri gruppe af orden n - hvis n er lige, polygonen har derfor et centrum for symmetri) og n aksiale symmetrier , hvis akser igennem centrum. Hvis n er jævn, passerer halvdelen af disse akser gennem to modsatte hjørner og den anden halvdel gennem midtpunkterne på to modsatte sider. Hvis n er ulige, passerer hver akse gennem et toppunkt og midtpunktet på den modsatte side.
Enhver regelmæssig polygon er autodual .Den ovennævnte rotation karakteriserer faktisk polygonen ( næsten direkte lighed ).
Regelmæssige polygoner med n hjørner (betragtes med tæt lighed) er i sammenhæng med hovedtalene med n og mellem 1 og n / 2
(derfor for n > 2 er der φ ( n ) / 2, hvor φ betegner indikatoren Euler ) .Faktisk er rotation af orden n, så dens vinkel måler 2 k π / n rad for et bestemt heltal k prime med n . Desuden giver to vinkler den "samme" polygon, hvis og kun hvis de er lige eller modsatte.
En regelmæssig polygon (konveks eller stjerne) med n kanter kan konstrueres med linealen og kompasset, hvis og kun hvis n er et produkt af en styrke på 2 med forskellige Fermat-primtal ( jf. Artiklen " Teorem of Gauss-Wantzel " ). De eneste kendte Fermat-primtal er 3, 5, 17, 257 og 65.537.
Den regelmæssige konvekse polygon med n sider svarer til rotationsvinklen 2π / n .
Til en regelmæssig konveks polygon med n sider.
Afstanden mellem polygonens centrum og hver af siderne kaldes apotemet (dette er den indskrevne cirkels radius ).
Dataene fra en af de tre længder (side a , radius ρ eller apothem h ) gør det muligt at kende de to andre og derfor karakterisere polygonen.
Hvis vi betegner med c = a / 2 halvdelen af siden a af en regelmæssig polygon med n sider, er disse længder relateret til den pythagoriske sætning :
og ved hjælp af følgende trigonometriformler (vinklerne udtrykkes i radianer):
hvorfra vi udleder henholdsvis:
Den perimeter P af en regulær konveks polygon med n sider ( n ≥ 3) af længden en er naturligvis lig med na . Hvad angår dets område S , er det summen af arealerne af n trekanter ( ligebenede ) i højden h (apotemet) og base a , derfor:
.Fra de foregående forhold mellem a , h og polygonens radius ρ udleder vi derefter:
;den sidste lighed bruger også en trigonometrisk identitet : .
Da sin x er ækvivalent med x, da x har en tendens til 0, har omkredsen tendens til 2π ρ, da n har tendens til uendelig, og området til π ρ 2 . Vi finder cirkelens omkreds og diskens område .
Regelmæssige konvekse polygoner har en bemærkelsesværdig egenskab, der er kendt siden grækerne . Blandt alle polygoner med samme antal sider og samme omkreds har den, der er regelmæssig konveks, det største område. Dette område, der altid er mindre end cirklen med samme radius, kommer tættere på det, når n bliver større. Disse egenskaber diskuteres i artiklen “ Isoperimetri ”.
Numeriske værdierSider | Efternavn | Nøjagtigt område, hvis a = 1 | Halv omkreds, hvis ρ = 1 |
---|---|---|---|
3 | Ligesidet trekant | 2.5980762 | |
4 | Firkant | 2.8284271 | |
5 | Regelmæssig femkant | 2.9389263 | |
6 | Regelmæssig sekskant | 3.000000 | |
7 | Regelmæssig heptagon | 3.0371862 | |
8 | Regelmæssig ottekant | 3.0614675 | |
9 | Regelmæssig Enneagone | 3.0781813 | |
10 | Regelmæssig decagon | 3.0901699 | |
11 | Regelmæssig Hendecagon | 3.0990581 | |
12 | Regelmæssig dodecagon | 3.1058285 | |
13 | Regelmæssig tridecagon | 3.1111036 | |
14 | Regelmæssig tetradecagon | 3.1152931 | |
15 | Regelmæssig femkant | 3.11886754 | |
16 | Regelmæssig sekskant | 3.1214452 | |
17 | Regelmæssig heptadecagon | 3.1237418 | |
18 | Regelmæssig oktadekant | 3.1256672 | |
19 | Regelmæssig Enneadecagon | 3.1272972 | |
20 | Regelmæssig Icosagon | 3.1286893 | |
30 | Regelmæssig triakontagon | 3.1358539 | |
100 | Regelmæssig hektagon | 3.1410759 | |
1000 | Regelmæssig Chiliagon | 3.1415875 | |
10.000 | Myriagone regelmæssigt | 3.1415926 |
Bemærk, at hvis radius er lig med 1, nærmer halvdelen sig mere og mere π .
Et eksempel på en almindelig stjernepolygon (som svarer til " krydset regelmæssig " eller "ikke-konveks regelmæssig") er pentagrammet , som har de samme hjørner som den almindelige konvekse femkant , men som er forbundet med skiftende hjørner.
De første stjernepolygoner er:
En ensartet polyhedron er en polyhedron med regelmæssige polygoner til ansigter, således at der for hvert par af hjørner er en isometri, der påfører den ene over den anden. Ordet polygon kommer fra ordet poly (mange) og væk (vinkler).